數(shù)獨(dú)，你會玩嗎

王明意

2017年10月，中國數(shù)獨(dú)代表隊(duì)將參加在印度班加羅爾舉行的第12屆世界數(shù)獨(dú)錦標(biāo)賽。毫不夸張地說，代表隊(duì)的成員們從小就開始接觸數(shù)獨(dú)，并深深為之著迷。甚至，就連現(xiàn)在的小學(xué)課程中也開始單獨(dú)講述數(shù)獨(dú)。那么，數(shù)獨(dú)究竟有什么樣的魅力呢？

數(shù)獨(dú)的起源與文化

數(shù)獨(dú)是一項(xiàng)風(fēng)靡世界各國的智力游戲項(xiàng)目，主要表現(xiàn)為在九宮格的背景上填涂數(shù)字的形式，因規(guī)則淺顯易懂而受到大家的喜愛。

數(shù)獨(dú)文化在國內(nèi)外都非常流行。例如在國內(nèi)，北京廣播電視臺一直在支持?jǐn)?shù)獨(dú)的發(fā)展，并且出版了大量的相關(guān)書籍，包括教程、比賽題集和段位測試訓(xùn)練題目等；在國外，數(shù)獨(dú)雜志非常流行，日本、意大利、斯洛伐克都有非常精致的數(shù)獨(dú)紙質(zhì)刊物。

數(shù)獨(dú)深受各個年齡段人士的歡迎。年輕人喜歡通過數(shù)獨(dú)來挑戰(zhàn)自己的大腦，年長的愛好者通過練習(xí)數(shù)獨(dú)來保證大腦的活力，青少年中愛好數(shù)獨(dú)的也非常多。目前，國內(nèi)各地有多所中小學(xué)校開設(shè)了數(shù)獨(dú)課程，或者組建了相關(guān)社團(tuán)。根據(jù)調(diào)查，接觸數(shù)獨(dú)訓(xùn)練的孩子會比沒有接觸數(shù)獨(dú)訓(xùn)練的孩子平均成績好一些。很多人也表示，做數(shù)獨(dú)是自己集中注意力的好方法，非常享受鍛煉大腦的過程。此外，全國各地也有一些進(jìn)行數(shù)獨(dú)娛樂或集體參賽的家庭，一家人通過數(shù)獨(dú)來增進(jìn)感情和保持身心健康。

數(shù)獨(dú)的規(guī)則與元素

按照規(guī)則，數(shù)獨(dú)要求在每個格子里填入數(shù)字，使每一行、每一列和每個由粗線圍成的宮內(nèi)都是數(shù)字1～9且不重復(fù)。因此，數(shù)獨(dú)的基本元素就是行、列、宮以及填入數(shù)字的單元格。

每一個小格叫作一個單元格，然后從上到下分別是A～I(xiàn)共9行，從左到右分別是1～9列，從而形成一個坐標(biāo)系，每個小格都有確定的坐標(biāo)。如A7是第1行第7格，C9是第3行第9格等。而從左上到右下共有9個宮，分別是第1～9宮。

延伸閱讀

有些數(shù)獨(dú)使用的是另一種坐標(biāo)標(biāo)示，即RC法。以R1～R9代表從上到下的9行，C1～C9代表從左到右的9列。例如R9C1表示第9行第1列的單元格。這種坐標(biāo)系統(tǒng)較多出現(xiàn)于中國臺灣的部分資料中。

數(shù)獨(dú)基礎(chǔ)方法

排除

什么是排除？簡單來說，就是按照數(shù)獨(dú)中行、列和宮內(nèi)不能填入相同數(shù)字的規(guī)則，利用已出現(xiàn)的數(shù)字對同行、同列和同宮內(nèi)其他格進(jìn)行排除相同數(shù)字的方法。首先來看圖①：

對第1宮進(jìn)行觀察可以發(fā)現(xiàn)：因?yàn)锳7存在數(shù)字5，因此這一行其他地方不能再出現(xiàn)數(shù)字5，得到A1，A2，A3不能填入5；同理，C5存在數(shù)字5，那么C3亦不能填入數(shù)字5。結(jié)合該宮內(nèi)已有數(shù)字，可知僅有B3可以填入數(shù)字5（圖中藍(lán)色星星標(biāo)示處）。

