建模思想在棱錐外接球問題中的應(yīng)用淺析

謝衛(wèi)煌

新課標(biāo)提出：“在教學(xué)中，應(yīng)注重讓學(xué)生在實(shí)際問題中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律……”。即在教學(xué)中，要讓學(xué)生“經(jīng)歷將一些實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題過程”，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)。甚至我們還要學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)那“抽象”的“冰冷”的美，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)建模思想滲透，讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情景——數(shù)學(xué)建模——求解——解釋與應(yīng)用”的基本過程。

初看概念，一個(gè)是多面體，一個(gè)是長方體，兩個(gè)不同的概念，怎么可以聯(lián)系起來呢？我們首先來看最簡單的多面體即三棱錐與四棱柱的關(guān)系。首先，我們追究一下三棱錐的概念：一個(gè)底面是三角形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做三棱錐。再看四棱柱，一個(gè)四棱柱（長方體是特殊四棱柱）可以分割成三個(gè)三棱錐，從這一點(diǎn)可以看出，三棱錐可以由四棱柱分割而來，可以看出三棱錐與四棱柱之間的關(guān)系，也就是說，三棱錐與四棱柱還是有著緊密的聯(lián)系的，正因?yàn)檫@種緊密的聯(lián)系，才讓三棱錐的外接球問題可以嘗試著用四棱柱去解。是否可以由此遷移，其他多面體外接球問題也可以借助直棱柱來解決呢？值得反思與探討，這里，我們只研究多面體與最簡單、最特殊的直棱柱即長方體之間的關(guān)系。同時(shí)，通過對全國高考卷試題的分析發(fā)現(xiàn)，多面體的外接球問題是高考的熱點(diǎn)與高頻考點(diǎn)，所以研究“借用直四棱柱解決多面體外接球問題”的方法具有非常現(xiàn)實(shí)而迫切的意義！具體來說：就是把多面體置身于長方體（含正方體）中，把長方體作為母體，建立數(shù)學(xué)模型，通過求它們的外接球半徑，從而求多面體外接球半徑，很多問題可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。這里首先引入兩個(gè)公式，設(shè)正方體棱長為 ，外接球半徑為 ，則 ；設(shè)長方體的棱長分別為 ，外接球半徑為 ，則 。

一、三棱錐

1.正四面體

問題：一個(gè)棱長為2的正四面體，求其外接球的表面積？

如圖1所示，把正四面體置身于正方體中，即可轉(zhuǎn)化為求棱長為1的正方體的表面積，迎刃而解。

2.三棱兩兩垂直

例1：已知三棱錐 中， 兩兩垂直，且 ，求三棱錐 外接球的體積？

如圖2所示，把三棱錐 置身于棱長分別為2，1，1的長方體中即可。

3.四個(gè)面是直角三角形

例2（2017年廣州市一模第10題）：《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑。若三棱錐 為鱉臑， ⊥平面 ， ， ，三棱錐 的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 的球面上， 則球 的表面積為（ ）

如圖3所示，同樣可借長方體的“殼”，求三棱錐外接球表面積。該三棱錐實(shí)際上就是長方體的一部分即三棱錐 ，底面 是直角三角形，從而可求

，從而選C。

4.底面是直角三角形

例如：如圖是某幾何體的三視圖，正視圖是等邊三角形，側(cè)視圖和俯

視圖為直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為（ ）

解析：把該三視圖對應(yīng)的幾何體還原并指置身于

直棱柱中，如圖4，發(fā)現(xiàn)底面 是直角邊分別為

1、2的直角三角形，則由 ，從而可求 ，進(jìn)一步可求得 。

5.對棱相等

這種三棱錐的外接球問題其實(shí)已經(jīng)相對復(fù)雜，但如果建模，構(gòu)造長方體，轉(zhuǎn)化為長方體的外接球問題，思維敏捷，效率高效，可以達(dá)到“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村“的美好境界。

如在三棱錐 中，已知 ，求三棱錐 的外接球的表面積？

解析：如圖5所示，把 置身于長方體中，設(shè)棱長分別為 ，使各面對角線滿足 條件即可，則由 ，從而利用公式 得到：

，所以三棱錐 的外接球的表面積為 。

二、四棱錐

例4：如圖6所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個(gè)多面體的三視圖，若該多面體的所有頂點(diǎn)都在球 的表面上，則球 的表面積為（ ）

. . . .

解析：經(jīng)三視圖還原幾何體可知該幾何體為一個(gè)底面邊長為 ，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，把它置身于一個(gè)正方體內(nèi)（如圖，正對的為面 ），很快即可以由公式 得到 從而選 。

三、其它多面體

例5：一個(gè)長方體被一個(gè)平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖10所示，則該幾何體的體積為（ ）

要求該幾何體的體積，首先需要還原幾何體，這個(gè)問題的背景是“幾何體由長方體產(chǎn)生”，所以，結(jié)合三視圖，只要先畫一個(gè)長為6，寬為4，高為4的長方體，在該長方體中可以較快得到多面體 ，從而迅速求得該幾何體的體積為48.

通過對本題的研究，學(xué)生真正經(jīng)歷了一次徹頭徹腦的“問題情景——數(shù)學(xué)建模——求解——解釋與應(yīng)用”的基本過程，真正領(lǐng)略建模思想的數(shù)學(xué)意義，讓多面體的外接球問題具備了廣袤無垠的生機(jī)，并得到高效解決，從而收獲學(xué)生濃厚的信心。對于全國卷來說，考查能力要求提高了，對于多面體外接球問題，牽涉到由三視圖還原幾何體、如何找多面體外接球半徑，知識點(diǎn)多，還要求具備較強(qiáng)的空間想像能力，對于理科生來說，已經(jīng)不容易，對于文科生來說，更是難點(diǎn)，所以，作為教師，應(yīng)該充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，充分利用轉(zhuǎn)化思想，使問題得到簡化與高效。建模思想在解決多面體外接球問題中的意義，不僅僅在于化復(fù)雜多面體為特殊幾何體，還在于這種思想在“還原幾何體”中的應(yīng)用。所以，借用長方體解決復(fù)雜多面體外接球問題具有重大的意義！