基于雜散光抑制要求的光學表面粗糙度控制方法研究?

宋延松 楊建峰 李福 馬小龍 王紅2)

1)(中國科學院西安光學精密機械研究所,西安 710119)

2)(中國科學院大學,北京 100049)

基于雜散光抑制要求的光學表面粗糙度控制方法研究?

宋延松1)2)?楊建峰1)李福1)馬小龍1)王紅1)2)

1)(中國科學院西安光學精密機械研究所,西安 710119)

2)(中國科學院大學,北京 100049)

光學表面加工誤差引起的散射是影響光學系統成像性能的重要因素.描述表面總散射能量的均方根粗糙度是評定光學表面粗糙度的通用指標,但因其未能體現散射能量的空間分布,在表征光學表面散射對具體光學系統雜散光性能影響時存在準確度不足的局限.本文基于全積分散射及雙向散射分布函數理論,針對雜散光抑制要求提出一種光學表面粗糙度控制的新方法.首先通過分析確定光學表面紋理中影響系統雜散光的空間頻率范圍,然后度量該頻率帶限范圍內的表面均方根粗糙度,作為控制光學表面粗糙度的指標.以太陽磁場望遠鏡(MFT)為例進行方法驗證,確定主鏡表面紋理有效頻率范圍為0—18 mm?1,分析了主鏡表面帶限均方根粗糙度對MFT雜散光性能的影響.結果表明,帶限均方根粗糙度與MFT雜散光性能之間的關系穩定性能大幅提高,由此驗證了采用帶限均方根粗糙度描述光學表面粗糙度,能更為準確地控制其對具體光學系統雜散光性能的影響.

表面粗糙度,雜散光,全積分散射,雙向散射分布函數

1 引 言

隨著光學軟件優化算法不斷成熟,光學系統成像性能越來越依賴于光學表面的加工精度［1?4］.光學元件投產前,需要提供特定表面甚至全部表面的粗糙度指標數據,以保證光學表面拋光精度滿足系統成像性能要求.常用的確定粗糙度指標的方法是:首先基于全積分散射(total integrated scattering,TIS)理論建立表面均方根粗糙度σλ與雙向散射分布函數(bidirectional scattering distribution function,BSDF)之間的關系［5,6］,或者基于Harvey-Shack表面散射理論建立σλ與角度擴散函數(angle spread function,ASF)之間的關系［7,8］,然后將不同σλ下的BSDF(或ASF)數據輸入光學分析軟件,分析系統的雜散光性能,根據系統雜散光抑制要求確定表面粗糙度指標σλ,其中,λ代表入射光波長.但本文通過分析發現,σλ作為表面粗糙度指標在控制光學表面散射對系統雜散光性能的影響時具有一定的局限性.一方面,σλ對應過寬的空間頻率范圍0—1/λ,使得加工廠商在對其測量時面臨較大困難［9］;另一方面,表面紋理分解的一系列傅里葉分量中,只有0—1/λ頻段內某一子區間分量的散射光能夠到達探測器,致使在0—1/λ頻段度量的σλ無法準確表征散射光對系統雜散光性能的影響.

針對以上問題,本文提出一種針對雜散光抑制要求控制光學表面粗糙度的新方法.該方法確定了表面紋理中對系統雜散光有影響的空間頻率范圍,并將該頻率帶限范圍內度量的均方根粗糙度σλ–s作為控制表面粗糙度的指標,以有效解決用σλ作為表面粗糙度指標時存在的兩個問題.

2 表面粗糙度影響的理論基礎

2.1 TIS與σλ之間的關系

如圖1所示,實際光學表面具有隨機高度起伏,經其反射后的總能量Pt包括鏡面反射能量Ps和散射反射能量Pd兩部分.TIS定義為散射反射能量與總反射能量之比.表面粗糙程度通常用表面高度的均方根粗糙度［10］(root-mean-square roughness,σrms)來衡量.1961年,Bennett和Porteus假設表面高度服從高斯分布,推導出了兩者之間的關系［11］:

其中,θi是入射角,λ是入射光波長.

圖1 表面散射示意圖Fig.1.Schematic of surface scattering.

