高職定積分應用的教學研究舉例

田宇 鮑婕

高職定積分應用的教學研究舉例

田宇 鮑婕

定積分是高職數學教學中非常重要的一部分教學內容，定積分應用的問題是對現代社會經濟現象定性及定量分析的一個重要內容。這就要求學生不僅要學會定積分的基本計算，還要會用定積分處理相關的實際問題。本文以定積分教學為背景，給出定積分在社會生活中的一些實例，從實際應用的角度來說明定積分的應用和使用。

高職；微元法；定積分應用

一、 微元法的實質

微元法簡單地說，就是先把研究對象分為無限多個有限小的微元，這些小的微元具有一些一般的性質，再從局部到全體綜合起來加以考慮，即定積分實際上就是無窮多個微元累加求和，“微元求和”的思想，就是定積分的實質。微元法把定積分的四個步驟簡化為“化整為零，積零為整”兩個步驟，有了微元法，用定積分在解決實際問題的時候就容易很多，凡是不規則的變化過程，想要求總變化量，都可以按微元法的思想來求解。無論是在科學研究還是生活中，不規則的變化無處不在，要準確求出其變化總量，定積分都是最合適的科學計算工具。可以說微元法是分析、解決幾何、物理、經濟等問題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。

二、 利用定積分求資本現值

在企業經營中，經常需要將不同時間的資金轉換為相同時期的資金進行比較，這時就要用到資本現值的概念。比如，對企業現有的固定資產應該投資還是應該融資租賃做出經濟決策，這兩種方案因為沒有在相同的時間，所以無法直接比較，這時要用到的概念就是資本現值，利用的計算工具就是定積分。

例1某航空公司為了發展新航線的航運業務，需要增加5架波音747客機。如果購進一架客機需要一次支付5000萬美金，客機的使用壽命為15年。如果租用一架客機，每年需要支付600萬美元的租金，租金以均勻貨幣流的方式支付。若銀行的年利率為12%，請問購買客機與租用客機哪種方案最佳？

當r=12%，A=600，T=15時，

因為租金總額的現值小于5000萬美金，所以租客機更合適。

三、 利用定積分求產量、利潤=(1-e-0.12×15)問題

在市場經濟，企業為獲得最大經濟利潤，時常需要根據經濟環境，決策類似如何計劃生產、使用什么樣的銷售方式才能夠獲得最大利潤的問題，在這些問題的解決過程中，有很多量都是變化的，那么在計算求解時也需利用定積分的思想方法。

例2企業產品的邊際收益函數為R′(Q)=60-8Q，總成本函數為C(Q)=2+Q2，若企業實行產品直銷，則利潤最大時的總銷售量是多少？最大利潤是多少？

解：因為C(Q)=2+Q2，所以C′(Q)=2Q。

從上面的例題中可以顯然地看出來，企業實行差別價格后所獲利潤高于原利潤。所以，在經濟生產中，企業要想增加利潤，在方法和手段上可以有多種方式。

由上可以看出，在積分的經濟應用中，不論是什么樣的經濟問題，只要由邊際函數求總函數(即原函數)，既可以用不定積分的方法，也可以用定積分的方法。如果求總函數在某個范圍的改變量，則應用定積分更方便簡潔。

四、 利用定積分求交流電的電功率

在電工學中，交流電通過純電阻R時，電流強度i=i(t)不是常數，要想求其在時間t內消耗在電阻R上的電功W，不可以使用公式W=I2Rt。此時可以使用微元法的思想，利用定積分進行求解。

例4設交流電i(t)=Imsinωt，其中Im是電流的峰值，ω為角頻率，周期為T=2π，計算i(t)通過阻值為R的純電阻電路時的平均功率。

在社會的不斷進步中，數學與社會的關系也越來越密切，我們結合實例說明了定積分在經濟、物理等各學科的應用。在實際教學中，我們可以將生活實例與理論教學相結合，引導學生掌握新的思維方式與方法，讓學生可以將微元法的理論應用到實際生活當中，解決具體的問題。

[1]王梅.淺談定積分的應用[J].重慶科技學院學報(自然科學版)，2007(2).

[2]吳贛昌.微積分(經管類)簡明版[M].北京：中國人民大學出版社，2007.

[3]皇甫榮.淺談如何計算資金流量的現值[J].青海師專學報，2002，(5)：68-69.

田宇，鮑婕，黑龍江省哈爾濱市，黑龍江職業學院通識教育。