例析排列組合問題常見策略

陳江

摘要：高中生對于排列組合問題難點在于重復和遺漏，以及不知道怎么入手不能清楚怎么樣分類和分步。

關鍵詞：排列；組合；分步；分類

本文就幾種常見的排列組合問題進行分析

一、特殊元素或者位置先排列。

例1、（1995年上海高考題改編）為了提要本區縣五個學校文化水平進行演講比賽，其中仁義中學不能排第一也不排最后一個出場，則不同的安排方法有多少種？

分析：本題目中特殊位置為首位、未位，特殊元素為仁義中學。因此就以仁義中學為基礎來解答這一道題。

解：第一步：仁義中學先排只能選擇第二、三、四節排有A31種，第二步：其科目再排有A44種，共A31 A44種

例2、 為促進本區教育事業的全面發展，加強學校間的合作交流，我校決定安排A、B、C、D、E共5名優秀教師到安富中學、榮昌中學、永榮中學、大成中學4所學校支教，每所學校至少一人，由于安富中學離城比較遠，A、B兩人不愿意去，則不同安排方案的種數？

分析：本題排序的時候要考慮以下情況A、B兩人比較特殊，5人分配4個學校有一個學校就有兩人支教，那么哪兩人一起支教，而又是哪一個學校時兩人支教。因此就以安富中學為基礎進行討論。

解：當安富中學有2人時，首先選擇兩人到安富中學只能從C、D、E中選擇C32，然后其他3個學校再分配剩下三人A33種。共C32 A33=18.

當安富中學有1人時，首先選擇一人到安富中學只能從C、D、E中選擇C31，然后在分配其他人，此時4人三學校有C43 A33.共C31 C42 A33=108。綜上所述共18+108=126種

二、相鄰問題捆綁法。

例3、學校組織文藝匯演，現有小品類節目3個，演唱類節目三個，要求三個小品類節目排在一起，不同的排法數？

分析：把小品類三個節目看為一個元素，此時就一共4個元素

解：第一步：把小品類三個節目看為一個元素先對其內部進行排列A33種，第二步：與科目一起排有A44種。共有A33 A44種。

三、不相鄰問題插空法：

例4、學校組織文藝匯演，現有小品類節目3個，演唱類節目三個，要求三個小品類節目不能排在一起，不同的排法數？

分析：小品類節目不排在一起就用小品類節目插入演唱類節目空檔中

解：第一步：演唱類節目先排A33，第二步：小品類節目再插入演唱類節目之間的空檔A43則共A33 A43種

四、閣板法：

例5、將10本資料書分給7個同學，每同學至少1個，那么每人所得書的多少共有多少種？

分析：10個本書之間9個間隔，放入6個隔板就把10個本書成了7份

解：9個空格中放入6隔板C96=84種

五、分組問題：

例6、六個不同的水果，按照下列要求有幾種分法？

（1）平均分給A、B、C三人.

分步計數原理：第一步：先選則兩本給甲C62，第二步：再選兩本給乙C42，第三步：再選兩本給丙C22

（2）平均分成三堆.

本小題與上一小題區別在于只分堆不分人。C62 C42 C22÷A33

例7、5個不同的水果分給3個人，要求個人至少1個，有多少種不同的分法？

兩種情況：

第一種：1+1+3即一個人3個。另外2個人各1個，C53 A33種

第二種：1+2+2即一個人1個。另外2個人各2個，C52 C32 A33 ÷A22種

以上歸納了幾種常見的排列組合問題，排列組合問題最主要的還是把題目情況分析清楚。

參考文獻：

[1]張付友，王磊，人教金學典，同步練習冊[K]，人民教育出版社，2015.6

[2]曲一線，5年高考三年模擬[K]，首都師范大學出版社，2014.1

[3]崔斌， 例談排列組合中的分組分配問題[J].甘肅教育， 2007（18）：50-50.endprint