分段函數：“分身”不“分心”

□孫福明

（北京市西頤實驗學校，北京 100086）

分段函數：“分身”不“分心”

□孫福明

（北京市西頤實驗學校，北京 100086）

分段函數是中學數學重要的函數模型之一，分段函數可以同時由多個初等函數構成，這就使得研究分段函數問題需要綜合的知識、方法、思想.解決分段函數問題有三大策略，就是突破局部的策略、整體優先的策略和分合結合的策略.解題策略是解題能力最重要的體現，也是數學核心素養的重要表現.

分段函數；解題策略；數學核心素養

分段函數是因其形而定義的，顧名思義就是說一個函數是由幾段組成的，所謂幾段，就是指對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應法則﹒如果用嚴格的數學語言來描述，分段函數是指一個函數在定義域的各個互不重疊的真子區間或點集上，用不同的解析式來表示函數值[1].分段函數是一個函數，而不是幾個函數.分段函數盡管不是由基本初等函數經過有限次四則運算而得到的，但是由于其形式寬泛，可以把所有基本初等函數納入其某一段中，所以一個分段函數可以同時包含若干個初等函數，使得以分段函數為載體的問題涉及知識面廣，解題時要靈活運用多種方法，綜合運用分類討論、數形結合等數學思想，對學生分析問題、解決問題的綜合能力要求較高，能較好地區分學生不同層次的數學能力和數學素養，因而成為各類考試的把關題、壓軸題.

分段函數既然是由各段構成的一個整體，顯然在解題過程中要抓住分和合的辯證關系，分段是整體的基礎，整體是分段的綜合，既要從局部——“每一段”到整體——“一個函數”，也要把整體分解到局部，把握段與段之間以及段與整體之間的內在邏輯關系，運用動態觀念全面考察分段函數，把研究每一段的“身”和研究“身”所在的“心”——整體緊密結合起來，“身”“心”融合，方能運籌帷幄，找到最佳的解題方案﹒

一、突破局部的策略

分段函數的整體離不開其構成的每一段，研究整體是建立在研究部分的基礎上的，因此對分段函數的某一段的研究，常常會成為研究整體的突破口.所以在遇到分段函數時，要特別關注分段函數的每一段的函數特征，根據函數的特性常常能找到解題的突破口﹒

解析 對于對數函數而言，首先考慮是定義域﹒當x＞0時，函數f(x)=ln(x+a)，因此當x＞0時，不等式x+a＞0應該恒成立，從而a≥∈0﹒

其次該函數的兩段在定義區間上都是單調的，因此如果 f(x)=有兩個不相等的實根，那么應該是兩個方程2x+a=(x≤∈0)和ln(x+a)=(x＞0)各有一個實根﹒根據對數函數的性質，不管圖象上下平移多少個單位，函數 f(x)=ln(x+a)(x＞0)的圖象始終與直線y=有一個交點，因此只需要函數f(x)=2x+a(x≤∈0)的圖象與直線y=有一個交點即可﹒因為函數 f(x)=2x+a(x≤∈0)圖象的水平漸近線是y=a，因此只需要漸近線y=a在直線y=的下方即可，如圖1，從而得到a＜，選項B正確﹒

圖1

本題從分段函數構成的函數特征著手，撥云見日，直指問題的核心.首先從對數函數的定義域著手，得到a為非負數的結論，縮小了解題范圍.定義域優先是解題的基本要求，體現了最基本的數學素養，但從實際教學效果看，相當一部分同學解題時常常視而不見，解題時提起筆來就是各種“非法”的變形、化簡，而范圍已經遠遠超過了定義域的限制，這樣的解題對提升數學素養又有何幫助呢？這說明定義域優先的意識還沒有成為學生自覺的素養，沒有成為學生解題邏輯鏈的起點.其次深入求解時，仍然抓住了兩個段的函數是單調的特征，對整體進行了分解，再結合對數函數圖象在y軸右側上下無限延伸的特性，最終把問題歸結到指數函數這一段的圖象位置研究，可以說整個研究過程從局部到整體再到局部，而抓住分段函數每段的函數特征是此題得以順利解決的關鍵﹒對常見的基本初等函數的最關鍵特征有深刻的理解和記憶，例如對數函數的定義域、指數函數的值域、三角函數的周期性和有界性，既是知識層面的要求，也是數學素養高低的具體指標之一﹒

