數(shù)學(xué)解題中妙趣橫生的辯證思維

□李紅春

（武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū)，湖北武漢 430312）

備課參考

數(shù)學(xué)解題中妙趣橫生的辯證思維

□李紅春

（武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū)，湖北武漢 430312）

數(shù)學(xué)是一種文化，教學(xué)過程中對學(xué)生進(jìn)行辯證思維的啟發(fā)和培養(yǎng)，使學(xué)生逐步形成一種自覺的辯證思維能力，對學(xué)生的終身發(fā)展有著重要的意義.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以從抽象與具體、特殊與一般、繁與簡、分與合、主與次、進(jìn)與退、正與反、靜與動、實(shí)與虛等九個(gè)方面對數(shù)學(xué)解題滲透辯證思維．

數(shù)學(xué)解題；辯證思維；數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)辯證思維是從聯(lián)系、運(yùn)動、發(fā)展的三個(gè)方面來考查對象，它在教學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要的作用，它是解決數(shù)學(xué)問題的重要策略，教學(xué)過程中教師對學(xué)生進(jìn)行辯證思維的啟發(fā)和培養(yǎng)，使學(xué)生逐步形成一種自覺的辯證思維能力，對學(xué)生的終身發(fā)展有著重要的意義.筆者結(jié)合近二十年的教學(xué)經(jīng)歷，從九個(gè)方面通過實(shí)例展示辯證思維在數(shù)學(xué)解題中的滲透．

一、抽象與具體

高度的抽象性是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的最顯著特點(diǎn)之一，善于將抽象概念形象化，抽象符號具體化，抽象問題情境化，抽象方法直觀化，抽象表述通俗化，可以有效降低抽象程度，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)的難度．

例1 求證：

解 班上有n名學(xué)生，其中有m名男生，n-m名女生，左邊表示從n名學(xué)生中選出k名學(xué)生；右邊表示具體情況：若選出0名男生，則選出k名女生；若選出1名男生，則選出k-1名女生；……若選出m名男生，則選出k-m名女生．故

點(diǎn)評 這是一個(gè)典型的將抽象問題情境化的例子，將冰冷抽象的數(shù)學(xué)式子賦予具體的生活背景，思考起來生動形象，妙趣橫生，讓人難以忘懷．

二、特殊與一般

一般性寓于特殊性之中，并通過特殊性表現(xiàn)出來，通過特殊可認(rèn)識一般．?dāng)?shù)學(xué)解題中，對特殊問題的研究、感悟、歸納、概括、提煉是解決一般問題的重要策略．

例2 設(shè)函數(shù) f(x)滿足：①對任意實(shí)數(shù)m、n都有 f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n)；②對任意實(shí)數(shù)m均有 f(1+m)=f(1-m)成立；③f(x)不恒等于0，當(dāng)x∈(0 ,1]時(shí) f(x)＜1.試求的值．

解 因?yàn)?f(x)不恒為0，故存在實(shí)數(shù)x0使得 f(x0)≠0．令 m=x0，n=0，則f(x0)+f(x0)=2f(x0)f(0)，即

2f(x0)[f (0)-1]=0，因 f(x0)≠ 0，故 f(0)=1．

令m=0，n=x，則

f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)，

而 f(0)=1，故 f(x)+f(-x)=2f(x)，

即 f(-x)=f(x)，于是 f(x)是偶函數(shù)．又f(1+m)=f(1-m)，則 f(-m)=f(2+m)，于是f(-x)=f(2+x)，因此 f(x)=f(2+x)，因此 f(x)是以2為周期的函數(shù)．那么 f(2)=f(0)=1．令m=n=1，由條件①得：

f(2)+f(0)=2[f (1)]2，所以 [f (1)]2=1，又f(1)＜1，故 f(1)=-1；令 m=n=，由條件①得：再 令得 ：而聯(lián)立兩式可求得：由條件②得：故

點(diǎn)評 本題求解如此復(fù)雜，是如何想到的？其實(shí)，首先由已知條件可聯(lián)想特例f(x)=cosπx，由特例猜測抽象函數(shù) f(x)也該有如下性質(zhì)：如偶函數(shù)、有周期性、f(0)=1等，辨別哪些條件對解題有幫助，再一一從一般情況證明，基于這些性質(zhì)，再將問題解決．

三、繁與簡

當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題．

證明：由

(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2≥0，

知a3+b3≥a2b+ab2，

點(diǎn)評 本題從整體上入手比較困難，退回局部分析，局部研究清楚后整體便不攻自破.形式上的簡單，有時(shí)是思維上的復(fù)雜，形式上的復(fù)雜，有時(shí)卻是思維的簡單，這同樣是一種智慧．

四、分與合

分類討論是數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想，很多數(shù)學(xué)問題因要考慮的情形較多，一般分開研究再綜合一起，但也不能形成思維定式，有時(shí)不分反而是一種智慧．

例4 若a＞0，b＞0，則不等式-b＜1＜a

x的解集為_________.

點(diǎn)評 對于“連不等式”，通常是分成兩個(gè)分式不等式單獨(dú)求解，再取交集，本題的解答反其道而行，讓人耳目一新，其中蘊(yùn)含的哲理卻相當(dāng)深刻，數(shù)學(xué)解題要善于變通，不可思維單一．

五、主與次

“橫看成林側(cè)成峰”，不同的角度看到的問題不盡相同，解數(shù)學(xué)題要學(xué)會統(tǒng)攬全局，尤其是遇到多重限制條件時(shí)更要分清主次，換位思考．

例5 從6人中選出4人分別去巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市旅游，要求每個(gè)城市有1人游覽，要求每個(gè)人只游覽一個(gè)城市，且這6個(gè)人中甲、乙不去巴黎，則不同的選擇方案共有______．

解法1 以“人員”為主，依次考慮“甲乙都不去”“甲乙只去1人”“甲乙都去”三種情形，則有種.