由于正弦光柵衍射同樣滿足(1)式,且表面散射可看作無數個不同空間頻率正弦光柵衍射的疊加,所以(1)式不受限于表面高度分布形式,適用于任何表面散射量計算［12］.根據光柵方程可知,衍射角θs、入射角θi滿足sinθs?sinθi=mλf,當光柵空間頻率f＞1/λ時,其衍射的能量不會對TIS有影響,因此σrms對應表面紋理的空間頻率范圍為0—1/λ.為突出σrms是入射光波長的函數,一般將其記為σλ.本文研究的對象是經過拋光后的光學表面,這類表面一般滿足σλ?λ,此時(1)式近似為［13,14］

對于正弦反射光柵,TIS等于所有非零級衍射總能量與總反射能量之比.當光柵滿足σλ?λ時,±1級衍射光能量占總反射能量Pi的比例［10］為

其中,Pi為入射光功率,R為表面反射率,P1和P?1分別為+1,?1級衍射光能量.

對比(2)和(3)式可知,當表面滿足σλ?λ時,計算TIS只需考慮±1級衍射光,因此本文推導分析過程中所使用的光柵方程均針對±1級衍射光.

2.2 TIS與BSDF之間的關系

描述散射光能量空間分布的BSDF定義為散射亮度與入射照度之比.Harvey等研究得出,對于干凈、各向同性的光滑表面(σλ?λ),BSDF在方向余弦空間具有位移不變性,可以用Harvey-Shack模型描述［15?17］:

其中,βs和βo分別為散射方向、鏡面反射方向的單位向量在光學表面上的投影,如圖2所示.b0,l,s為模型的三個參數,用于擬合實際測量的BSDF數據,所代表的含義如圖3所示.

圖2 Harvey-Shack模型中的向量Fig.2.Direction vectors used in the Harvey-Shack model.

圖3 Harvey-Shack模型,b=0.1,l=0.001,s=?1.5Fig.3.Harvey-Shack model whereb=0.1,l=0.001,s=?1.5.

根據TIS以及BSDF的定義可知,TIS等于BSDF在半球空間內對立體角的積分.雜散光分析需要考慮整個光學表面的散射,而BSDF與入射角有關,入射角是表面位置、表面形狀以及光線入射離軸角的函數,因此利用BSDF精確計算表面所有位置的TIS是不現實的.通過(2)式可知,正入射時TIS取得最大值,若各位置的散射量取該值時系統雜散光分析結果滿足抑制要求,則實際雜散光性能一定滿足雜散光抑制要求,故分析時可用此值代替各位置實際TIS.光線正入射時,TIS的解析解為［5］

(5)式可作為雜散光分析時TIS與BSDF之間的一般表達式.

2.3 σλ控制表面粗糙度的局限性

工程上利用(2)和(5)式確定表面均方根粗糙度σλ的一般方法如下.

1)計算σλ與BSDF的關系表達式.聯立(2)和(5)式可得σλ與BSDF關系如下:

2)參數l,s取值.拋光光學表面的功率譜密度多具有分形特征［10,18］,滿足l?|βs?βo|,因此l需取足夠小值,以忽略其對TIS的影響［19,20］;s一般根據經驗在?0.5—?2.5內取典型值.

3)確定σλ.將不同σλ對應的BSDF數據輸入光學分析軟件進行雜散光性能分析,滿足系統雜散光抑制要求的σλ即所求表面粗糙度指標.

利用以上方法可確定σλ,但用σλ控制表面粗糙度存在以下兩個問題.

問題一:σλ不能準確控制表面散射對系統雜散光的影響.

表面功率譜密度函數(power spectral density,PSD)是描述實際加工表面紋理的有效手段.如前所述,σλ對應的空間頻率范圍為0—1/λ,在二維頻率空間中對應半徑1/λ的圓域,如圖4中SA所示,利用PSD(fx,fy)計算σλ的公式［12］為

如圖5所示,對表面任意一點(如Q)而言,只有位于?立體角內的散射光線能夠到達探測器,從而影響系統雜散光性能.根據光柵方程,?對應的空間頻率域是SA的一個子集,類似圖4中SB,因此SB是雜散光分析時需要關心的有效空間頻率范圍,此帶限范圍內度量的均方根粗糙度為σλ?s,其計算公式為:

圖4 σλ,σλ?s所對應的表面PSD區域Fig.4.Integral areas of PSD for calculating σλ,σλ?s.

