遞推數(shù)列求通項(xiàng)方法總結(jié)

程立清?李曉青

新課程標(biāo)準(zhǔn)下對(duì)于數(shù)列部分考查難度降低，分析近幾年高考試題數(shù)列部分，發(fā)現(xiàn)考查遞推數(shù)列求通項(xiàng)比較頻繁，本文結(jié)合具體例題總結(jié)各類形式遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法。

一、累加法、累乘法

求形如an-an-1=f（n）（f（n）為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列）或 的數(shù)列求通項(xiàng)，可用累加法或累乘法，即令n=2，3，…n—1得到n—1個(gè)式子累加或累乘求得通項(xiàng)。

例1.已知數(shù)列{an}中，a1=1，對(duì)任意自然數(shù)n都有 ，（n>1）求 .

解：由已知得 ，（n>1）

，……，

， ，

以上式子累加，利用 得 - =

= ，

總結(jié)：累加法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n—1個(gè)式子累加求出通項(xiàng)，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求{f（n）}的前n—1項(xiàng)的和，要注意求和的技巧.

例2.已知數(shù)列 中， ，前 項(xiàng)和 與 的關(guān)系是 ，求通項(xiàng)公式 .

解：由 得

兩式相減得： ，

，

將上面n—1個(gè)等式相乘得：

總結(jié)：累乘法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n—1個(gè)式子累乘求出通項(xiàng)，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求{f（n）}的前n—1項(xiàng)的積，要注意求積的技巧.

二、迭代法

求形如 （其中 為常數(shù)） 的數(shù)列通項(xiàng)，可反復(fù)利用遞推關(guān)系迭代求出。

例3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1 = +1，求 .

解：an=3an-1+1=3（3an-2+1）+1=32an-2+3 1+1=…=3n-1a1+3n-2 1+3n-3 1+…+3 1+1=

總結(jié)：因?yàn)檫\(yùn)用迭代法解題時(shí)，一般數(shù)據(jù)繁多，迭代時(shí)要小心計(jì)算，應(yīng)避免計(jì)算錯(cuò)誤，導(dǎo)致走進(jìn)死胡同.

三、公式法（作階差）

若已知數(shù)列的前 項(xiàng)和 與 的關(guān)系，求數(shù)列 的通項(xiàng) 可用公式 求解。

例4.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 滿足 .求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；

解：由

當(dāng) 時(shí)，有

……，

經(jīng)驗(yàn)證 也滿足上式，所以

總結(jié)：利用公式 求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫(xiě)時(shí)一定要合并.

四、轉(zhuǎn)化法

想方設(shè)法將非常規(guī)問(wèn)題化為我們熟悉的數(shù)列問(wèn)題來(lái)求通項(xiàng)公式的方法即為化歸法.同時(shí)，這也是我們?cè)诮鉀Q任何數(shù)學(xué)問(wèn)題所必須具備的一種思想。

例5.已知數(shù)列 滿足

求an

解：當(dāng)

兩邊同除以 ，

即 成立，

∴ 首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列.

總結(jié)：本題借助 為等差數(shù)列得到了 的通項(xiàng)公式，是典型的化歸法.常用的化歸還有取對(duì)數(shù)化歸，待定系數(shù)化歸等，一般化歸為等比數(shù)列或等差數(shù)列的問(wèn)題，是高考中的常見(jiàn)方法.

五、構(gòu)造法

遞推式形如 （p、q為常數(shù)）的數(shù)列求通項(xiàng)，可用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為我們熟知的等差數(shù)列或者等比數(shù)列求解。

例6.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1 = +2，求 .

解：設(shè) ，則 ，

， 為等比數(shù)列，

，

總結(jié)：求遞推式形如 （p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項(xiàng)，可用迭代法或構(gòu)造法構(gòu)造新數(shù)列an+1+ =p（an+ ）來(lái)求得。

例7.已知數(shù)列 滿足 求an.

解：將 兩邊同除 ，得 ，變形為 .

設(shè) ，則 .令 ，

得 .條件可化成 ，

數(shù)列 為首項(xiàng)， 為公差的等比數(shù)列.

.因 ，所以 =

得 = .

總結(jié)：遞推式為 （p、q為常數(shù)）時(shí)，可同除 ，得 ，令 從而化歸為 （p、q為常數(shù)）型.

例8.已知數(shù)列 滿足 求an.

解：設(shè) 通

展開(kāi)后，得 .

由 ，解得 ，

條件可以化為

得數(shù)列 為首項(xiàng)， 為公差的等比數(shù)列， .問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)的問(wèn)題，解得 .

總結(jié)：遞推式為 （p、q為常數(shù)）時(shí)，可以設(shè) ，其待定常數(shù)s、t由 求出，從而化歸為上述已知題型.

六、“猜歸”法

直接求解或變形都比較困難時(shí)，先求出數(shù)列的前面幾項(xiàng)，猜測(cè)出通項(xiàng)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法。也就是按照步驟“歸納”“猜想”“證明”進(jìn)行.

例9.若數(shù)列 滿足： 計(jì)算a2，a3，a4的值，由此歸納出an的公式，并證明你的結(jié)論.

解：∵a2=2 a1+3×2°=2×1+3×2°，

a3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21，

a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；

猜想an=2n-1+（n-1）×3×2n-2=2n-2（3n-1）；

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1.當(dāng)n=1時(shí)，a1=2-1×=1，結(jié)論正確；

2.假設(shè)n=k時(shí)，ak=2k-2（3k-1）正確，

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，

= 結(jié)論正確；

由1、2知對(duì)n∈N*有

總結(jié)：利用“歸納—猜想—證明”法時(shí)要小心猜測(cè)，切莫猜錯(cuò)，否則前功盡棄；用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)要注意格式完整，一定要使用歸納假設(shè).

遞推數(shù)列求通項(xiàng)方法靈活，但是只要掌握了以上類型及其解法，相信一定能處理好高考試題中有關(guān)數(shù)列部分題目。