巧用速度圖象求解直線運動問題

董竟元

摘 要：高中物理《教學大綱》和《考試說明》明確要求，學生要具有運用“函數圖象”進行表達、分析和處理物理問題的能力。近年來，高考選擇題、實驗題甚至在計算題中都會涉及到圖象問題。物理函數圖象是運用數學的“形”載著物理的“質”，它能夠直觀、簡潔、形象的展現物理量之間的關系以及變化趨勢，正確反映物理規律，清晰表達物理過程。本文就速度-時間（v-t）圖象在直線運動中的應用，列舉幾個典型例題，若按常規方法求解，相當繁瑣、困難；若用v-t圖象求解，會起到化繁為簡，化難為易，有事半功倍的效果。下面舉例分析，望能起到拋磚引玉的作用，從而輕松求解類似問題。

關鍵詞：速度圖象；斜率；面積

在高中物理中，我們學過許多物理函數圖象，在學習時應正確理解圖象中橫、縱坐標軸所表示的物理意義，掌握圖象中“點、線、截距、斜率、面積”等所代表的意義。要會讀圖、會畫圖、會用圖。在v-t圖象中，圖線（或切線）的“斜率”表示其運動的加速度，而圖線與坐標軸所圍成的“面積”表示該時間內其運動位移的大小。利用v-t圖象解題，可以避開復雜的運算，使求解過程更簡化、更清晰；思路更巧妙、更靈活。

1.一輛汽車自甲站出發，沿平直的公路先勻加速前進時間t1，后又勻減速前進時間t2，正好到達乙站停止，如果甲、乙兩站相距s，求汽車的最大速度。

解析：根據題意，作出汽車的v-t圖象，如圖1所示，圖象與坐標軸圍成的“面積”，在數值上表示汽車通過位移的大小。

故有：[s=12vm（t1+t2）]

解得：[vm=2st1+t2]。

2.火車甲以速度v1勻速行駛，司機發現前方同軌道上相距s處有另一火車乙沿同方向以速度v2（對地，且v1>v2）做勻速運動，司機立即以加速度a緊急剎車，要使兩車不相撞，a應滿足什么條件？

解析：依據題意，分別作出甲、乙兩車的v-t圖象，如圖2所示，由圖得，t1時刻兩車速度相等。圖中陰影三角形的“面積”在數值上等于t1時間內甲車比乙車多行駛的距離△s。

由圖可知：[t1=v1-v2a]

△[s=12（v1-v2）t1]

要使兩車不相撞，應滿足：△s≤s

聯立以上三式得：[a≥（v1-v2）22s]

所以，火車甲的加速度應滿足：[a≥（v1-v2）22s]

3.一水平的淺色長傳送帶放置一煤塊（可視為質點），煤塊與傳送帶之間的動摩擦因素為μ，初始時，傳送帶和煤塊都是靜止的，現讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運動，當其速度達到v0后，便以此速度做勻速運動，經過一段時間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對于傳送帶不再滑動，求此黑色痕跡的長度。

解析：根據題意，分別作出煤塊、傳送帶的v-t圖象，如圖3所示，不難求出，傳送帶加速時間為：[t1=v0a0]；煤塊加速時間為：[t2=v0μg]。圖中陰影

三角形的“面積”，就是煤塊相對于傳送帶的位移，即在傳送帶上留下的黑色痕跡的長度。

[l=12v0?t]

[?t=t2-t1=v0μg-v0a0]

由以上兩式聯立解得：[l=v02（a0-μg）2μa0g]

所以，煤塊在傳送帶上留下黑色痕跡的長度為：[v02（a0-μg）2μa0g]

以上的第3題可以拓展和延伸：

4.如圖4所示，質量為M的木板靜止在光滑水平面上，質量為m的滑塊靜止在板的右端，滑塊與板之間的動摩擦因素為μ。現用水平外力作用在板上，使板做加速度為a0的勻加速直線運動。當板的速度變為v0時，改變水平外力的大小，使板做勻速直線運動。問要使滑塊不滑出板，板長至少為多長？

解析：此題求解方法跟第3題類似，先作出木板、滑塊的v-t圖象，可借用圖3來看，圖中陰影三角形的“面積”，就是滑塊相對于木板的位移，即木板長度。

所以，木板的長度至少為：[l=v02（a0-μg）2μa0g]

以上所舉的四個例題，都還有其它的常規解法，但比較繁瑣；用圖象求解，卻非常簡單。總之，在有些情況下，運用解析法可能無能為力，但是圖象法可能會使你豁然開朗。當然，不是所有物理過程都可以用圖象進行表達和描述，也不能說用圖象法解題總是最簡單的，在什么情況下用圖象法解，用什么樣的圖象來處理，都需要探索、研究和總結，這樣才能“活化”和“深化”物理知識，才能開拓思維空間，進一步提高思維能力和解題能力。