待定系數法在高中數學解題中的應用

封靈芳

待定系數法是一種基本的數學方法，也是解決數學問題最常用的數學方法之一。那么什么是待定系數法？高中階段的數學主要是以函數為主線來進行學習的，因此其定義是從函數的角度給出的：一般地，在求一個函數時，如果知道這個函數的一般形式，可以先把所求函數寫為一般形式，其中系數待定，然后再根據題設條件求出這些待定系數。這種通過求待定系數來確定變量之間關系式的方法叫做待定系數法。

待定系數法的理論依據是多項式恒等原理，也就是依據了多項式 的充要條件是：對于一個任意的 值，都有 。或者兩個標準多項式中各同類項的系數對應相等。

待定系數法解題的關鍵是依據已知條件，正確列出含有未定系數的等式。運用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，只要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達式，所以都可以用待定系數法求解。

下面我們通過一些具體的例子來體會下待定系數法的應用。

一、利用待定系數法進行因式分解

例1 分解因式： 。

分析：這是一個關于 的四次多項式，由于次數相對過高，不能使用十字相乘。分組分解法又有困難。經過驗證由沒有有理根。但是次數是確定的，我們能夠根據次數大概猜測其因式分解以后的形式，這個時候我們可以引進待定系數法進行因式分解。

解：設

=

= ，

比較等式兩邊的多項式對應項的系數，列出方程組，得

，

解該方程，得到

，

所以

。

評析：與這個類型題相似解題的還有解方程、解不等式。如把題目改成解方程 ，或者解不等式 。這兩種類型的題型的做法跟本題因式分解方法相同。

二、利用待定系數法拆分分式

例2將 化為部分分式之和。

分析：這類型的問題思路基本上跟因式分解類似，首先用未知數表示化為部分分式和以后的形式，展開后，根據分子、分母的多項式分別相等可列出含有未知數的方程組，解方程組，代入所設的部分和即可得結果。

解：由于 ，則可設

，則

，

由相等的多項式各項系數相等可列出方程組

，

解以上方程組得

，故

= 。

三、利用待定系數法求解曲線方程

例3已知橢圓 的離心率為 ，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點 ， 為頂點的三角形的周長為 。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設 為該雙曲線上已于頂點的任一點，直線 和 與橢圓的交點分別為 ， 和 ， 。求橢圓和雙曲線的標準方程（2010年山東高考）。

分析：要用待定系數法求解解析式，首先要知道函數解析式的形式，然后用字母表示出解析式。然后根據題目中給出的已知條件解出未知數，最后寫出解析式。

解：設橢圓的半焦距為c，由題意可得：

橢圓的離心率為

，

根據幾何關系，可得到關系式

，

聯立上兩式解方程組，得

， ，

又根據關系式 ，可得 。

故橢圓的標準方程為

。

由題意可設等軸雙曲線的標準方程為 ，又由于等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以有 。

評析：用待定系數法求解曲線方程：橢圓、雙曲線，拋物線等簡單能估計其解析式形式的題型。

四、利用待定系數法求解函數式

例4是否分別存在滿足下列條件的函數 ：

（1） 是三次函數，且 ， ， ， ；

（2） 是一次函數，且 。

如存在，求出 的表達式；若不存在，說明理由。

分析：首先假設函數存在，用字母設出函數的解析式，利用已知的條件建立方程或方程組，解方程組，求出未知數，寫出函數解析式。

解：（1）設 ，則 。

由題意可建立方程式，得

，

解以上方程組，得

，

故存在滿足條件的的函數 存在，表達式為 。

（2）假設 存在，由 是一次函數可知 是二次函數，故可設 ，則 。

將 和 代入已知條件，得

，

整理得

，

由等式兩邊各項系數相等，可建立方程組

，

解以上方程組可得

，

所以滿足條件的 存在，表達式為 。

評析：利用待定系數法求解函數解析式，可以使問題簡化。

五、利用待定系數法求數列通項公式

例5已知數列 中， ， ，設 ， ，求數列 的通項公式（2010高考全國卷一）。

分析：利用待定系數法求數列的解析式，首先把某些已知條件轉化成我們熟知的簡單的數列的形式，比如等差數列、等比數列等，用字母表示，然后根據數列的性質，解出未知數，即可得結果。

解： ，則 ，

即 （1）。

則可設 ，即 。通過與（1）式比較，可解得 。

則 。

又有 ，故 。

故 是首項為 ，公比為4的等比數列，即 。

則 。

評析：對 ，當 時，若 為等差數列，則 ，則只需要要用疊加法即可求解。

對 ，當 且 時，若 為等差數列，則可設 ，那么可設 ，即

，

通過所設的式子與原式的對比可設方程組

，

解方程組得

，

故數列 為等差數列。

最后可以根據等差數列的性質及題目給出的條件求出數列的通項式。

教學本身是一門藝術，教師要喚起學生的興趣，點燃學生智慧的火花，使學生的探究能力和創新能力得到發展。