圖5 對系統雜光有影響的散射光線分布Fig.5.Distribution of scattering light which received by detector.

圖6 (網刊彩色)具有相同σλ的三條不同PSD曲線Fig.6.(color online)Three di ff erent PSD curves which have the same σλ.

對比(7)和(8)式可知,由于積分域的差異,σλ相同的光學表面σλ?s不一定相同.圖6為三個不同表面所對應的功率譜密度曲線,它們在0—1/λ內的包圍面積相等,但在諸多有效空間頻率范圍(假設0.01/λ—0.1/λ)內的包圍面積明顯存在差異,表明使用σλ相同的三個表面,系統將會產生不同的雜散光性能.因此σλ不能準確控制表面散射對系統雜散光性能的影響.

問題二:實際測量驗證σλ非常困難.

如圖7所示,對于各向同性光學表面,要獲得0—1/λ范圍內的表面功率譜密度函數,需要四臺不同的儀器［21］,這對于加工廠商而言,常常是做不到的,因此很難驗證加工完成的光學表面是否滿足指標σλ.

通過以上分析可知,為使粗糙度指標更有效、更方便測量,應首先確定對系統雜散光有影響的空間頻率范圍,進而給出此范圍內的表面粗糙度指標σλ?s.

圖7 (網刊彩色)通過四臺儀器獲得的PSD函數［21］Fig.7.(color online)The PSD function determined from four di ff erent metrology instruments.

3 基于帶限均方根粗糙度的表面控制方法

由圖2可知,散射方向、鏡面反射方向單位向量在光學表面上的投影分別為

其中,θs和φs分別為散射光線的仰角和方位角,θo和φo分別為鏡面反射光線的仰角與方位角.

令αd=sinθscosφs,βd=sinθssinφs,αo=sinθocosφo,βo=sinθosinφo,則有

根據廣義光柵方程

得到空間頻率

聯立(11)和(13)式可得

利用幾何光線追跡方法求得|βs?βo|取值范圍后,通過(14)式即可確定表面紋理中對系統雜散光有貢獻的空間頻率范圍.此頻率帶寬內分量引起的散射光線只分布在立體角?內,故稱之為部分積分散射(partial integrated scattering,PIS).在方向余弦空間,微元d?=sinθsdθsdφs=dαddβd/cosθs,圖5中立體角?內的散射能量為

(15)式中的積分域是表面散射位置的函數,且形狀不規則,為簡化運算量,采用統一各位置積分域的方法,將每個位置的積分域定為以(αo,βo)為圓心的圓環區域,其外徑為所有位置|βs?βo|中的最大值|βs?βo|max,其內徑為所有位置|βs?βo|中的最小值|βs?βo|min,如圖8所示,此時(15)式簡化為

圖8 計算PIS的積分區域Fig.8.The integral area for calculating PIS.

將(4)式式代入(16)式,得到PIS的解析表達式:

當|βs?βo|min=0,|βs?βo|max=1時,(17)式轉化為(5)式,因此TIS只是PIS的特殊情況.

鑒于(2)式適用于任意光滑表面,因此也適用于PIS的計算,此時表面粗糙度由σλ?s代替:

聯立(17)和(18)式,可得到σλ?s與BSDF的關系式. 利用雜散光分析軟件分析不同σλ?s下的雜散光性能,可確定表面粗糙度指標σλ?s,此時σλ?s對應的頻帶寬度為

下面以MFT為例,驗證新方法在控制表面粗糙度方面的有效性.

4 實例分析

MFT是中國2011年提出的深空太陽天文臺計劃的主載荷,其望遠鏡部分由1 m口徑拋物面主鏡和透射式準直鏡組成.圖9是MFT的主成像光路示意圖,表1是MFT的光學指標參數.太陽對MFT張角Φ32′,遠大于MFT視場2.8′×2.8′,因此主鏡接收到的能量中絕大部分為視場外能量,其表面散射會嚴重降低系統信噪比［22］,必須對主鏡粗糙度提出指標要求,以實現MFT的高性能成像.光學表面二階雜散光能量遠小于一階雜散光,故理論分析時只需考慮主鏡表面一階散射.