解析 緊扣復合函數的概念，抓住分段是整體的基礎關鍵解題﹒分段函數的值域是各段函數值域的并集，換句話說，就是每一段上的函數值域是整個函數值域的子集﹒

本題仍然從分段函數的每段函數的特征突破，利用了三角函數的有界性對整體問題進行了分解，體現了段是整體的基礎，“身”是“心”的外顯﹒

同時這兩題充分體現了用數學概念解題的重要策略，解題時緊扣分段函數的定義﹒數學概念的定義既是研究數學、提升數學素養的學習材料，也是用來解題的強大利器，因為數學解題總是離不開概念，從概念出發是良好數學素養的表現﹒

【鞏固練習】

解 析 不 妨 設 函 數 g(x)=-x+6,∈∈∈x≤ ∈2，h(x)=logax+3,∈∈∈∈x＞ 2，因為函數 g(x)的值域是[4 ， + ∞ )，所 以 函 數 h(x)=logax+3,∈∈∈∈x＞ 2 的值域應該是[4 ,+∞ )的子集，即當 ∈∈x＞2 時，logax+3 ≥ ∈∈4， 化 簡 得 loga2≥ ∈∈1， 解 得1＜a≤∈2﹒

A.(- ∞,-1]?[1 , +∞)

B.(- ∞,-1]?[0 ,+∞)

C.[0 ,+∞)

D.[1 , +∞)

解析 根據函數圖象易知：要使得 f(u)的值域是[0 ,+∞ )，則u取值范圍為[0 ,+∞)，g(x)是二次函數，且定義域連續，故g(x)只能取[0 ,+∞ )，結合選項只能選C﹒

以上兩題都是屬于逆過來設計問題，這種命題方式一方面可以對加深理解分段函數的值域、集合并集等概念的理解，另一方面可以提升思維深刻性，提高邏輯推理的核心素養﹒

二、整體優先的策略

分段函數是一個函數，因此著眼于函數整體的角度來思考問題，可以切中肯綮，發現問題的本質，找到解決問題的關鍵，從而避免陷入局部的瑣碎或繁雜的運算之中，因此整體優于分段是處理分段函數的策略﹒

解析 是否要根據定義，寫出分段函數的解析式呢？如果這樣，那么運算量就增大了﹒比較兩段函數及其對應的條件，可以發現所定義運算的本質其實是取a,b中的較小者，因此f(x)＝3x*3－x就是取函數 y=3x與 y=3-x中的較小值，根據兩個函數圖象的位置關系，得到函數 f(x)是由 y=3x（x≤ ∈0）與 y=3-x（x＞ ∈0 ）兩部分組成的，如圖2，所以函數 f(x)的值域是(0 ,1]﹒

圖2

顯然解決本題的關鍵是從整體上認識運算的本質，通過對兩段的比較，讀懂分段要求的含義，防止陷入無謂的代數運算﹒

解析 設 函數 g(x)=-x2-ax-5,x≤∈1，h(x)=,x＞1，顯然每一段函數都應該是遞增的，為了保證函數在R上的遞增，還必須要求g(1)≤ ∈h(1)，從而得到

