淺談多元函數(shù)極值問題

楊 璐

淺談多元函數(shù)極值問題

楊 璐

在多元函數(shù)中，自變量不受約束，在這種條件下求解的函數(shù)極值稱作“無條件極值”。在多元函數(shù)中所求駐點(diǎn)不一定是函數(shù)極值點(diǎn)，因此需要用到Hesse矩陣進(jìn)行判斷。若函數(shù)自變量有所限制，則此時所求極值成為“條件極值”，對此，我們引入Lagrange乘數(shù)法解條件極值。

無條件極值；條件極值；Lagrange乘數(shù)

一、 無條件極值

① 若|Ak|>0，(k=1，…，n)，則矩陣A為正定矩陣，此時f(x0)為極小值。

② 若(-1)k|A|>0，(k=1，…，n)，則矩陣A為負(fù)定矩陣，此時f(x0)為極大值。

③ 在其他條件下，所求駐點(diǎn)不為極值點(diǎn)。

以上方法總結(jié)為：一求(求駐點(diǎn))，二列(列Hesse矩陣)，三判斷(判斷矩陣正定、負(fù)定、不定)。以下題為例：

討論函數(shù)f(x，y，z)=x2+2y2+2z2-2xy+2xz的極值。

∴函數(shù)極小值為f(0，0，0)=0。

二、 條件極值

與無條件極值相似，條件極值也是多元函數(shù)極值的一種類型，此時的函數(shù)表達(dá)式為目標(biāo)函數(shù)。不同的是，條件極值對與自變量有限制，要求自變量滿足某一方程或方程組，我們稱之為“約束條件”。對于條件極值的求法，我們引入Lagrange乘數(shù)法對函數(shù)極值進(jìn)行求解，其方法如下：

① 若|Ak|>0，(k=1，…，n)，則矩陣A為正定矩陣，此時f(x0)為極小值。

② 若(-1)k|A|>0，(k=1，…，n)，則矩陣A為負(fù)定矩陣，此時f(x0)為極大值。

③ 在其他條件下，不能說明所求駐點(diǎn)不為極值點(diǎn)。

例如討論f(x，y)=xy在約束條件x+y=1下的極值.

構(gòu)造Lagrange函數(shù)：L(x，y，γ1)=xy-γ1(x+y-1)

[1]陳紀(jì)修.數(shù)學(xué)分析(第2版)[M].高等教育出版社，2004.

[2]陳紀(jì)修.數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解指南下冊[M].高等教育出版社，2005.

楊璐，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。