繼續(xù)觀察第1宮，用數(shù)字9進(jìn)行宮排除，得到宮內(nèi)唯一能夠填入數(shù)字9的格是C3。繼續(xù)觀察，可以解開全題。

解題時，可以對宮進(jìn)行觀察（宮排除），亦可以對行、列進(jìn)行觀察（行列排除）。這兩種方法綜合運(yùn)用，往往能推理出多數(shù)的單元格。多數(shù)數(shù)獨(dú)題目的多數(shù)步驟完全可以通過排除法完成，因此排除法是數(shù)獨(dú)不折不扣的基礎(chǔ)。

排除法又名摒（bìng）除法，二者是完全等價的兩個概念。

唯余

唯余是唯一余數(shù)的簡稱，即觀察某一個單元格，如果1～9中的8個數(shù)都不能填入這個格子，那么這格一定是填剩下的那個數(shù)。這種觀察一個單元格內(nèi)的數(shù)字可能是哪些的行為就叫作點(diǎn)算。

唯余是數(shù)獨(dú)最基礎(chǔ)的方法之一，也往往是最容易被忽略的一種方法。最基礎(chǔ)的情況是：一行（列、宮）內(nèi)填入8個數(shù)字之后，剩下的一格便可以填出來。然而，唯一余數(shù)的實(shí)例往往較難，比如圖②這個例題。經(jīng)過仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，有色格內(nèi)僅能填入9，因?yàn)槠渌麛?shù)字都在該格所在行、列、宮內(nèi)出現(xiàn)過了。

當(dāng)然，唯一余數(shù)不僅有單純依據(jù)已知數(shù)字或填出數(shù)字進(jìn)行排除的，還有一些是通過數(shù)組和區(qū)塊進(jìn)行排除的。這一點(diǎn)在下文會提到。

排除和唯余交替使用，往往能解決一道數(shù)獨(dú)中絕大多數(shù)（甚至全部）單元格。因此，除了排除以外，唯一余數(shù)法也是非常基礎(chǔ)的技巧。做題到一定程度，會因?yàn)閭€人習(xí)慣而對于上述兩個技巧中的某一個產(chǎn)生偏愛，以其一為主另一為輔，業(yè)內(nèi)稱為排除流和唯余流。頂尖高手之中，孫徹然是排除流的代表之一，而吳東益則是唯余流的代表之一。

區(qū)塊

區(qū)塊即某數(shù)可能在的位置的集合。它經(jīng)常與排除、唯一余數(shù)結(jié)合起來進(jìn)行解題。

觀察圖③，可以看到第4宮的4必然在D2和D3中，形成一個4的區(qū)塊（圖中紅圈處），能排除D7的4。接著觀察，發(fā)現(xiàn)C1、E6處也有數(shù)字4，根據(jù)數(shù)獨(dú)規(guī)則，C7、E7處不能為4。由列排除，可以得到H7=4（圖中紅五角星處）。這是區(qū)塊與排除結(jié)合解題的案例。

觀察圖④，第1列有一個橙色的6區(qū)塊，結(jié)合粉色圈內(nèi)的4，得到紅星格處唯余9。這是區(qū)塊與唯一余數(shù)結(jié)合解題的案例。

數(shù)對

數(shù)對是指某N個數(shù)字必然在某N個格內(nèi)，然而無法確定它們的確定位置。當(dāng)N=2時，一般叫作數(shù)對，當(dāng)N≥2時（一般多為3或4），則一般叫作數(shù)組。

在圖⑤這個例題里，我們觀察第1宮可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)字5和7必然是在A2和B2中，因此這兩格不能是其余數(shù)字，構(gòu)成5和7的隱性數(shù)對。原本第1宮的6在排除后只能確定在B1和B2之間，而數(shù)對占位后，可以得到B1=6。endprint

一般說來，如果能熟練掌握這幾種方法，那么遇到大多數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)題目時，我們基本上都能夠做出相應(yīng)的解答。

變形數(shù)獨(dú)

四階數(shù)獨(dú)

四階數(shù)獨(dú)是在行、列、宮中填入不重復(fù)的數(shù)字1～4。這類數(shù)獨(dú)是放在小學(xué)教材中進(jìn)行講解的一類數(shù)獨(dú)，適合剛剛接觸數(shù)獨(dú)的孩子。同時，我們還可以換一種方式，比如把數(shù)字1～4替換為我們?nèi)粘Ｊ煜さ膭游铩⑺赢媹D案等，從而吸引孩子的注意，教會孩子們數(shù)學(xué)的知識。

