1.2解三角形應用舉例

李劍飛

一、教學目標

1.知識與技能

（1）鞏固正弦定理和余弦定理的基礎知識（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題。（3）培養學生運用圖形、數學符號表達題意和應用轉化思想解決數學問題的能力，從而培養學生分析問題和解決問題的能力：同時培養學生數學建模能力。

2.過程與方法

通過學生思考，交流—>教師引導，分析師生合作探究，建立模型，歸納總結，提煉，逐步深入的過程；采用變式深化，分層遞進的方法，由簡到繁，由易到難，再把復雜問題轉化為已經解決的問題來解決，螺旋上升。

3.情感、態度與價值觀

激發學生學習數學的興趣，并體會數學的應用價值與文化價值；

二、教學重點、難點

教學重點：由實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解。

教學難點：根據實際問題和數學知識的聯系建立數學模型，然后應用數學知識求解。從而培養學生的數學應用已設解決實際問題的能力。

三、教學設計

1.復習舊知

復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？（待學生回答后用圖片在屏幕上展示課件圖片）

（1）什么是正弦定理、余弦定理

（2）運用正弦定理能解怎樣的三角形？

①已知三角形的任意兩角及其一邊； ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角.

（3）運用余弦定理能解怎樣的三角形？

①已知三邊求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.

2.新課講授

（1）提出問題

在講臺兩側的地面上各取一點A，B，不能穿過講臺，如何測量A，B兩點之間的距離？（測量工具：測角儀。皮尺）

設計意圖：問題情境簡單，思維開放，就地取材，激發學生的參與熱情

1.學生思考，交流，匯報方案

2引導揭示數學本質，建構模型

對于解三角形的實際應用，我們不難看到三角形的邊其實際上就是線段，也就是兩點之間的距離，從而現實中的距離的問題就可以通過正弦定理，余弦定理解三角形來解決。這就需要我們構造三角形，把實際中的距離轉化為三角形的邊來求解，從而需要解決轉化這個問題，如何建模，如何測量，如何構建的問題。

解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數學模型來求解。

設置情境：給學生播放記錄片段1949，4渡江戰役，百萬雄師渡長江的戰役，我軍工兵在我方測量我方大炮和敵方防御工事的距離，要知道，準確的測量可以大大提高大炮的準確率 減少我軍戰士的犧牲，進而為贏得勝利奠定基礎，（當時測量工具只有測角儀，皮尺）

（2）提出問題：我方測量我方大炮和敵方防御工事的距離？

設計意圖：激發學生學習數學的興趣，并體會數學的應用價值；培養學生愛國主義精神。

1.學生思考，交流，匯報方案

2引導揭示數學本質，建構模型

例1、設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m， BAC= ， ACB= 。求A、B兩點的距離（精確到0.1m）

提問1： ABC中，根據已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？

提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。

小結：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據三角形的內角和定理很容易根據兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。

例2、當時，D地的敵人以每小時20公里的速度來支援B地的敵人，他們多少分鐘后到達，能不能在支援的敵人到達之前占領B地，具有重大的戰略意義，我們得先計算BD兩點的距離？

設計意圖：分層遞進，螺旋上升，進一步應用知識。培養學生探尋解決問題的思路與策略。

如圖，D、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量D、B兩點間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出BC和CD，再利用余弦定理可以計算出BD的距離。

3.歸納總結：1）兩點間的距離，大致又可分為（1）可直接測量的兩點的距離（中間無障礙物），（2）兩點之間有障礙物而且均可到達兩點的距離，（3）一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離。（4）兩點都不可到達的兩點的距離。

2）解斜三角形應用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數學模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解

（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解