《橢圓的離心率》教學(xué)設(shè)計(jì)

胡嘉玉

一、教材分析

本節(jié)是一輪復(fù)習(xí)第十章第一節(jié)橢圓的第二課時(shí)，已經(jīng)把大部分知識復(fù)習(xí)完在教材上是對橢圓的進(jìn)一步研究，是對橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，并對之后研究雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，打下基礎(chǔ)。所以本節(jié)是本章教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是高考重點(diǎn)考察的內(nèi)容之一，應(yīng)引起教師和學(xué)生的足夠重視。

二、學(xué)情分析

本節(jié)是在學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)之后學(xué)習(xí)的，學(xué)生已經(jīng)對簡單的橢圓幾何性質(zhì)有所了解，而本節(jié)是針對幾何性質(zhì)中的離心率重點(diǎn)研究，既復(fù)習(xí)離心率，又要對前面知識進(jìn)行綜合應(yīng)用，而且又在1401班授課，屬于文科普通班，學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握較差、運(yùn)算能力較差，所以要做好引導(dǎo)和滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的工作。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能：熟練掌握橢圓的離心率及其有關(guān)實(shí)際問題；

2、過程與方法：由易到難，建立信心，體會數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想，掌握求橢圓離心率的一般解法；

3、情感態(tài)度和價(jià)值觀：通過課堂活動(dòng)參與，獲得成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，敢于創(chuàng)新的科學(xué)的精神。

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：求橢圓的離心率；

難點(diǎn)：運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)解決有關(guān)橢圓的離心率的取值范圍問題。

五、教學(xué)方法

多媒體、導(dǎo)學(xué)案。

六、學(xué)法

根據(jù)學(xué)生情況，應(yīng)用 復(fù)習(xí)--練習(xí)--討論--歸納--提升 的學(xué)習(xí)方法。

七、教學(xué)過程

一、基礎(chǔ)鞏固

1、畫出橢圓 并標(biāo)明a，b，c的位置關(guān)系及其大小關(guān)系。

c2=a2-b2

2、寫出橢圓的離心率及其范圍

e=a（c），且e∈（0，1）

3、橢圓離心率的作用？

反映了焦點(diǎn)遠(yuǎn)離中心的程度，決定橢圓形狀，反映了橢圓的扁平程度。

先分析橢圓離心率e的取值范圍：

∵a>c>0，∴ 0

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

（1）當(dāng)e接近0時(shí)，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；

（2）當(dāng)e=0時(shí)，c=0，a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為 ，圖形就是圓了。

4、4、已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，.若P為橢圓上一點(diǎn)，

則 ， 。

二、重點(diǎn)突破

1.比較橢圓 與 ，哪個(gè)更圓？

2.2.如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用 和 分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的焦距，用 和 分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：

① ② ③ ④ 其中正確式子的序號是

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

【解析】思考不變的是什么，列出等式，再通過離心率的意義，做判斷。

答案：B

【設(shè)計(jì)意圖】這兩題都是考察橢圓離心率的意義應(yīng)用，與實(shí)際結(jié)合更突顯離心率的重要性。

3.3.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距為4.若P為橢圓C上一點(diǎn)，且△PF1F2的周長為14，則橢圓C的離心率e為________.

【解析】因?yàn)榻咕酁?，所以c=2.因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)，且?÷PF1F2的周長為14，所以2a+2c=14，所以a=5，所以橢圓C的離心率e=a（c）=5（2）.

【設(shè)計(jì)意圖】通過計(jì)算出 ，求離心率，也是最簡單的一種算法。

4.橢圓 的離心率為 ，則 ___________.

【解析】當(dāng) 時(shí)， ，

當(dāng) 時(shí)， ，

所以 或 。

【設(shè)計(jì)意圖】滲透分類討論思想，橢圓問題始終不要忘了討論焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。

【小結(jié)】：求橢圓離心率的方法：

（1）直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.

（2）列出含有a，b，c的齊次方程（或不等式），借助于b2=a2-c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程（或不等式）求解.

（1）若PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，則此橢圓的離心率為________.

【解析】因?yàn)閨PF1|=2|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a，

所以|PF1|=3（4）a，|PF2|=3（2）a，因?yàn)镻F1??PF2，

所以a（4）2+a（2）2=（2c）2，所以e=3（5）.

答案：3（5）

（2）若存在一點(diǎn)P，若PF1⊥PF2，則此橢圓的離心率的取值范圍是________.

【解析】法一：令|PF1|=x，|PF2|=y.由橢圓的定義可得x+y=2a，因?yàn)镻F1??PF2，所以x2+y2=4c2，因?yàn)椋▁+y）2=x2+y2+2xy≤2（x2+y2），當(dāng)且僅當(dāng)x=y=a時(shí)取等號，即4a2≤2（4c2），所以a≤c，所以a（c）≥2（2），即e≥2（2），因?yàn)閑<1，所以2（2）≤e<1.

答案：，1（2）

法二：看成以 為直徑的圓，利用結(jié)論橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心的距離最小值為短半軸長。

法三：利用 ，再結(jié)合橢圓性質(zhì)求解。

法四：根據(jù)當(dāng)P 與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，∠F1PF2 最大

（3）若存在一點(diǎn)P，使|PF1|=2|PF2|，則此橢圓的離心率的取值范圍是________.

【解析】 法一：設(shè)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是2k，k，

根據(jù)橢圓定義可知3k=2a，

又結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的最大值為2c，即k≤2c，

?à2a≤6c，即e≥3（1）.

又??0

故橢圓的離心率的取值范圍為，1（1）.

法二：根據(jù) 求解

（4）已知橢圓的長軸長不小于短軸長的4倍，則橢圓的離心率的取值范圍是__________.

【解析】 法一：條件 怎樣轉(zhuǎn)化？

結(jié)合上例，平方得 ， 得 .

法二：也可讓學(xué)生在題5的基礎(chǔ)上直接通過圖像猜想結(jié)論，使學(xué)生了解a，c參數(shù)變化后， 的變化情況。

【設(shè)計(jì)意圖】通過改變條件，使橢圓性質(zhì)的考察更全面，并學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想簡化運(yùn)算。

三、小結(jié)

四、2個(gè)技巧、1種方法。

四、布置作業(yè)

完成導(dǎo)學(xué)案的課后小練。