六階對角線數(shù)獨(dú)

六階對角線數(shù)獨(dú)是對六階數(shù)獨(dú)的一個升級，同樣是在行、列、宮內(nèi)填入不重復(fù)的數(shù)字1～6，但是還要保證兩條對角線上也是1～6數(shù)字且不重復(fù)。當(dāng)然，不僅是六階，九階數(shù)獨(dú)也可以做成對角線數(shù)獨(dú)。

窗口數(shù)獨(dú)

窗口數(shù)獨(dú)是在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)的基礎(chǔ)上，要求4個藍(lán)色框內(nèi)數(shù)字也不重復(fù)。窗口數(shù)獨(dú)給人最直觀的感受就是，相對標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)來說又多了4個宮。

Renban（連續(xù)數(shù)）數(shù)獨(dú)

Renban（連續(xù)數(shù)）數(shù)獨(dú)要求在行、列、宮內(nèi)填入不重復(fù)的數(shù)字1～9，且每個灰色區(qū)域內(nèi)都是一組連續(xù)數(shù)字。

殺手?jǐn)?shù)獨(dú)

殺手?jǐn)?shù)獨(dú)要求在行、列、宮內(nèi)填入不重復(fù)的數(shù)字1～9，每個框內(nèi)數(shù)字也不重復(fù)，且框內(nèi)的角標(biāo)為框內(nèi)數(shù)字之和。

法庭數(shù)獨(dú)

法庭數(shù)獨(dú)要求在行、列、宮內(nèi)填入不重復(fù)的數(shù)字1～9，每個虛線框內(nèi)數(shù)字不重復(fù)，且虛線框下方的灰色部分為框內(nèi)數(shù)字之和（可能是兩位數(shù)），數(shù)字大小遵守不等號關(guān)系式。

連體數(shù)獨(dú)

連體數(shù)獨(dú)是兩個九宮數(shù)獨(dú)共用一個宮，必須要兩題一起觀察才能解開全部謎題。下面這道例題就是筆者專門為《知識就是力量》雜志設(shè)置的一個數(shù)獨(dú)，是“知識就是力量”的簡寫—知力。看，是不是很形象？

延伸閱讀

當(dāng)然，數(shù)獨(dú)的級別并不是一下子就能提升的，筆者在這里推薦給大家一些書籍和網(wǎng)站，希望大家能在數(shù)獨(dú)的領(lǐng)域中不斷獲取學(xué)習(xí)的快樂。

書籍：對于剛?cè)腴T的青少年朋友，建議從《中小學(xué)數(shù)獨(dú)比賽題集》和《六宮變形數(shù)獨(dú)》開始學(xué)習(xí)。當(dāng)然《金牌數(shù)獨(dú)》也比較不錯，適合初接觸數(shù)獨(dú)的人。有一定基礎(chǔ)的，可以做一下《千題千解》系列，這是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)非常優(yōu)秀的練習(xí)叢書。變形數(shù)獨(dú)也有專門的書籍，例如《麻辣數(shù)獨(dú)》系列。

網(wǎng)站：目前，國內(nèi)高手一般聚集于oubk.com和sudokufans.org.cn兩個網(wǎng)站，前者側(cè)重標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)，題庫分難度；后者變形數(shù)獨(dú)種類繁多，但是題庫不分難度。國外網(wǎng)站中，sudokucup.com和Fed-sudoku.eu是不錯的選擇。瀏覽國內(nèi)數(shù)獨(dú)新聞和比賽報名則可以去sudoku.org.cn。

學(xué)習(xí)了數(shù)獨(dú)的基本解法，同時也看到了這么多的數(shù)獨(dú)例題，你是不是也覺得數(shù)獨(dú)很有趣？也許你會說，后面的變形數(shù)獨(dú)例題有些真的太難了，但其實(shí)，這就是數(shù)獨(dú)一個循序漸進(jìn)的過程。掌握了基本方法，多多練習(xí)，相信在面對不同數(shù)獨(dú)題目的時候，你都會樂在其中！endprint