高中數學與大學數學的內容銜接與思維方式轉變

耿玉倩

摘要：本文以函數和反函數、導數和微分、一元函數和多元函數為例，分析了高中數學與大學數學的內容銜接問題，重點解釋了背后所隱含的思維方式的轉變。主要觀點有三：判斷兩個函數是否互為反函數關鍵看對應規則是否互逆，與用什么符號來表達變量無關；導數反應了原來函數的變化率，微分的實質則是改變量的線性主部，兩者是“率”與“量”的關系；從一元函數到多元函數的轉變，蘊含著豐富的點、線、面這一數學抽象思維。

關鍵詞：高中數學學習；經濟管理數學；知識銜接

高中數學課程內容在很多方面與大學高等數學的內容是重合的[1]，我們高中生在緊張學習之余，翻閱一下大學數學的相關教材，了解兩者之間的內容差異，思考一下兩者的銜接問題，無論對于學好當前課程，還是未來在大學繼續深造相關專業（數學、物理、信息、經濟管理等）都是大有益處的。

本文以冀教版數學教材和經濟管理類微積分教材為例，從三個關鍵點入手，探討兩個階段數學課程學習的差異，重點提出在這兩個階段的數學學習中相關思維方式的轉變問題，這是本文的主要意圖。

一、關于反三角函數的內容銜接：反函數的再認識

大學階段的微積分課程的研究對象為函數，主要利用極限、導數等工具對一元函數和多元函數的微分和積分問題進行學習。高中階段對函數并不陌生，主要學習了函數定義、定義域和值域、單調性和對稱性、圖形和最值等知識。這些知識有些在大學階段是重復的，但是，還有中學階段沒有涉及到的，比如反三角函數、三角函數的和差化積公式、函數周期等[2]。

以反函數為例，高中講了什么是反函數，反函數與原來函數的圖形關系。但是，在大學階段的學習中還要涉及到反三角函數等知識點，這是高中階段沒有接觸到的[3]。這可能會造成部分同學的學習困難，建議先對反函數的概念深入挖掘，借助反函數的定義，對Y=X+3（函數①）、X=Y3（函數②）以及Y=X3（函數③）進行認真研析，發現以下規律：函數①和函數②之間，互為反函數、圖像相同；函數②和函數③之間，函數相同、圖像關于Y=X對稱；函數①和函數③之間，互為反函數、關于Y=X對稱。

這也就意味著，一個函數與另外一個函數是否互為反函數，關鍵是要看對應規則是否互逆，與用什么符號來表達自變量、因變量沒有關系！之所以存在普遍認識上的函數與它的反函數關于Y=X對稱，根本原因在于從函數②到函數③的變化中，我們互換了自變量和因變量的符號，而函數關系并沒有改變！學習大學微積分課程時，可以先以函數y=sinx為例，在上述思維方式的指導下，把它與x=arcsiny、y=arcsinx的關系弄清楚了，然后再進一步學習其它反三角函數。

二、關于導數和微分的內容銜接：導數和微分關系的深入認識

高中數學中我們學習導數的定義和簡單計算公式，導數的實質是：因變量與自變量兩個改變量的比值，在自變量改變量趨于零的變化中的極限問題。導數y′實際上是平均變化率的逼近值，是瞬時變化率問題，它反映在圖像上，就是函數曲線在對應點上的切線斜率問題。這些問題，通過對高中導數知識的深入思考是很容易理解的。

大學課程在以上知識點的基礎上，增加了微分的知識。通過分析大學微積分教材對微分的定義可以發現，微分dy是函數改變量Δy的線性主部，它實質上是“量”的問題，它把是Δy的主要部分和近似表達。

在一元函數的研究中，導數和微分存在等價關系，它們互為充分必要條件。實際上，兩者的關系是“率”和“量”的關系，這從公式dy=y′Δx中可以清楚的看出，函數的微分（Δy的近似值）等于變化率乘以自變量改變量，盡管計算微分時要借助導數計算，但兩者存在本質性的差別。如果無法理解這一點，很容易造成前后知識學習的混亂。

三、關于一元與多元函數的內容銜接：點、線、面思維方式的形成

高中階段對函數的學習，僅限于一元函數，而大學微積分課程中出現了多元函數微積分的內容。這里邊實質上蘊含著數學學習中點、線、面的抽像思維。點是沒有長度的，無數個不同的點連續在一起，就有了長度；一條直線是沒有面積的，但無數條直線連續地并排在一起就有了面積問題；一個平面是沒有體積的，但無數個平面連續地累積在一起，就有了體積。從一元函數到多元函數的轉變，其圖像實際上是“從線到面”的一種轉化。

結合數學定積分定義中微元法“分割、以直代曲、求和、計算極限”的思路，可以理解一元函數定積分實際上是被積函數對應的曲邊梯形面積問題，這也是一種“從線到面”的轉變。我們沿著這種思路，二元函數的雙重積分也就是被積函數曲面對應的曲頂柱體的體積問題，是典型的“從面到體”的轉變。

參考文獻：

[1]宋春雨.淺談經濟管理類數學課程與高中數學課程的銜接[J].科技風，2017（02）：208.

[2]袁利國，等.高等數學與高中數學的銜接比較研究[J].大學教育，2016（11）：4043.

[3]童雯雯.高等數學與高中數學的銜接[J].高等數學研究，2014（05）：3437.