圖9 MFT主成像光路示意圖Fig.9.Schematic of optical path of MFT.

表1 MFT光學參數Table 1.Optical parameters of MFT.

MFT主鏡表面粗糙度計算過程如下.

1)計算|βs?βo|min,|βs?βo|max.

如圖10所示,平行光束經主鏡聚焦于點(xi,yi,zi).對點(x0,y0,z0)而言,其鏡面反射光線方向向量記為r0,散射光線方向向量記為r01,它們與一次像面的交點分別為(xi,yi,zi),(x1,y1,z1).因主鏡是MFT的入瞳,所以對于主鏡任意一點而言,它的空間域?就是視場光闌開口對該點的立體角.

圖10 MFT主鏡散射路徑示意圖Fig.10.Schematic of scattering path of primary mirror.

在(x0,y0,z0)點建立新坐標系xnewynewznew,選取該點法線方向為znew軸,入射面為ynewznew平面,根據右手法則確定xnew軸,如圖10所示.r0,r01可表示為

新坐標系三個坐標軸的單位向量可取為

新坐標系與原始坐標系的轉換矩陣M為

散射光線r01與鏡面反射光線r0在新坐標系下的單位向量r01new,r0new分別為:

式 中(α01,β01,γ01),(α0,β0,γ0) 分 別 為r01new,r0new的向量坐標.

結合(11)式得到:

(19)—(26)式是計算|βs?βo|取值范圍的理論基礎.太陽相對于MFT而言是面光源,因此|βs?βo|max,|βs?βo|min的取值應兼顧所有離軸角. 記任一離軸角下|βs?βo|的最大值、最小值分別為|βs?βo|fmax,|βs?βo|fmin, 則|βs?βo|fmax,|βs?βo|fmin隨離軸角的變化關系如圖11所示.由圖可知,可取|βs?βo|min=0,|βs?βo|max=10?2,此時積分域對應的空間頻率范圍是0—18 mm?1(波長550 nm).

圖11 (網刊彩色)|βs?βo|fmax 和|βs?βo|fmin隨離軸角的變化曲線Fig.11.(color online)The curves of|βs?βo|fmaxand|βs?βo|fminchanging with o ff-axis angle.

2) 建立σλ–s與b0,s的函數關系

將|βs?βo|min=0,|βs?βo|max=10?2代入(17)式,得

正如前文所述,l取值應足夠小,此處可取為0.0001.聯立(18)和(27)式,可得σλ?s與b0,s的函數關系:

3)σλ?s對MFT雜散光性能影響分析

利用(28)式計算出主鏡不同σλ?s下的BSDF數據后,使用Tracepro軟件分析σλ?s對MFT雜散光性能的影響.點源透過率函數(PST)是描述系統雜散光性能的常用手段,圖12繪制了s=?1.5,l=0.0001時,PST隨σλ?s的變化關系.由圖可知,σλ?s越大,PST曲線值越高,代表MFT雜散光性能越差.為達到PST＜10?4的設計目標,主鏡帶限均方根粗糙度σλ?s應小于0.03 nm.

圖12 (網刊彩色)不同σλ?s取值下的PST曲線Fig.12.(color online)The PST curves with di ff erent σλ?s.

基于PST＜10?4的雜散光抑制要求,確定了兩種主鏡表面粗糙度指標σλ?s與σλ,見表2.指標確定過程中s取典型值?1.5,但光學表面拋光時s值很難控制,一般會在?2.5—?0.5之間波動,因此PST曲線對s值波動的抵抗能力能夠反映兩種指標在控制表面粗糙度方面的有效性.圖13分別繪制了兩種指標下,系統PST曲線隨s的變化關系.由圖可知,當s在?2.5—?0.5之間波動時,σλ?s控制下PST最大值的波動范圍小于一個數量級,且都滿足PST＜10?4;σλ控制下PST最大值的波動范圍接近三個數量級,且出現了PST＞10?4的情況.綜上可知,帶限均方根粗糙度σλ–s與PST之間關系更加穩定,能更準確地控制表面粗糙度對系統雜散光性能影響.

表2 表面粗糙度指標Table 2.Surface roughness indexes.

