化三角形為正方形

吳朝陽

這期我們要談一個看似簡單的幾何問題。這個問題是我多年以前偶然遇到的，它不僅答案非常有趣，而且尋找答案的過程非常有啟發意義。當時我遇到的問題是：

如何將1個正三角形分割成4塊，使其恰好能拼合成1個正方形。

這個問題的解答如圖1所示。

答案很巧妙，是不是？很多人可能百思不得其解，見到答案后不禁會問：我們要如何思考才能夠找到這個答案？這是相當睿智的一問。下面，我們就來還原解決這個問題的思考過程。

要想解決一個問題，關鍵在于如何找到這個問題的關鍵點。找到問題的關鍵所在，思維才不會漫無目標，思緒才能走上解決問題的正確軌道。對于上述問題，其關鍵點看起來有兩個：一個是拼合前后面積不變，另一個是拼合的結果是一個正方形。因此，解決問題就應該從這兩個關鍵點出發。

把正三角形分割成四塊多邊形，我們顯然可以假設分割的“第一刀”經過正三角形的兩條邊。因此，我們不妨假設它就像是上列左圖中的DF。正方形有4個直角，對于正三角形所切成的4塊圖形，我們需要它們不僅能夠拼出4個直角，而且其他的角可以被拼成180°或360°。所以，我們略加思索后即可以假設，另外的分割線就像是上列左圖中的EH和GI。我們現在當然不能排除H和I為同一點的可能性，但無論如何，我們的思緒已經在正確的軌道上了。

有了DF及EH、GI，我們就切割出了十多個不同的角。如何從中拼出直角，將是一個頭緒紛繁的問題。最直截了當的想法，是假定EH和G，都與DF垂直。這樣，4個直角就都有了，而問題也就簡單化了。因此我們先接受這個假設，然后繼續思考，以觀后效。

在上述垂直假設之下，∠AEH與∠BEH互為補角，要將4塊圖形拼成正方形，最可能的方案是將四邊形EHFB繞E點向上旋轉180。拼接，以便將這對補角拼成180。的平角。因此，我們考慮將E點取為AB的中點。同理，我們將D點取為AC的中點。

現在，將EHFB繞E點向上旋轉180°，將DIGC繞D點向上旋轉180°，我們就拼出了上列右圖的下面3塊。于是，只要直角三角形IFG的斜邊正好等于FB與GC的長度和，也即等于底邊長的一半，則我們就至少拼成了1個長方形。而如果我們選擇F、G點，使得EH恰好等于正方形邊長的一半，則根據面積關系，所拼成的圖形一定是1個正方形！至此我們發現，以上分析和思考中的所有假設都是成立的，余下的問題是如何確定F、G、H、I四個點，而這一點兒都不困難。

根據以上討論，我們可以用如下5個步驟作出正三角形的分割：

（1）以AB的中點E為圓心，以正方形邊長的一半為半徑作圓。

（2）從AC的中點D作圓的切線，將位于正三角形內的切點記為H。

（3）沿長DH，將它與底邊BC的交點記為F。

（4）找出底邊BC上的點G，使得FG等于底邊邊長的一半。

（5）由點G作DF的垂線，交DF于點I。

事實上，以上步驟只是分割正三角形的一種辦法。根據長度關系，我們不難推得DF的長度恰好等于正方形的邊長。因此，以D點為圓心，以結果正方形的邊長為半徑作圓，則其與底邊BC的交點即為F。以此為基礎參考以上分析，可以得出另一種確定G、H、I諸點的步驟。由此可見，分割正三角形的步驟不止1種。

有意思的是，上述分割方法的5個步驟并沒有利用正三角形的3個角都等于60°這個特性，因此這種分割法對很多一般三角形都是可行的。也就是說，很多三角形可以用以上方法分割成4塊，然后拼合成1個正方形。顯然，只要這種分割方法能夠在三角形內得到H、I兩點，則它就一定是可行的。下面，我們再舉個例子。

例：將5邊邊長分別為6、8、10的三角形分割成恰好可以拼成正方形的4塊。

以上化三角形為正方形的問題，看似相當困難，但如果我們能夠找到正確的入手點，則問題可以迎刃而解。上述分析、解決問題的過程，為我們展示了一個如何發現解決問題關鍵點的典型案例。細細品味，我們也許能夠從中得到很大的啟發，并因此提高自己解決問題的能力。

作為本文的結束，我們提出幾個與本文相關的問題供讀者思考：什么樣的三角形不可以用上述步驟分割成恰好能拼合成正方形的4塊？如果1個三角形不能用上述步驟化為正方形，是不是可以用別的方法做到？如果4塊不能，一般的三角形需要切割成幾塊才能拼成正方形？endprint