解析幾何中求參數取值范圍的方法

◎羅奕辰

解析幾何中求參數取值范圍的方法

◎羅奕辰

幾何中的求解參數取值范圍是高中數學學習中需要重點掌握的知識點，這不論是在平常的考試或者是高考中都占有較大的比分值。本文從數形結合、建立不等式、幾何圖形的性質以及函數與方程思想四個方面對幾何中求參數取值范圍進行了一定的分析，以期為廣大高中生提供參考。

解析幾何在高中的學習知識中，涉及的范圍廣，且大部分具有難度性，所以學生在學習參數取值這方面的知識有一定的困難性。這類問題考查的綜合知識點強，給解題帶來了很多困難。所通過對幾何中參數取值范圍的解答進行歸納和總結，找出其中的方法對問題進行解決，從而激發學生的學習思維，掌握解題技巧，提高數學成績。

數形結合求參數取值范圍

數與形在一定條件下是可以轉化的，這也是數學中比較常見的解題方法。以這樣的方式可以使較為抽象的數學題變得更加淺顯易懂，利于我們快速的掌握幾何中參數取值范圍。在求解中，其基本思路就是數形的結合，重點把握點、線、面三者的性質和關系。

解題分析：利用三角函數的解題思路，數形結合的即可進行解答。首先將A(cosθ,sinθ)看做是一個單位圓，且為單位圓X2+Y2=1上的動點，B（-2，-1）為單位圓外的一點，進行作圖即可得出。如圖1所示，得出當K的取值范圍在[KBA1,KBA2],kBA1等于0，假設出直線方程BA2為：y+1=k(x+2),最后結果K的是且在區域為[0,2]時，K的取值范圍為。對于數形這類知識點的解答，其基本思路一定要明確已知的條件，從題中的條件和結論出發，運用圓的公式和定理進行表達，畫出相符合的圖形，最后得出確定的答案。

圖1

建立不等式求參數取值范圍

幾何題中出現的不等式稱之為幾何不等式，可以利用題中設定的不等式關系，根據相關公式運用不等式求參數的取值范圍。而如果在這道題中，給出了已知條件的不等式關系，就要假設其中存在的變量，找出它們之間相同點，構建不等式，并通過求解不等式求出最后的答案。

例如：已知雙曲線x2-=1的左標準線為準線，拋物線的頂點在原點，求出這條拋物線的方程式，并且如果當直線z：y-1=k＊（x-1）實數K不為O的情況下，垂直平分拋物線，求實數K的取值范圍？

在已知雙曲線為x2-=1的情況下，根據雙曲線的基本方程式可以得出x=1/4，所以拋物線為y2=x.這道題考查的是直線與雙曲線關系的題，要想求出K的取值范圍，則首先要確定K的不等式方程。在拋物線C被直線z垂直平分的弦方程可為x+ky+c=0和拋物線的方程y2=x。解出則是y2+ky+c=0,得出弦的中點是N,將點N帶入方程式即可得到（k2-2k+2)〈0。所以實數的取值范圍是(-2,0).利用圓錐曲線的定義，以及標準方程式可以進行簡單的求解。

幾何性質求參數取值范圍

可以利用曲線方程中變量的范圍構造進行不等式。如在三角形ABC的面積為S,當BC×AB=1，S的范圍是[2,12],求向量AB與BC的夾角取值范圍?這道題的分析可以從中建立夾角與面積S的關系，可得出tanθ=2S，12＜S＜2的情況下，所以夾角的取值范圍為1＜tanθ＜4。

根據曲線自身的幾何性質，以不等式求出參數的取值范圍，幾何中的常見圓錐曲線本身都包含了一定的不等式關系。例如拋物線的離心率大于1，橢圓的離心率小于1，而且在圓錐曲線上的點其不論是橫坐標或者縱坐標都具有取值范圍，從而可以建立不等關系。例如點A(X,Y）與圓錐曲線方程F(M,N)=0存在三種關系：如果A在圓錐曲線上，則F=0，若A在圓錐曲線內，則F小于0。若Q在A在圓錐曲線外，則F大于0，所以可以通過這些關系式來構建不等式。

函數與方程思想求取值范圍

通過三角函數的界線對不等式進行解答，當遇到這類型的題時，應該首先考慮從三角函數的性質出發構建不等式關系。圓錐曲線的方程表明了曲線上存在的點與變量之間的關系，在遇到直線、圓與圓錐曲線時可以運用三函數進行解答，可以利用三角函數進行特定公式代入，從而靈活建立不等式，得到取值范圍。

例如：雙曲線的兩個焦點為A,B，如果M是雙曲線上的一點，則 |AM|=2|BM|求雙曲線離心率e的取值范圍。在做題之前首先要考慮到這道題所考察的內容到底是什么，然后通過與雙曲線有關的性質與公式進行答題，求離心率的方法，可以利用余弦定理與兩個焦點之間的關系求得答案。根據三角函數的取值范圍建立不等式就可得出正確答案。

假 設 |BM| =x,∠AMB=θ 且0＜θ≤π,如果M在頂處，則θ等于π。離心率e=2c/2a=,e的取值范圍是(1,3]。除了利用三角函數進行解答之外，也可以利用圖形進行解答，即前提是兩邊之差小于第三邊。

在求解幾何中的參數取值范圍時，對基本理論的熟悉以及充分利用知識中相同點進行轉化。將已知公式帶入到題中的未知公式之中，綜合運用圖形、不等式與三角函數知識進行解答參數的取值范圍。以上是數學中比較常見的例題，在解答的時候需要我們注意轉換思維的角度，擴寬題目的范圍，對解析參數的取值范圍是一種科學的、有效的方法。

（作者單位：湖南省長沙市第一中學）