等差數(shù)列和等比數(shù)列的對(duì)比分析

丁一鳴

摘要：本文先分別對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念進(jìn)行簡(jiǎn)述，進(jìn)而在實(shí)際例題的基礎(chǔ)上，對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列相關(guān)問題的解答過程進(jìn)行詳細(xì)闡述。

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；等比數(shù)列；對(duì)比分析

中圖分類號(hào)：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-9129（2017）12-0210-01

Abstract： in this paper， first the concept of the series of equal difference and proportion， respectively， and then on the basis of actual examples， the problems associated with the geometric sequence arithmetic progression solution process in detail.

Key words： arithmetic sequence； Geometric series； Comparison and analysis

數(shù)列知識(shí)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的重點(diǎn)內(nèi)容，而等比與等差是其中的重要知識(shí)點(diǎn)。在對(duì)等差和等比數(shù)列進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)候，我們需要將這兩種數(shù)列的概念進(jìn)行清楚的把握，要在相關(guān)題目的解答以及性質(zhì)中區(qū)分兩者，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)能力。

1 等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念

所謂等差數(shù)列，其主要是指在第二項(xiàng)開始，其中的每一項(xiàng)都與其前一項(xiàng)差為同樣一個(gè)常數(shù)的數(shù)列。在我們學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的時(shí)候，數(shù)學(xué)教材、試題等都經(jīng)常使用AP來表示。其中的常數(shù)是等差數(shù)列的公差，而公差經(jīng)常使用字母d進(jìn)行表示。等差數(shù)列是比較常見的一種數(shù)列，就我們基礎(chǔ)到最多的是1，3，5，7，9......2n-1，此數(shù)列的通項(xiàng)公式是an+a1+（n-1）*d。通項(xiàng)公式主要是指若是數(shù)列的前n項(xiàng)an和n之間的關(guān)系能運(yùn)用一個(gè)規(guī)范的公式進(jìn)行表示，這個(gè)公式就是同向公式。有些數(shù)列通項(xiàng)經(jīng)常可以使用兩個(gè)或者是兩個(gè)以上的式子進(jìn)行表示。沒有同向公式的數(shù)列也存在的，比如質(zhì)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列。除此之外，常見的等差數(shù)列還有2，4，6，8......等等。等差數(shù)列的定義式為an-an-1=d（n≥2），在這其中公差d是一個(gè)常數(shù)，而n為一個(gè)正整數(shù)。

所謂等比數(shù)列，其主要是指在第二項(xiàng)開始，其中每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)之間的比值都是用一個(gè)常數(shù)，這種是數(shù)列就是等比數(shù)列，在在我們學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的時(shí)候，數(shù)學(xué)教材、試題等都經(jīng)常使用GP來表示等比數(shù)列。在這其中的常數(shù)是等比數(shù)列的公比，公比經(jīng)常使用字母q來進(jìn)行表示，而等比數(shù)列a1≠0。等比數(shù)列中的每一項(xiàng)都不是0，而在q為1的時(shí)候，an是常數(shù)列。在我們學(xué)習(xí)過程中，比較常見的等比數(shù)列是1、2、4、8、16……2^100等，而等比數(shù)列的定義式為 =q（n≥2，an-1≠0，q≠0）.在我們的實(shí)際生活中，等比數(shù)列被廣泛運(yùn)用。比如在銀行中有一種叫復(fù)利的利息支付方式，其是將前一期利息本金加載一起當(dāng)做本金，再計(jì)算下一期的利息。[3]

2 等比數(shù)列與等差數(shù)列問題的解析

在對(duì)等比數(shù)列和等差數(shù)列相關(guān)的問題進(jìn)行解答的時(shí)候，最重要的是要掌握兩種數(shù)列的性質(zhì)和特點(diǎn)，并且要對(duì)其中的公式進(jìn)行靈活運(yùn)用，然后再詳細(xì)地分析問題，在問題提供的各種條件信息基礎(chǔ)上正確的解析問題。