對于函數 f(x)在每一段上遞增是容易理解的，大多數同學都能掌握，但是“每一段單調”是否等同于整體上就單調呢？本題的難點在于如何全面理解“函數 f(x)是R上的增函數”，從定義來說，就是對于任取的兩個自變量x1，x2（不妨設x1＜x2） ， 是 否 都 有f(x1)＜f(x2)？當x1，x2在同一段函數上時，只需要求每段初等函數都單調遞增，即可滿足f(x1)＜f(x2)﹒關鍵是當x1，x2分別屬于分段函數定義域的兩段時，即x1＜1，x2＞1時，是否都有g(x1)＜h(x2)？這就需要借助于臨界點的函數來傳遞大小﹒事實上，由于函數 f(x)在每一段上遞增，因此當 x1＜1時，g(x1)≤∈g(1)，當1＜x2時，h(1)＜h(x2)，因此為了保證不等式 g(x1)＜h(x2)對于任意 x1＜1和1＜x2恒成立，根據不等式的傳遞性，只需要g(1)≤ ∈h(1) 即可﹒

【鞏固練習】

解析 是否需要分段討論？其實結合函數圖象，可以發現函數 f(x)在(- ∞,+∞ )上單調遞增，從而利用單調性的概念，得到2-m2＞m，解得-2＜m＜1﹒

三、分合結合的策略

古人云：分久必合，合久必分.這其實體現了一種哲學道理，用在處理分段函數問題時，再恰當不過了，特別是遇到含參問題的分段函數時，就是要兼而有之，既整體、宏觀把握作為一個函數的分段函數，又需要根據每段函數的特點，合理分配，選擇合適的途徑﹒合中有分，分合滲透，在對問題結構清晰的基礎上確定合理的解法﹒

解 析 不 妨 設 函 數 g(x)=2x-a,∈∈∈∈x≤ ∈0 ，h(x)=x2-3ax+a,x＞0，根據這兩個函數的特征，我們知道函數g(x)=2x-a(x≤∈0)至多只有一個零點，h(x)=x2-3ax+a(x＞0)至多有兩個零點﹒現在題目要求要有三個不同零點，因此三個零點的合理“分配”情形只能是函數g(x)=2x-a(x≤∈0) 一 個 零 點 和 函 數h(x)=x2-3ax+a(x＞0)兩個零點﹒

函數g(x)=2x-a(x≤∈0)一個零點，結合圖象平移，可知0＜a≤∈1﹒

函數h(x)=x2-3ax+a(x＞0)兩個零點，根據圖象位置特征，得到解得a＞﹒綜上所述，實數a的取值范圍是＜a≤∈1﹒

本題首先從整體的結果出發，結合兩個分段函數的特征，得到每一段函數零點個數的結論，然后再逐個擊破，得到滿足條件的每一段函數參數范圍，最后再回歸到整體，整個解題過程分合結合，渾然一體，思路清晰，邏輯嚴密.

解析 先分別研究兩個函數的最值情形，令函數 g(x)=x3-3x，h(x)=-2x，研究函數g(x)=x3-3x，可 以 發 現 ，當 x=-1時 ，(g (x))max=2，函數h(x)=-2x是R上的單調遞減函數，因此當x＞a時，h(x)＜-2a，所以函數h(x)=-2x（x＞a）無最大值﹒然后把兩段綜合起來考慮，要滿足條件，只需不能取得函數g(x)的最大值即可，結合函數圖象可得，如圖3，所求a的取值范圍是a＜-1﹒

本題在分析分段函數的最值特征的基礎上，要把兩段函數圖象綜合起來，整體考慮它們的位置分布關系，在動態中找到滿足條件的a的取值范圍﹒

圖3

【鞏固練習】

總之，作為研究函數性質重要載體之一的分段函數，是培養學生理解數學、鍛煉能力、提升素養的有效題材，解決這類問題需要從分段函數的概念出發，把“身”——每一段的性質研究與“心”——整體作為一個函數的本質緊密結合起來，善于觀察構成分段函數的函數特征，敏銳捕捉關鍵信息，綜合運用數形結合、分類討論等多種思想方法﹒又由于這類試題靈活多變，單純靠機械訓練難以形成應試模式，需要從解題策略的高度進行思維的優化，能有效培養學生思維的深刻性、靈活性，進而有效提升學生的數學核心素養[2]﹒

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003：48-55﹒

[2]林崇德.21世紀學生發展核心素養研究[M].北京：北京師范大學出版社，2016：85-96﹒