構筑“題”“圖”“型”的共同體

賈志慧

借助幾何直觀，可以有效幫助學生提高分析和解決問題的能力。下面結合北師大版三年級上冊“里程表問題”內容的系列教學，來談談我們的思考。

一、先“圖”后文，圖生圖長

說到幾何直觀，看圖能力的滲透自然是第一步。教學中，教師應有意識地培養學生學會看圖，并結合文字進行分析。

如圖1，里程表（一）中教材情境既有文字，也有圖表。為了培養學生的看圖能力，我特意隱去文字（如圖2），先直接讓學生看圖，并交流討論。

師：通過看圖，你們知道了哪些數學信息？

生1：我知道了火車從北京開往西安，途中經過了保定、石家莊、鄭州、洛陽這四個站。

師：好的，請大家再看表格（如圖3）。你能把這些數據信息標示在圖上嗎？當然，如果你想用自己喜歡的圖式來表達，也可以創作一幅。

隨后，老師根據學生的思考、匯報等，呈現如書本里的象形圖、數線圖，并交流各種圖式之間的異同點，再讓學生求解各站點之間的距離。

先圖后文或者先文后圖，并不是一個簡單的先后順序問題，這里面有教者的設計與思考。在上例中，教師先直接呈現圖，并引導學生通過看圖、補圖、創圖等活動，自主探索和發現，思維從具體到抽象，不斷延伸。接著，又通過對比，讓學生體會到同一問題情境中，“圖”的表現形式也是多元化的。這種讓“圖”生長的過程，其實就是學生把握教量關系、理解題目意義的過程。

二、看題想“圖”，借圖解題

看圖、創圖能力的培養固然重要，但能否正確借助圖來分析和解決問題，也是學生解題能力形成的標志之一。

如圖4，里程表（二）的教材情境中，要解決的是汽車里程表中的讀數問題。由于缺乏類似的生活經驗，學生往往難以理解。于是，我做了如下嘗試。

老師拿出一本新書，然后開始提問。

師：這是老師新買的一本故事書，還沒看呢。要想表示我看的頁數，用哪個數比較合適？

生（齊）：用0來表示。

師：很好！請用“0”記錄下來。我準備周一讀到第15頁，請接著記錄，并想一想我周一讀了幾頁。

教師引導學生用如圖5的方式記錄下來。

師：我準備周二讀到第47頁，周三讀到第80頁。請在原圖上繼續記錄。

教師引導學生記錄并完成圖6。

師：那么我周二讀了幾頁？周三讀了幾頁？ 學生列出算式后，追問算式中每一步計算的道理，順著學生的說明完善并形成圖7。

在上面的引導性材料學習完之后，老師呈現圖4，放手讓學生自主畫圖表示，然后匯報交流。學生很快便面出了如下的圖8：

之所以將上述教學做了調整，是因為學生在平時生活中，沒有記錄汽車里程的經驗，不明白“讀數”與“里程數”這兩個概念的意思。于是，老師舉了一個看書的例子，學生對“看了幾頁”與“看到幾頁”是有經驗的，將這個熟悉的事件用圖表達也是輕而易舉，再來實現知識遷移就容易多了。在整個學習過程中，老師利用圖的直觀幫助學生理解數學概念，借圖釋義，再來解題也就水到渠成了。

三、構“圖”得型，圖有所成

畫圖策略的培養，能幫助學生全面建構知識，體會把具體問題抽象為數學模型，從而得出一般的解題方法。當然，畫圖策略的滲透不應止步于一節課或一種課型。只有讓學生多次經歷圖的產生、形成、發展的過程，有了系統的認識，學生才會把畫圖策略內化為自己的方法。

在“里程表”知識的復習課上，我是這么做的。

首先，老師在黑板上貼出三條不同顏色的線段（如圖9），然后依次捉出如下問題，引導學生層層深入理解分析。

（1）有一列火車是從衢州出發，要經過上饒和南平，再到達龍巖，與其他城市的距離分別是這三條線段的長度。（課件出示圖10）

（2）你能把這三條線段合并成一條線路圖，讓大家一眼就看出火車行走的路線嗎？

學生在黑板上展示方法，形成如下的圖11。

（3）你能用線段圖把它們的關系表達出來，并標上相關信息嗎？

學生在作業紙上面一面、標一標，然后展示學生作品。如圖12：

（4）根據這些信息，你能解決什么問題？請列出算式不計算。學生很快呈現如下算式，并解釋了每個算式所解決的數學問題。

364-105 531-364 531-305

（5）請你們在圖13上標出這幾個位置的數據，你會嗎？

學生動筆很快有了結果。在反饋時，老師繼續提問：剛才的圖上，為什么在第一個方框里標的是0？有了前面的層層深入，學生的解釋自然合情合理。

在這節復習課中，我有意識地讓學生經歷“把三條線合成一條線”的過程，溝通了圖與圖之間的相連、包含等關系，讓學生逐步抽象并全面構建出解決“起點為零的里程問題”模型。這樣的復習過程，一來厘清了知識的來尤去脈，二來促使學生自我建構以圖為媒介的“圖型”系統，使得知識的學習更具有遷移的力量。

總而言之，幾何直觀思想的滲透，需要老師們更多的一些整體設計，站在更高的數學視野上，用更具張力的“圖型”來引導單元知識的學習，從而能更好地培養學生靈活解決問題的能力。