“變式”，讓數學更有魅力

王萍 逯曉蔚

所謂“變式”教學，就是在提供給學生教學素材的同時，能通過不斷地變換條件、結論、方法、形式，將問題進行推廣，讓學生在變化、聯系中尋求規律，從而達到訓練學生發散性思維的目的。變式既是一種重要的思想方法，又是一種行之有效的教學方式。通過變式訓練，可幫助學生深入理解概念，靈活運用公式，提高學生觀察能力、概括能力以及解決問題的能力，同時也能培養學生的數學思維能力。通過不同的知識和方法，對數學問題進行變式研究，有意識的引導學生在“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”中探求“變”的規律，以此訓練學生把知識轉化為能力。

下面就從幾道題目中體會變式在數學中的魅力。

題目一：在平面直角坐標系中，已知橢圓 ，如圖，斜率為 且不過原點的直線 交橢圓 與 兩點，線段 中點為 ，射線 交橢圓與點 ，交直線 與點 ，若 ，求證：直線 過定點.

簡析：設直線 的方程為

由 得

設 ，

易得 ，

，

則 所以

所以直線 的方程為 ，即直線過定點

變式1：在平面直角坐標系中，已知橢圓 ，如圖，斜率為 且不過原點的直線 交橢圓 與 兩點，若橢圓上存在一點 ，使四邊形 為平行四邊形.求證：平行四邊形 面積為定值.

解析：設直線 的方程為

由例1知，原點到直線的距離

，

由 為 中點，得

代入橢圓方程整理得

所以 ，

即

變式2：在平面直角坐標系中，已知橢圓 ，如圖，斜率為 且不過原點的直線 交橢圓 與 兩點，若直線 過 的左焦點，且 中垂線交 軸與點 ，求 的取值范圍.

解析：將 代入直線 方程得

中垂線方程，

令 得

因為 ，故 ，

所以

變式3： 在平面直角坐標系中，已知橢圓 ，如圖，斜率為 且不過原點的直線 交橢圓 與 兩點，若直線 過 的左焦點 ，過點 且與直線 垂直的直線交橢圓與 兩點，求四邊形 面積的最值.

解析：

同理

，用均值不等式解即可.

變式4：在平面直角坐標系中，已知橢圓 ，過點 作直線 交圓 與 兩點，交橢圓與 兩點，若 ，求直線 的方程.

解：（1）直線 斜率不存在時，

，不符合題意；

（2）當直線 與 軸不垂直時，設其方程為 ，

代入 ，整理得 ，

設 ，則 ，

所以

從而

，

由已知可求直線 的方程。

對數學問題的數學本質、基本技能和基本方法的理解是學生順利解決問題的關鍵，教學中，教師一定要注重引導學生對數學概念、思想、方法的本質的探究與理解，通過合理構造變式、建立知識鏈接、經歷概念重組、巧妙類比聯想、及時拓展延伸等措施提高數學習題教學的有效性。

因此，教師如果想讓學生體會到變式的魅力，應注意以下幾個方面。

一、變式應有利于學生數學知識結構的優化

復習課上教師應從例題出發，運用逆向和橫向思維，通過改變題目條件、變化問題的表面特征、將問題一般化等手段，使原來的一個單獨問題，變成一類問題，再變成彼此聯系的多類問題，學生通過對變式問題的研究、解決，形成完整的數學知識結構。

二、變式的內容與難度要有“梯度”

變式要由易到難、循序漸進，應限制在學生思維水平的“最近發展區”。要符合學生的認知規律，逐步深入，讓學生跳一跳能摘到果子，充分激發學生的求知欲，讓學生通過思考能夠自己跨過一道道“門坎”，否則會使學生產生畏難情緒，影響問題的解決，降低學習的效率。

三、變式要注意培養學生思維的廣闊性和靈活性

如在進行一題多解變式時，教師必須引導學生多角度思考問題，多渠道尋求問題解決的方法，通過不斷追求解法的優化，培養學生思維的開闊性。在進行“一法多用”變式時，應不斷引導學生將一個問題的解決方法正確運用到其他問題的解決過程中去，不斷體驗“如何將解題方法進行歸納并合理遷移”，從而形成解題技能，提高知識、方法的遷移能力。

四、變式要留給學生探索的空間

在復習課上，教師通過引導學生對例題解決進行深層次的探索，如變化條件、結論變式、等價變化、逆向探索、推廣拓展等，師生一起獲得問題的一些變式。學生在教師的引導下，通過獨立思考或學生間討論交流，挖掘出問題的變式，不僅有效開發了課程資源，同時點燃了學生創新思維的火花，幫助學生體驗“化歸”的技巧，形成合理的探究策略。

五、通過“過程性變式”，構建學生數學經驗體系

過程性變式的目的是增加活動途徑的多樣性和活動過程的層次性，每個數學活動都包含一個或一系列過程變式，這些變式包括化歸或探索的步驟和策略。數學經驗系統（即過程）反映學習者主觀問題解決的特定經驗，經驗系統的豐富和有效對于完善學生數學認知結構極為重要，構建特定經驗系統的變式通常有三種方式：（1）將初始問題改變成一個鋪墊，或者通過改變條件、改變結論和推廣結論來拓展初始問題；（2）將同一個問題的不同解決過程作為變式，形成一個問題的多種解決方法，從而聯結各種不同的數學知識；（3）將某種特定的方法用于解決一類相似的問題。

數學變式教學的實施，改變了學生對數學解題的恐懼心理，提升了學生對數學解題的濃厚興趣，使學生心目中枯燥乏味的“死”數學演變成生機盈然的“活”數學。使數學的場就像空氣無形在我們身邊陶冶我們。同時，經過學生自主學習的實踐證明，通過對數學問題的變式，提供適當地知識鋪墊，由于教師向學生展示了數學知識的發生。形成與發展的過程，使學生體驗到知識是如何從已有知識中逐漸演變或發展而來的，從而真正理解知識的來龍去脈，形成一個知識的場，將這種有層次推進的變式用于概念形成、問題解決和構建活動經驗系統，幫助學生自己融會貫通，構建起良好的知識結構，培養出解決問題的能力，又避免了反復的機械性訓練。一言而蔽之，學生通過訓練三十道習題與其系列變式就可以收到普通學生需做一百道習題的效果，真正達到了教育界所倡導的“高質輕負”，同時讓學生領略到數學的和諧、奇異與美妙，收到極好的學習效果。