2.1 等差數(shù)列問題的解析

等差數(shù)列題型在我們?nèi)粘５牧?xí)題、試卷中經(jīng)常出現(xiàn)，同時(shí)也是高考中常見的一種題型。等差數(shù)列還會(huì)和高中數(shù)學(xué)其他的一些知識(shí)聯(lián)系在一起，以此構(gòu)成一種綜合性的問題，比如和最值問題與函數(shù)問題相結(jié)合，以此來對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握是否全面進(jìn)行考查。在對(duì)這種等差數(shù)列的問題進(jìn)行解答的時(shí)候，需要先對(duì)題干中的內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)分析，在掌握題目提出的問題和等差數(shù)列理論知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行解答，以此提升等差數(shù)列問題的解答效率。就以下面這道題目為例子：

例題1：若是（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，試著證明m，n，X是等差數(shù)列。

解析：這道題目若是使用普通解題方式會(huì)十分復(fù)雜，在對(duì)這種等差數(shù)列的證明題進(jìn)行解答的時(shí)候，可以使用構(gòu)造法的方式把題目中條件與結(jié)論綜合在一起，這樣就簡(jiǎn)化了問題。綜合題目建設(shè)相關(guān)的方程式：（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，假設(shè)△=（m-n）-4（n-x）（x-m），這樣就可以得出△=0。則建設(shè)的方程式中實(shí)數(shù)根就是一樣的，所以t值為1，構(gòu)建的方程式兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是1。然后再使用韋達(dá)定理得到m+n=2x，這樣就可以直接證明題目中的m，n，x是等差數(shù)列。這種等差數(shù)列的題目對(duì)我們而言存在一定的難度，但是只要我們能夠掌握等差數(shù)列的相關(guān)特性與性質(zhì)，并且使用一些特殊的方式，則就可以讓解答過程更加的簡(jiǎn)單，并且很快的解答出正確答案。[2]

2.2 等比數(shù)列問題的解析

等差數(shù)列題目也是以各種形式出現(xiàn)在我們的日常習(xí)題、考試中，尤其是在高考試卷中占據(jù)了一定的分值，對(duì)往年的高考試卷進(jìn)行分析，通過對(duì)等比數(shù)列相關(guān)問題的解答，可以積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)，并且掌握相關(guān)的解題思路。

例題2：定義一種運(yùn)算 對(duì)任意n∈N*都滿足一下運(yùn)算性質(zhì)：2 2016=1；（2n+2） 2016=3[（2n） 2016]，根據(jù)這些條件求出2016 2016的值。

解析：在讀題中我們發(fā)現(xiàn)（2n） 2016和[（2n） 2016]結(jié)構(gòu)一樣，前面為n，而后面則是n+1，針對(duì)這一點(diǎn)我們?cè)诮忸}的時(shí)候就可以將其看作為某個(gè)數(shù)列的相鄰兩個(gè)項(xiàng)，這樣就可以很快的切入到解題中。設(shè)置an=（2n） 2016，則從題干中的條件中就可以知道a1是1，同時(shí)也可以知道an+1=3an，也就是 =3，其中n屬于正整數(shù)。因此數(shù)列是公比為3的等邊數(shù)列，這樣就可以得出an=a1·3n-1，這樣就可以得到2016 2016=（2×1008） 2016=a1008=31007。這道題的關(guān)鍵在于使用了換元的方式，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)換為自己熟悉的等比數(shù)列問題，這樣可以讓問題的解答更加簡(jiǎn)單。[1]

3 結(jié)束語：

等比和等差數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的主要構(gòu)成部分，在對(duì)這兩方面的知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)候，我們需要區(qū)分兩者之間的差異。首先要從概念上對(duì)兩者的性質(zhì)進(jìn)行了解，然后在解題過程中了解兩種問題解答的方式，以此來積累自己的經(jīng)驗(yàn)，并且加深自己對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的記憶。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉立強(qiáng). 構(gòu)造等比數(shù)列巧解題[J]. 高中數(shù)理化， 2016（z1）：33-34.

[2]劉顯奮. “構(gòu)造法”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用——以等差數(shù)列教學(xué)為例[J]. 廣西教育， 2016（14）：155-156.

[3]姚祥利. 對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的幾點(diǎn)探討[J]. 科技視界， 2017（35）.