圖13 (網刊彩色)采用不同方法確定的指標,PST對s波動的抵抗能力 (a)σλ?s;(b)σλFig.13.(color online)The resistance against slope s of PST with the RMS roughness determined by(a)σλ–s;(b)σλ.

5 結 論

光學人員能熟練使用光學分析軟件對已知光學表面屬性的光學系統進行雜散光性能分析,但在根據系統雜散光抑制要求為光學表面提供粗糙度控制指標時依然面臨一些困難.本文提出的控制表面粗糙度方法,采用帶限均方根粗糙度σλ?s作為粗糙度指標,經理論推導和實例分析表明:由于明確了表面紋理中對系統雜散光有影響的空間頻率范圍,σλ?s能更準確地控制表面散射對系統雜散光性能的影響,且易于測量,適合作為光學人員與加工廠商之間使用的粗糙度指標.該研究對于工程上如何控制光學表面散射對系統雜散光的影響具有指導意義.

本文為得到PIS的解析表達式(17),將光學表面各位置的積分域統一為同一圓環域,意味著人為放寬了表面空間頻率范圍,從而出現PST曲線隨s變化而輕微波動的現象,如圖13(a)所示.下一步可以針對每個離軸角分別求解PIS,得到更為精確的表面紋理空間頻率范圍,從而進一步減小PST隨s變化的波動性.

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Method of controlling optical surface roughness based on stray light requirements?

Song Yan-Song1)2)?Yang Jian-Feng1)Li Fu1)Ma Xiao-Long1)Wang Hong1)2)
1)(Xi’an Institute of Optics and Precision Mechanics,Chinese Academy of Sciences,Xi’an 710119,China)
2)(University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049,China)

Scattering introduced by optical surface fabrication errors could degrade optical performance severely.Therefore,the optical designers are required to provide a roughness index for describing the speci fi c surface or even all surfaces to ensure the fi nal imaging performance.The surface root-mean-square(RMS)roughness is a common index to quantify surface topography.And there are also some available methods to acquire the surface RMS roughness based on bidirectional scattering distribution function theory or the angle spread function theory.However,the in fl uence of the optical surface scattering on the optical system cannot be accurately revealed by the surface RMS roughness determined by these methods.On the one hand,the RMS roughness corresponds to an excessively wide spatial frequency range from 0 to 1/λ,whereλis the wavelength of the light.Consequently,it is difficult to measure the RMS roughness during manufacture.On the other hand,what really worsens the stray light performance of the system is only the surface pro fi le located within a certain subinterval of the aforementioned frequency range,to put it in another way,the surface RMS roughness identi fi ed by the methods above is incompetent to quantify the amount of the energy that is surfacescattered to the detector.To address the issues above,in this paper we propose a novel approach to identifying the surface roughness.This method seeks to deduce the relation between optical surface RMS roughness and the stray light requirement of the system by dint of partial integrated scattering(PIS).In contrast to total integrated scattering,PIS counts the scattering light energy that could reach the detector.Hence,the RMS roughness identi fi ed in this way corresponds to the e ff ective spatial frequency range that contributes to the stray light in the system.Firstly,the e ff ective frequency range concerned with the system stray light level is identi fi ed through the analysis of the propagation path of the scattered light.Then,the surface RMS roughness would be measured within the established range according to the stray light requirement of the system and used to control the surface roughness as the roughness index during the optical manufacture process.The method not only considers the scattering as the surface characteristic,but also takes into account the in fl uence of scattering on the system.Taking the solar magnetic fi eld telescope(MFT)for example,the validity of the method is veri fi ed by comparing with the traditional methods.As manifested in the outcome,the e ff ective frequency range of primary mirror is from 0 to 18 mm?1,and the surface RMS roughness identi fi ed in such a new way can stage the stray light performance of MFT in a more precise manner,which is more reliable to serve as a surface roughness index.

surface roughness,stray light,total integrated scattering,bidirectional scattering distribution function

26 March 2017;revised manuscript

17 July 2017)

(2017年3月26日收到;2017年7月17日收到修改稿)

10.7498/aps.66.194201

?國家自然科學基金(批準號:U1231204)資助的課題.

?通信作者.E-mail:syansong@163.com

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

PACS:42.25.Fx,42.15.–i

10.7498/aps.66.194201

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.U1231204).

?Corresponding author.E-mail:syansong@163.com