Cauchy命題與ε 語言的關聯及應用

◎黃毓

Cauchy命題與ε 語言的關聯及應用

◎黃毓

本文介紹數學分析中的Cauchy命題與ε語言，從本質上闡述它們之間的關系，以數學語言為主，圖表為輔來描述兩種方法的異同及應用。極限的ε語言定義是非常精準但又極其抽象的定義，它廣泛地出現在高等數學的各個領域，本文只針對于ε語言與Cauchy命題的相關性展開討論。

從數學分析中最基礎的數列極限定義開始，我們就接觸了一種特有的語言：ε語言。例如：數列極限定義“ε—N”語言、函數極限定義“ε—δ”語言等。極限的ε語言定義是非常精準但又極其抽象的定義，它廣泛地出現在高等數學的各個領域，本文只針對于ε語言與Cauchy命題的相關性展開討論。在通用《數學分析》教材中，數列{ an}以數A為極限指

這一經典的分析定義，反映了極限是從靜認識動，從近似認識精確，從有限認識無限的一種認識過程。Cauchy命題的證明也是基于此，用數列極限的定義來證明的。

Cauchy命題與ε語言的關聯

Cauchy命題：若

證明如下：

于是，利用三角不等式，就得到

Cauchy命題的證明是基于ε語言，根據數列極限的定義來完成的。它的直觀意義很明顯：如果一個數列是收斂的，那么它是越來越平緩的，取平均的話，就算一開始起伏很大，也可以用足夠大的n來抹平它。

Cauchy命題與ε語言的應用

既然Cauchy命題可以由ε語言證明，那么顯然一切能用Cauchy命題證明的題目都可用純粹的ε語言證明。以下面的題目為例，介紹上述兩種方法的應用思路。

例：

證明如下：

方法一：

總結

對比上述兩種方法，其本質是異曲同工的。方法一變形后得到的①式與方法二推得的②式是類似的。

例題中要證明的左式的分母是如下n組數的加和

它的規律不是那么容易直接得出，于是我們可以用下面n組數把它“補全”。

兩者之和減去Sn后便形成如下n行n列的方陣：

這樣就可以直觀地使用題目所給出的條件了。上述兩種方法的出發點也是基于此。

（作者單位：中國海洋大學 海洋與大氣學院）