解法2 以“地點(diǎn)”為主，依次考慮巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市可供選擇的人數(shù)，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，則有N=4×5×4×3=240種．

點(diǎn)評 本題涉及“地點(diǎn)”和“人員”兩個(gè)要素，分析問題時(shí)，以哪個(gè)要素為“主導(dǎo)”，雖然有隨意性，但難易程度迥然不同．

六、進(jìn)與退

數(shù)學(xué)解題就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過程，將未知的轉(zhuǎn)化為已知的，陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的，形式繁雜的轉(zhuǎn)化為形式簡單的過程，但也不是絕對的．

例6 （武漢市2015屆高三二月調(diào)考理科第10題）已知點(diǎn)P為曲線上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則| O P|的最小值為（ ）

解 設(shè) P（x,y），則| OP|2=x2+y2，又xy-x-2y+3=0，于是

x2+y2=x2+y2+0=x2+y2+xy-x-2y+3=(y2+x2+1+xy-x-2y)+(x2-x+)+=(y+x-1)2+(x-1)2+≥.

點(diǎn)評 將簡單的待求式x2+y2轉(zhuǎn)化為復(fù)雜的式子x2+y2+xy-x-2y+3，然后再配方求解，以退求進(jìn)，著實(shí)讓人意外，乃匠心獨(dú)運(yùn)之作．

七、正與反

“正難則反”本質(zhì)是一種“轉(zhuǎn)換”的數(shù)學(xué)思想，是一種打破常規(guī)思維，采用逆向思考的解題策略，但一個(gè)問題正面的確很復(fù)雜，是否真的需要從反面入手也是充滿智慧，需要因題而異的．

例7 方程x2+mx-m=0、x2+2mx-3m=0、x2+(m-1)x+m2=0至少一個(gè)有實(shí)數(shù)根，求m的范圍．

解 設(shè)三個(gè)方程對應(yīng)的判別式依次為Δ1、Δ2、Δ3，則

Δ1=m2+4m≥0?m≤-4或m≥0；

Δ2=4m2+12m≥0?m≤-3或m≥0；

Δ3=(m-1)2-4m2≥0∈即-1≤m≤；

設(shè)以上三個(gè)范圍對應(yīng)的集合為A,B,C，

取其并集得：

點(diǎn)評 本題如果不深入思考，從正面入手確實(shí)需要分7種情況討論，因此大部分人會選擇從反面入手，但如果你細(xì)心理解兩個(gè)集合“并集”的概念就是指“元素至少來自其中一個(gè)集合”，你會恍然大悟．

八、靜與動

唯物辯證法認(rèn)為，世間萬事萬物都處于運(yùn)動狀態(tài)之中，運(yùn)動是絕對的，靜止是相對的，動中有靜，靜中有動．只有在運(yùn)動的事物中尋求相對的靜止，才能把握事物的本質(zhì)，只有用運(yùn)動的觀點(diǎn)看待事物，才能把握事物的全貌，二者是辯證統(tǒng)一的關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)中的很多問題，就體現(xiàn)著這樣的辯證關(guān)系．

例8 如圖1，已知F1,F2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，經(jīng)過橢圓上第二象限一定點(diǎn)P的切線為l，過原點(diǎn)O作OM//l交F2P于點(diǎn)M，則| MP|與a,b的關(guān)系是（）

A.| MP|=a B.| MP|＞a

C.| MP|=b D.| MP|＜b

圖1

圖2

圖3

分析 作為選擇題，小題不大做，P為第二象限上的一定點(diǎn)，從運(yùn)動的角度看，當(dāng)P趨近橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，M趨近點(diǎn)F2（如圖2），此時(shí)即MP→a；當(dāng)P趨近橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，M趨近點(diǎn)O（如圖3），此時(shí)亦有MP→a，故MP=a，選A.

點(diǎn)評 本題題干中指明點(diǎn)P為定點(diǎn)，為何分析時(shí)偏偏看成動點(diǎn)？這其中是充滿智慧的，動中覓靜，靜中思動，以靜制動，動靜結(jié)合，這是數(shù)學(xué)解題中的辯證法．

九、實(shí)與虛

“虛”與“實(shí)”實(shí)際上是一對對立統(tǒng)一體，解題中如果一味“求實(shí)”，有時(shí)會“山窮水盡”，智慧的“就虛”有時(shí)能“柳暗花明”．

記 g(x)=x-1-ln(x+1)，(x＞0)，

點(diǎn)評 函數(shù)g(x)的零點(diǎn)客觀存在，但精確值無法求出，如果一味糾結(jié)，將寸步難行，采用“虛設(shè)零點(diǎn)”的方法巧妙將障礙繞過去，體現(xiàn)“避實(shí)就虛”的思想．

數(shù)學(xué)是一種文化，數(shù)學(xué)教育的基本宗旨是實(shí)現(xiàn)“人”的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)解題中教會學(xué)生用辯證的思維看待問題，既能激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又能防止思維固化，提高思維的靈活性.