半群的閉合性

摘要：本文對(duì)半群的閉合性進(jìn)行了討論，得到如下結(jié)論：如果半群S中的任意導(dǎo)矢元都有其對(duì)應(yīng)的正后生成因子，并且每個(gè)因子都帶有伴隨開(kāi)立元，半群S為可交半群，有一個(gè)失離性得到滿足，任意子半群都具有正先性，并且滿足主換向降鏈條件，或者設(shè)半群S為可清源半群，存在S的子半群H，使得H可分解為正則子半群的失離穩(wěn)積，則半群S為一個(gè)閉合半群.

關(guān)鍵詞：閉合性；半群；正先性；降鏈條件

中圖分類號(hào)：O152.7文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

本文將討論關(guān)于半群閉合性的幾個(gè)問(wèn)題。

定義：設(shè)T為半群S的任意一個(gè)子半群，如果對(duì)T進(jìn)行有限次的可歸變換，使T可變換為一個(gè)超臨界子半群，且如果a在這一系列變換中始終保持其定則性不變，則稱半群S為一個(gè)閉合半群。

定理1：如果半群S為可交半群，有一個(gè)失離性得到滿足，任意子半群都具有正先性，并且滿足主換向降鏈條件.S中的任意導(dǎo)矢元都有其對(duì)應(yīng)的正后生成因子，并且每個(gè)因子都帶有伴隨開(kāi)立元，則半群S為一個(gè)閉合半群。

證明：由于半群S為可交半群，則對(duì)S的任意正交元a都至少有一個(gè)伴隨元b，使得ab成為S的一個(gè)可交子半群的成子元。設(shè)這個(gè)可交子半群為I，則I中必有相合子半群，并且相合子半群的冪等元具有正交性.另，有一個(gè)失離性得到滿足，從而半群S的任意一個(gè)正向子半群H中的冪等元具有正交性.設(shè)I∩H=K，則a，b∈K，有ab為正交元，從而S中的可正子半群R，abR。

所以K為半群S的一個(gè)可歸變換的相伴子半群。而S中的任意導(dǎo)矢元都有其對(duì)應(yīng)的正后生成因子，并且每個(gè)因子都帶有伴隨開(kāi)立元，設(shè)T為半群S的任意一個(gè)子半群，則對(duì)T進(jìn)行有限次的可歸變換，T可變換為一個(gè)超臨界子半群。a∈T，顯然 a在這一系列變換中始終保持其定則性不變，因此半群S為一個(gè)閉合半群。

定理2：設(shè)半群S為可清源半群，存在S的子半群H，使得H可分解為正則子半群的失離穩(wěn)積，S中的任意導(dǎo)矢元都有其對(duì)應(yīng)的正后生成因子，并且每個(gè)因子都帶有伴隨開(kāi)立元，則半群S為一個(gè)閉合半群。

半群S為可清源半群，又由于S中的任意導(dǎo)矢元都有其對(duì)應(yīng)的正后生成因子，并且每個(gè)因子都帶有伴隨開(kāi)立元，故可設(shè)導(dǎo)矢元p的對(duì)應(yīng)的正后生成因子為q，則q為S中的成交元.又由于存在S的子半群H，使得H可分解為正則子半群的失離穩(wěn)積，S中的任意導(dǎo)矢元都有其對(duì)應(yīng)的正后生成因子，所以由降鏈條件知，正向元p、q存在對(duì)應(yīng)的正后生成因子.設(shè)T為半群S的任意一個(gè)子半群，如果對(duì)T進(jìn)行有限次的可歸變換，使T可變換為一個(gè)超臨界子半群，則a∈T，a在這一系列變換中始終保持其定則性不變.下面證明設(shè)T為半群S的任意一個(gè)子半群，如果對(duì)T進(jìn)行有限次的可歸變換，使T可變換為一個(gè)超臨界子半群。

因?yàn)榘肴篠為可清源半群，所以有正向子半群存在內(nèi)向性，S1，S2，…Sn是存在內(nèi)向性的正向子半群，由于S1，S2，…Sn的內(nèi)向性可以導(dǎo)向一列符合降鏈條件的子半群.由此可以定義S中的密鏈運(yùn)算，使得該運(yùn)算滿足超臨界條件，因?yàn)镾為可清源半群，所以S1，S2，…Sn是半群S的正向元集，由于每個(gè)因子都帶有伴隨開(kāi)立元，所以

參考文獻(xiàn)：

[1]馬晨江.半群環(huán)的主理想升鏈條件問(wèn)題[J].三峽大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，27（1）：9192.

[2]馬晨江.關(guān)于半群的原單集[J].科技研究，2014， 1：578.

[3]Howie.J.M，An Introduction to Semigroup Theory[M].Acedemic Press Inc.（London），1976.

[4]Ponizovskii.J.S，Semigroup rings[J].Semigroup Forum，1987（36）：146.

作者簡(jiǎn)介：馬晨江（1965），男，碩士，講師。