學會“構造”，領略數學之美

陳曉霞

(江蘇省海門市城北初中，江蘇 南通 226100)

學會“構造”，領略數學之美

陳曉霞

(江蘇省海門市城北初中，江蘇 南通 226100)

本文通過構造圖形、代數式和函數三個方面介紹了構造思想.構造法中滲透著猜想、轉化和概括等數學方法，是一種富有創造性的解題思維.學習構造法可以培養學生的多元化思想和發散性思維，讓學生感受到解題的樂趣，欣賞數學之美.

構造法；數形結合；發散思維

數學之美，體現在各種數學思想中，而構造思想對數學之美起到了錦上添花的作用.構造法是數學創造性思維的體現，但是構造是建立在扎實的基礎知識上的，需要對所學的知識融會貫通，是一種富有創造性的解題方法.本文從三個角度論述了構造法在初中數學中的應用，希望能讓學生對構造法產生深入的認識.

一、數形結合，事半功倍

對于一些難題，條件和結論之間的聯系比較隱蔽，直接解答非常有難度.一般可以通過構造圖形來使二者之間的聯系變得直觀化，然后再解決問題.可以先找到題目中代數式的基本特征，再運用“數形結合”的思想，聯想到代數式與幾何圖形之間的關系，然后再構造出滿足這種關系的圖形.

例1x、y、z是大于0且小于1的正數.求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

解析根據題中的條件可知x、y、z均是大于0且小于1的正數，可以認為x、y、z是無差別的三個變量，而所要證明的式子中出現了x(1-y)、y(1-z)、z(1-x) 這三個關于x、y、z的代數式，直接證明顯然是不可行的.但是通過構造的思想，運用發散性思維，就可以很好地解決問題.不妨構造如圖所示的正方形，此正方形邊長為1，陰影部分的三個矩形面積分別為x(1-y)、y(1-z)、z(1-x).從圖中可以直觀的看出陰影部分的面積之和小于正方形的面積，顯然所要證明的結論成立.

點撥本題中的條件與結論之間的聯系就比較隱蔽，對于學生來說具有一定難度，可以采用構造圖形的方法來解答此題.當然本題還有其它的證明方法，但是都不如構造圖形來的方便實用.構造圖形使問題變得更加直觀，使得解題過程事半功倍.

二、仔細觀察，構造代數式

在初中數學的學習過程中，會遇到某些求值之類的問題通過直接運算會非常繁瑣，但是如果能認真觀察算式，發現算式的內在規律，探索構造出簡單的代數式，比如“倒數式、對稱式、有理化因式子”等，則可以讓解題過程明朗化，避免陷入勞而無功的境地.

點撥本題通過構造法巧妙地解決了問題，避免了冗長的計算，收到了事半功倍的效果.在此有一個要點需要說明：對于一元二次方程，如果它們的根是非對稱式的值，應當先構造出“配對對偶式”，那么它們的和與差就是關于方程根的對稱式，接著根據根與系數的關系，可以求出原非對稱式的值.

三、構造函數，發散思維

對于某些數學問題，根據已知的條件，構造出一個新的函數，可以將原來比較復雜的問題轉化為簡單的函數.構造函數是一種發散性思維方式，具有極大的技巧性和靈活性.在運用構造函數的過程中應當根據實際情況隨機應變，靈活運用.

例3 若a

解析分析題目中的條件，對于二次方程實根分布的問題，可以構造二次函數來解決問題.可構造f(x)=(x-a)(x-c)+(x-b)2，有f(a)=(a-a)(a-c)+(a-b)2=(a-b)2，f(b)=(b-a)(b-c)+(b-b)2=(b-a)(b-c)，f(c)=(c-a)(c-c)+(c-b)2=

(c-b)2.根據a0，f(b)<0，f(c)>0，所以二次函數的圖象在a和b之間與x軸相交，在b和c之間也與x軸相交，所以原二次方程有兩個不同的實根，一個根在a與b之間，另一個根在b與c之間，所以結論得證.

點撥本題中根據題設條件，構造出新的輔助函數，使得問題在新的觀點下實現轉化.輔助函數只是解題過程的一個工具，為題設中的條件找到一個新的載體，在這個載體下可以更好地解決問題.如果能夠選好輔助函數，對我們的解題將會大有裨益.

綜上所述，通過構造法解題的思路非常巧妙，能起到意想不到的效果.構造法的難點在于“構造”，只有通過細心的觀察和分析，發現內在規律，才能用好構造法.以上關于構造法的應用只是冰山一隅，在數學中“構造”的應用非常廣泛.因此，這就需要老師從多方面去激勵和引導學生，以培養學生的多元化思想和發散性思維，讓學生感受到解題的樂趣，欣賞數學之美.

[1]潘瑞.基于數學命題教學下的勾股定理教學設計研究[D].四川師范大學,2014.

[2]王春山.用圓研究一元二次方程實根的分布[J].文理導航,2015(05).

G632

A

1008-0333(2017)23-0040-02

2017-07-01

陳曉霞(1978.08-)，女，江蘇海門人，中學一級教師，大學本科 ，初中數學教學思想的研究

[責任編輯李克柏]