Sn×R中具有常平均曲率的超曲面研究

周俊東，黃映雪

（阜陽師范學院 數學與統計學院，安徽 阜陽 236037）

Sn×R中具有常平均曲率的超曲面研究

周俊東，黃映雪

（阜陽師范學院 數學與統計學院，安徽 阜陽 236037）

研究了積空間Sn×R中具有常平均曲率的完備超曲面，通過計算超曲面一些幾何量的Laplace，運用Omori-Yau的一般性極值原理，得到一些剛性定理和一個不等式，給出完備超曲面的分類。

積空間；完備超曲面；常平均曲率

積空間中的曲面被廣泛研究。S2×R中定角曲面[1]的完全分類研究很多。Batista給出S2×R和H2×R中具有常平均曲率曲面[2]上的一個Simons型方程。Aquino C P等研究了積空間中具有常平均曲率完備超曲面的角[3]。關于積空間中的子流形研究，參考文獻[4-7]。

本文研究了Sn×R中具有常平均曲率的完備超曲面，通過活動標架法，首先計算了|T|2的Laplace，利用Omori-Yau的一般性極值原理，得出此類超曲面一定位于Sn中，且是極小。其次計算了第二基本形式模長平方S的Laplace，利用Omori-Yau的一般性極值原理，得出此類超曲面關于Ricci曲率和截面曲率的剛性定理和一個不等式。

1 預備知識

設Mn是Sn×R中的超曲面。在Sn×R上選擇局部標架場 e1,···,en+1,當限制在 Mn上時，e1,···,en是切于 Mn和 en+1是法于 Mn。 我們對各類指標范圍約定：1≤i,j,k,···≤n,用 t表示 R 的坐標，?=?表示R方向的切向量場。?可作如t?tt下分解：

在活動標架下，Sn×R黎曼曲率分量可表示：

2 主要定理與證明

定理1設Mn是Sn×R中的具有常平均曲率的完備超曲面，若|T|2≤1且Ricci曲率有下界，2則Mn是位于Sn中的極小超曲面。

證明計算|T|2的 Laplacian：

由Mn是完備的且Ricci曲率有下界，|T|2有界，由引理1可得：對任意的收斂于0的數列。

{εi}→0,(i→∞),則在Mn上存在一組點列{xi}，使得

所以sup|T|2=0,H2=0,即 Mn是位于Sn中的極小超曲面。

定理2設Mn是Sn×R中的具有常平均曲率的 完 備 超 曲 面 ，若 |T|2是 常 數 且Ric(Mn)≥n-1-|T|2,則 Mn是全臍超曲面，或者Mn=Nn-1×R。

證明由|T|2是常數和(1)式得到

選擇適當的活動標架使得hinj+1=λiδij,λi是 Mn的主曲率。由式(6)和式(10)，計算Mn的第二基本形式模長平方S的Laplacian，得到如下不等式

由定理條件Ric(Mn)≥n-1-|T|2,和式(12)得到 nHλi≥(n-2)Ti2+λ2i,即所有的 λi是同號的(包括 0)，由式(4)得出

對式 nHλi≥(n-2)Ti2+λ2i關于i求和得到n2H2-(n-2)|T|2≥S,所以S有界。由引理1可得：對任意的收斂于0的數列{εi}→0,(i→∞),則在Mn上存在一組點列{xi},使得

當 i→∞ 時 ，由 式 (11)、(13)、(14)得 到0≤n(sup S-nH2)(1-|T|2)＜0 ，所以 sup S=nH2，即Mn全臍超曲面；或者|T|2=1,?t是 Mn的切向量，Mn=Nn-1×R。

定理3設Mn是Sn×R中的具有常平均曲率的完備超曲面，若|T|2是常數且Ricci曲率有下界，則在Mn上有不等式

證明計算Mn的第二基本形式模長平方的Laplacian:

由于 Mn的 Ricci曲率有下界，不妨設Ric(Mn)＞q。由式(12)得出

即S有上界，由引理1得出：對任意的收斂于0的數列{εi}→0,(i→∞),則在 Mn上存在一組點列{xi},使得

[1]Dillen F,Fastenakels J,Van Der Veken J,et al.Constant angle surfaces in S2×R[J].Monatshefte für Mathematik,2007,152(2):89-96.

[2]Batista M.Simons type equation in S 2×R and H 2×R and applications[J].Ann inst Fourier(Grenoble),2011,61:1299-1322.

[3]Aquino C P,de Lima H F,Lima E A.On the angle of complete CMC hypersurfaces in Riemannian product spaces[J].Differential Geometry and its Applications,2014,33:139-148.

[4]Chen Q,Cui Q.Normal scalar curvature and a pinching theorem inSm×RandHm×R[J].Science China Mathematics,2011,54(9):1977-1984.

[5]Chen H,Chen G Y,Li H Z.Some pinching theorems for minimal submanifolds inSm(1)×R[J].Science China Mathematics,2013,56(8):1679-1688.

[6]Fetcu D,Oniciuc C,Rosenberg H.Biharmonic submanifolds with parallel mean curvature inSn×R[J].Journal of Geometric Analysis,2013,23(4):2158-2176.

[7]周俊東．關于中具有平行平均曲率向量場子流形的一個剛性定理[J]．中國科學技術大學學報，2016（08）：625-628．

[8]Omor H.Isometic immersion of Riemannian manifolds[J].J.Math.Soc.Japan.,1967,19:205-214.

[9]Yau S T.Harmonic functions on Rimannian manifolds[J].Comm.Pure andAppl.Math.,1975,28:201-228.

[10]舒世昌，劉三陽.局部對稱流形的具常平均曲率的完備超曲面[J].數學年刊 A 輯，2004，25（1）：99-104.

Complete hypersurfaces with constant mean curvature inSn×R

ZHOU Jun-dong,HUANG Ying-yue

(School of Mathematics and statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui 236037,China)

Complete hypersurfaces with constant mean curvature inSn×Rwere investigated.By Laplace of some geometric quantities on hypersurfaces some rigidity theorems and an inequality were obtained with Omori-Yau's generalized maximum principle,and classification for hypersurfaces was given.

product space;complete hypersurfaces;constant mean curvature

O186.1

A

1004-4329（2017）02-006-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）02-006-03

2017-02-25

安徽省高校自然科學研究重點項目(KJ2017A341)；阜陽師范學院青年人才重點項目(rcxm201714)；阜陽師范學院科研項目(2016FSKJ04)資助。

周俊東（1983－ ），男，碩士，講師，研究方向：微分幾何。