數列不等式解題方法探究

高相華

摘 要：數列和不等式歷來都是高考數學中的重點和熱點，但在每年的高考中學生都有會因為概念不清或各種思維誤區使得解題過程中“會而不對”、“對而不全”現象屢屢發生。本文選取這兩個單元中具有代表性的共性的易錯點、易混點進行深入剖析，期望達到 “概念比中清，錯誤辨中明”的目的，在末來的應試中不再“重復昨天的故事”。

關鍵詞：數列不等式 解題 方法 探究

數列是高中數學的重要內容，它在高考中的地位舉足輕重，其中的等差數列和等比數列是兩種最基本、最常見的數列，也是研究數列性質的基礎，在實際生活中有著廣泛的應用。隨著高考對能力要求的進一步提高，這一部分內容也將受到越來越多的關注。在近幾年的高考試題中，解答題有關數列的試題出現的頻率較高，它不僅可與函數、方程、不等式相關聯，還可與三角、幾何、復數等知識相結合，題目新穎，難度較大，對數學思想方法的運用和各種數學能力的要求較高，考生面對問題時的心理壓力也較大。在復習中要重視緊扣等差、等比數列的性質和定義，做到合理地分析，靈巧地選擇公式或性質，找到解決問題的突破口與思路。[1]

一、高中數學不等式和數列的學習短板

總結高中三年學習心得，筆者認為在數學不等式和數列的學習過程中，常見的學習阻礙主要是以下兩方面：

第一，未能充分、全面、系統地理解不等式和數列的數學性質，難以靈活運用、貫通相關公式，正負問題相對明顯。造成這一問題的原因，較多是因為在學習過程中沒有形成數學思維，沒有培養良好的思維習慣，或是數學概念掌握不牢固，在學習數列和不等式時傾向于對概念性的記憶，而忽視了對解題思路、邏輯推理的理解和運用，導致在進行課外練習時，無法做到舉一反三。[2]

第二，未能進行深度、有效的課外練習拓展，學習欠缺主動性。通常在課堂上聽取老師講授后，課后未能將課本上關于數列和不等式的知識與課外相關練習進行融合聯系，對數列和不等式的相關知識點掌握未進行深度挖掘、探究，僅是依葫蘆畫瓢，課本上有什么就學什么，缺乏學習積極性，由此很大程度上限制了數學思維和創新能力的發展。

二、數列解題思路

對于高中數列的學習，筆者認為重點在于全面掌握等差數列和等比數列的求法及其性質，靈活運用求通項公式an以及前n項和Sn，同時，盡可能熟練掌握常見求通項公式的方法，如定義法、構造法、猜想和數學歸納法；以及Sn求法，如疊加法、錯位相減法（一個等差數列乘以一個等比數列）、分組求和法（一般是一個等比數列加上一個等差數列）、裂項相消法，等等。[3]

其中，高考試題常見考查方向主要有：

1.裂項抵消或錯位相減求和

2.從遞推關系構造出等差或等比數列求通項：①分式線性一階遞推的不動點法；②線性常系數多階遞推的特征根法；③其他能通過取倒數等簡單代數變形求得的。[4]

3.已知通項但求和沒有解析解的，通過代數變形、不等式性質等放縮出求和的上下限。

4.已知遞推關系但通項沒有解析解的，通過代數變形、不等式性質和數學歸納法等給出通項的一些性質。

總而言之，數列題通常以高考壓軸題的形式出現，題目難度不算很大，但在解答過程中要格外注意解析的步驟，認真完成計算和推導過程，牢記公式法，如累加法、累乘法常適用于數列規律較明顯的題目；待定系數法則可用于多種數列題目，適應性較強；此外還有迭代法、換元法、數字歸納法等，每種方法都有其解題優勢，在實際解答操作時，要針對具體題目與要求，靈活選擇最簡便易行的方法完成題目解析。

參考文獻

[1]朱國宏. 探析數列型不等式證明中“放縮法”的妙用[J]. 高中數理化， 2014（5）：12-13.

[2]高國圣. PBL模式下的高中數學微課教學研究――以“不等式與數列求和教學”為例[J]. 中學數學， 2016（7）：4-5.

[3]郝安軍， 陳均平. 由2015年高考壓軸題談數列與不等式問題處理策略[J]. 高中數學教與學， 2015（21）.

[4]李大雙. 一類數列和式的不等式證明思路探究[J]. 中學教學參考， 2015（29）：43-43.endprint