習(xí)題講解與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

張宏英

思維是人腦對客觀現(xiàn)實(shí)的概括和間接反映，數(shù)學(xué)思維就是數(shù)學(xué)地思考和解決問題的思維活動形式，也就是人們通常所指的數(shù)學(xué)思維能力，即能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力。培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的方法多種多樣，本文以習(xí)題的講解為例談一談對數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)。

（一）開闊解題思路，培養(yǎng)思維的廣闊性

教學(xué)中針對典型的數(shù)學(xué)題目，進(jìn)行擴(kuò)充與變式，使學(xué)生多角度對已做習(xí)題產(chǎn)生新意與領(lǐng)悟，以便使學(xué)生更加深刻的認(rèn)識所學(xué)的知識，突破知識的固定性，從而有利于培養(yǎng)思維的廣闊性。

例如，在不等式部分有這樣一個(gè)題目：已知x，y∈R+且滿足x+y+3=xy，求的xy取值范圍.

學(xué)生的解答思路主要有以下幾種

思路1：均值定理

思路2：函數(shù)法

思路3：

首先我充分肯定了學(xué)生以上的證法，然后又點(diǎn)撥學(xué)生發(fā)現(xiàn)以下思路：

思路4：

最后組織學(xué)生對以上證法進(jìn)行比較、鑒別、討論，使學(xué)生認(rèn)識到思路1和思路3實(shí)質(zhì)上利用了均值定理的方法，思路2聯(lián)想到函數(shù)的方法，將變成一個(gè)變量的函數(shù)，思路4由條件x+y+3=xy為方程，使我們聯(lián)想到方程思想，利用方程有解的條件進(jìn)行求解。

（二）變式訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的深刻性

所謂思維的深刻性，是指在分析問題與解決問題是抓住問題的實(shí)質(zhì)以及問題的相互聯(lián)系的一種思維品質(zhì)。針對此問題特點(diǎn)在講解試題時(shí)就要體現(xiàn)“題目的變更”，主要應(yīng)從解題思路題目結(jié)構(gòu)兩方面把典型問題變遷為循序漸進(jìn)的系列題目，使學(xué)生學(xué)會一題會一類題，做一道題從而會一系列題，全面的掌握知識結(jié)構(gòu)，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

例如，對這樣一個(gè)問題：

例1：四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為39，求這四個(gè)數(shù)？

思路1：可設(shè)四個(gè)數(shù)為a 、b、c、 d其中2b=a+c， c2=bd化為解四元二次方程組；

思路2：可設(shè)b，b-d，b+d， ，其中很快得b=3，化為解一元二次方程。

在討論解題方法的基礎(chǔ)上，可作如下改動：將原題改為：五個(gè)數(shù)，前四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為0，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為39，求這五個(gè)數(shù)。通過變式練習(xí)，使學(xué)生掌握這一系列問題實(shí)質(zhì)，就是把求解數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化為求解方程的問題，而且關(guān)鍵是未知量的選擇，怎樣設(shè)未知量才能簡化方程。學(xué)生對此有深刻理解，思維的深刻性就提高了。

例2：在圓x2+y2=16上有動點(diǎn)M，圓內(nèi)有定點(diǎn)N（2，0），求線段MN中點(diǎn)A的軌跡方程。

分析：設(shè)A（xA，yA），M（xM，yM），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

變形得：xM=2xA-2 ，yM=2yA，代入圓方程得軌跡方程為（x+1）2+y2=4

若把題設(shè)條件中的“圓”變換為橢圓、雙曲線或拋物線，解題思路不變。若把題設(shè)條件中“圓內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)”改為圓外或圓上有一個(gè)定點(diǎn)，解題思路同樣也不變。若把結(jié)論“求中點(diǎn)的軌跡方程”改成求分線段MN成定λ的點(diǎn)的軌跡方程，解題思路也基本相同。通過這樣的變換訓(xùn)練，同一個(gè)解題方法應(yīng)用在不同條件下進(jìn)行多次求解，增大了思維觸及面，學(xué)生思維的深刻性得到了較好的提高。

（三）數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

數(shù)和形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的兩方面，將數(shù)量關(guān)系和空間圖形結(jié)合起來去思考問題、處理問題，就是數(shù)形結(jié)合思想。“數(shù)形結(jié)合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的共同發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中找尋最本質(zhì)的特征。

例1：已知等差數(shù)列的第p項(xiàng)為q，第q項(xiàng)為p（p>q），求它的p+q項(xiàng)和第p-q

項(xiàng)解：設(shè)A（p，q），B（q，p）為平面上的兩點(diǎn)，則直線AB的方程為 ，即y=p+q-x，將上式中的換成x∈R，換成n∈N，得y=an，an=p+q-n此即為數(shù)列的通項(xiàng)公式。

∴ap+q=0，ap-q= 2q

例2：求1 + 3 + 5 + 7 + … + 89 = ？

運(yùn)用小高斯的計(jì)算方法，該題的結(jié)論很容易得到，但這樣的算法局限于一般的計(jì)算。通過對問題的進(jìn)一步研究，使我們得到以下兩種運(yùn)算方式：

思路1：

1=1×1

1+3=2×2

1+3+5=3×3

………………

1+3+5+…+89=45×45

思路2：

由于 1=1×1×1

3+5=2×2×2

7+9+11=3×3×3

………………

73+75+…+89=9×9×9

所以，

1+3+5+…+89=1×1×1+2×2×2+3×3×3+…+9×9×9=13+23+33+…+93.

由特殊到一般，我們可以把上述運(yùn)算作一般性的推廣，從而開闊學(xué)生的解題思路。然而，其真正的用意卻在于：

在思路1中，等式右邊的1×1、2×2、3×3、……、45×45，可以看做邊長為1、2、3、……、45的正方形的面積，因此，求1+3+5+7+…+89的和，等相當(dāng)于求邊長為45的正方形的面積。

在思路2中，等式右邊的1×1×1、2×2×2、3×3×3、……、9×9×9，可以看做棱長為1、2、3、……、9的正方體的體積，求1+3+5+7+…+89的和，等相當(dāng)于求棱長分別為1、2、3、……、9的正方體的體積的和。

該例題，對加數(shù)加以轉(zhuǎn)化，將數(shù)與圖形有機(jī)的結(jié)合，用對應(yīng)的幾何關(guān)系來解釋數(shù)量關(guān)系，使復(fù)雜問題變得直觀形象，學(xué)生易于觀察到問題的本質(zhì)，從而解決問題。把數(shù)量關(guān)系與空間形式形象直觀的密切結(jié)合，調(diào)用代數(shù)與幾何的雙面工具，揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，達(dá)到解決問題的目的，就是數(shù)形結(jié)合思想。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過，數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。

解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，追求數(shù)與形的和諧統(tǒng)一性，常常會產(chǎn)生意想不到的解法，不落俗套，這就是創(chuàng)造。可見，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練，學(xué)生既享受到了數(shù)學(xué)和諧統(tǒng)一之美，又培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)通過多種手段全面促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展，不能以偏蓋全。同時(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中使學(xué)生養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，是一項(xiàng)漫長而艱巨的工作，需要教師不懈的努力，對學(xué)生進(jìn)行全面的鍛煉與培養(yǎng)，才會有較大突破。■endprint