淺談“設而不求”的解題思考

鐘頂偉

“設而不求”是數(shù)學解題中的一種有效手段，在計算繁雜、或數(shù)量關系不明，而致使思路受阻時，采用“設而不求”的策略，能避免盲目推演而造成無益的循環(huán)運算、時間資源的流失。采用“設而不求”這一策略，往往能化繁為簡，優(yōu)化過程，從而達到準確、明快、簡捷的解題效果。以下列舉幾例，以供借鑒與參巧。

一、“設而不求”，結(jié)果自顯

在解題中，巧設一些末知數(shù)字母來參與題中的已知條件的推算。使運算互相抵消，因而結(jié)果直現(xiàn)，使問題化難為簡。

例1：計算（1+ + +……+ ）×（ + +……+ ）—（1+ + +……+ ）×（ + +……+ ）

分析與解答：此題若通分計算，實為無法辦到。若用字母代替，則十分簡單。

設 + +……+ =A + +……+ =B

則原式=（1+A）×B—（1+B）×A

=B+AB—A-AB

=B-A

=

例2：甲、乙兩人進行百米賽跑，當甲到達終點時，乙在甲后面 20 米處，如果兩人各自的速度不變，要使甲、乙兩人同時到達終點，甲的起跑線應比原起跑線后移多少米？

分析與解答：此題只告訴了路程總量，無論是先求速度還是求時間都很難辦到，如果用字母代替時間，解答易如反掌。

假設甲跑完100 米要用a 秒，則甲的速度為 ，乙的速度為 = 。

現(xiàn)在要使使甲、乙兩人同時到達終點，則乙要跑的路程為 100米，他所用的時間為 100 ÷ = ，也是甲跑的時間。所以甲要跑的路程為： × =125（米）。

故起跑線應比原來起跑線后移125—100=25（米）。

二、“設而不求”在分數(shù)中有末知數(shù)的問題

例3：要使 為可約分的分數(shù)，則自然數(shù)n的最小值是多少？

分析與解答：此題若用列舉法很難辦到，不妨設分子、分母有公因數(shù)a，顯然應有a>1，K為自然數(shù)。并且設：分子n-13=aK1

分母5n+6=aK2

由得n=aK1+13 ，將之代入得：5（13+aK1）+6=aK2

所以a（K2-5K1）=71

由于71是質(zhì)數(shù)，且a>1，所以a=71。那么

n=aK1+13=84。

例4：等差數(shù)列a 的前n項和為Sn，若Sm=m，Sn=n（m≠n）

求Sm+n

分析與解答：此題通過巧妙轉(zhuǎn)換、恒等變形，設置一些與問題有關的元素、即可迎刃而解。

na + d=n

ma + d=m

由-得a + （n+m-1）d=-1

故Sm+n=（m+n）a + d=（m+n）（a + d）

將代入Sm+n=-（m+n）

三、“設而不求”，挖關系、尋依據(jù)

例4：一水箱，用甲、乙、丙三個水管往里注水，若只開甲、丙兩管，甲管注人18 噸水時，水箱已滿；若只開乙、丙兩管，乙管注人 27 噸水時，水箱才滿，又知乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍，則該水箱最多可容多少噸水？

分析與解：假設甲管每分注水量為 a噸，丙每分注水量為b 噸，則乙每分注水量為 2a 噸。

甲、丙兩管同時注水時，甲管所用的時間可以表示為 ，那么在這同一時間里丙管注水量為：b × = 。

乙、丙兩管同時注水時，乙管所用的時間可以表示 ，那么在這同一時間里丙管注水量為： b× =

根據(jù)兩次注水量相等，列方程得： +18=27+

b=2a

由此說明丙每分注水量和乙每分注水量相同。當乙、丙兩管合注滿水池時，乙管注入了 27 噸水，同時也說明丙管注入了27 噸水，所以該水箱最多可容27+27=54（ 噸 ）水。

四、設而不求，列方程求解

這類問題通常要設多個末知數(shù)來列方程，但無需求出每個末知數(shù)的值。

例5：小明參加了六次測驗，第三、第四次的平均分比前兩次的平均分多2 分，比后兩次的平均分少 2分，如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得多少分？

分析與解：設小明第三次測驗成績?yōu)閍分，第四次測驗成績?yōu)閎分，則有：

小明第一、第二次的平均分為 一2，第五 、第六次的平均分為 +2。

根據(jù)后三次平均分比前三次平均分多3 分，列方程，得：

— =3

— =3

=3

即b-a=1

所以第四次測驗成績比第三次多得1分。

故“設而不求”，在數(shù)學解題中已廣泛應用。特別應用在繁雜的數(shù)學難題，通過全面分析、不斷變換觀察角度，類比方法、聯(lián)想內(nèi)容，明確最終目標。經(jīng)過巧妙構(gòu)造，活用性質(zhì)，力求使問題解答完整嚴密，可直達目標。