勤思善結(jié) 跳出題海

陳星

圓錐曲線作為高考的熱點內(nèi)容之一，向來都以“壓軸題”的形式出現(xiàn)，因其綜合性強(qiáng)，往往令人生畏不戰(zhàn)而敗。任何題目都有各自解題思路，我在學(xué)習(xí)過程中的經(jīng)驗是，勤思考，多總結(jié)，不必遨游題海。下面我以一道高考題為例談一下我的解題感悟。

例（2014，山東）已知拋物線C：=2px（p>0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D且有.當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為3時，ΔADF為正三角形.

（1）求C的方程.

（2）若直線l1//l且l1和C有且只有一個公共點E，

①證明直線AE過定點，并求出定點坐標(biāo).

②ΔABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由

解 （1）由題意知F（，0）.

設(shè)D（t，0）（t>0），則FD的中點為（，0）.

因為

由拋物線定義知3+p=，.

解得t=3+p或t=-3（舍去）.

由=3，解得p=2.

所以拋物線C的方程為y2=4x.

（2）①由（1）知F（1，0）.

設(shè)A（x0， y0） （x0 y0≠0），D（xD，0）（xD>0）.

因為|FA|=|FD|，則|xD-1|=x0+1，

由xD>0得xD=x0+2，故D（x0+2，0），

故直線AB的斜率kAB=-，

因為直線l1和直線AB平行，

設(shè)直線l1的方程y=-x+b，

代入拋物線方程得y2+y-=0，

由題意得Δ=+=0，得b=.

設(shè)E（xE， yE），則yE=-，xE=.

當(dāng)y02≠4時，kAE===，

可得直線AE的方程為y-y0=（x-x0）.

由y02=4x0，

整理得y=（x-1），

直線AE恒過定點F（1，0），

當(dāng)y02=4時，直線AE的方程為x=1，過點F（1，0）

所以直線AE恒過定點F（1，0）.

2由1知直線AE過焦點F（1，0），

所以|AE|=|AF|+|FE|=（x0+1）+（+1）=x0++2.

設(shè)直線AE的方程為x=my+1.

因為點A（x0，y0）在直線AE上，故m=.

設(shè)B（x1，y1），直線AB的方程為y-y0=（x-x0），

由于y0≠0可得x=-y+2+x0，

帶入拋物線方程得，y2+y-8-4x0=0，

所以y0+y1=-，

可求得y1=-y0-，x1=+x0+4.

所以點B到直線AE的距離為

d===4（+）.

則ΔABE的面積s=*4（+）（x0++2）≥16，

當(dāng)且僅當(dāng)=x0，即x0=1時等號成立.

所以則ΔABE的面積最小值為16.

解題小結(jié)：（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，此例應(yīng)用拋物線的定義直接求解；（2）①探索定點問題：本題由直線l1// l，且l1和C有且只有一個公共點E，求出含參數(shù)的直線AE的方程，分離參數(shù)得出直線過定點，最后驗證特殊值時也成立。這類問題也可從特殊入手，先求出定點，再證明這個點與變量無關(guān)。同樣這兩種思路也適用于探索定值問題②探索最值問題，此例先用點A坐標(biāo)表示出ΔABE的面積，再用用基本不等式求最小值。也就是用的代數(shù)方法，把要求的最值或范圍的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用函數(shù)方法、不等式方法等求解。此類題還可利用幾何方法，由定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解。

總之，做圓錐曲線題時我們見點設(shè)點，見線設(shè)線，再與圓錐曲線方程聯(lián)立，消參求解。只要我們勤思善結(jié)，就能做到舉一反三，事半功倍！endprint