逆瑞利分布的有效估計

盧建萍, 史潔茹，郝博

(1.山西師范大學數學與計算機科學學院, 山西 臨汾 041000；2.四川大學數學學院，四川 成都 610065)

逆瑞利分布的有效估計

盧建萍1, 史潔茹2，郝博1*

(1.山西師范大學數學與計算機科學學院, 山西 臨汾 041000；2.四川大學數學學院，四川 成都 610065)

推導逆瑞利分布的密度函數和分布函數的MLE和UMVUE, 并給出估計量r階矩的精確表達式。對估計量的均方誤差和變異系數做漸進展開, 在大樣本下給出逆瑞利分布有效估計的判斷條件。

逆瑞利分布； 密度函數； 分布函數；MLE; UMVUE

Abstract∶The MLE and UMVUE of the density function and distribution function were derived for the inverse Rayleigh distribution, and the explicit expressions of the r-th moment of these estimators were given. The mean square error and variation coefficient of the estimators were asymptotically expanded. Finally, the judgement for the effective estimation of the inverse Rayleigh distribution was given in the large sample.

Key words∶inverse Rayleigh distribution; density function; distribution function; MLE; UMVUE

逆瑞利分布[1-2]和指數分布[3]、瑞利分布[4]等類似, 都是壽命測試中的重要分布。 設隨機變量X服從參數為θ的逆瑞利分布,則其分布函數和密度函數分別為

F(x)=exp(-θx-2),

f(x)=2θx-3exp(-θx-2),

其中x>0,θ>0。 目前, 對逆瑞利分布研究主要集中在未知參數θ和可靠性函數G(x)=1-F(x) 的估計問題。 但在對可靠性研究中, 較少有文獻給出估計量r階矩的精確表達式，對分布函數和密度函數的估計研究具有重要的理論和應用價值[5-7]。 本文首先給出逆瑞利分布分布函數和密度函數的極大似然估計(maximum likelihood estimation，MLE)和一致最小方差無偏估計(uniform minimum variance unbiased estimator, UMVUE), 再推導估計量r階矩的精確表達式, 進而推導估計量均方誤差和變異系數的漸進表達式, 最后比較兩種估計量的優劣性。

1 MLE和UMVUE

定理1 設隨機變量序列{Xi},i=1,…,n服從參數為θ的逆瑞利分布, 則其分布函數F(x)的MLE和UMVUE分別為:

證畢。

類似可推出定理2。

定理2 設隨機變量序列{Xi},i=1,…,n服從參數為θ的逆瑞利分布, 則其密度函數f(x)的MLE和UMVUE分別為

2 r階矩

r階矩作為分布的特征數,有著重要應用。 諸如數學期望、方差、均方誤差、變異系數、偏度系數、峰度系數等, 皆與r階矩有著直接關系。 故很有必要給出估計量r階矩的精確表達式。

定理3 設θ,x>0且n>r≥1(n∈+), 則

證明

U(a,b,c)=c1-bU(1+a-b,2-b,c)。

類似可推出定理4。

定理4 設θ,x>0且n>r≥1(n∈+), 則

3 均方收斂性

引理1 對任意固定的y>0,a≥0, 若υ→+∞, 則

其中

a0(a,y)=1,a1(a,y)=y2/2-(a+1)y+(6a2+1)/12,

引理2 對任意固定的z>0,a>0, 若n→+∞, 則

其中

b0(a,z)=1,b1(a,z)=z2+2(1-a)z+(8a2-20a+17)/8,

注1 引理1和引理2可由拉普拉斯定理[8]得到,證明略。

定理5 當n→∞時

(1)

(2)

其中，z=θx-2>0。

證明由均方誤差定義可得

(3)

(4)

而由Stirling公式[9-10]得

(5)

把(3), (4), (5)代入均方誤差表達式化簡即得(1)。 (2)可類似證明。

定理6 當n→∞時

其中z=θx-2>0。

其證明過程與定理5的證明相似。

4 變異系數

下面給出另外一個衡量估計量優劣的指標——變異系數。 其證明過程與證明均方誤差的過程極為相似, 此處僅給出結論。

定理7 當n→∞時

定理8 當n→∞時

5 有效估計

在大樣本下, 從均方誤差的角度考慮, 由定理5，6我們可以給出判斷有效估計量的條件:

例1 設定參數θ=2.8,n=40 ,0

圖1 密度函數和分布函數在不同估計下的均方誤差比較Fig.1 The mean square error comparison of density function and distribution function under different Estimators

在大樣本下, 從變異系數角度考慮, 由定理7,8我們同樣可以給出估計量波動程度的條件:

在小樣本下,雖然不能得到一些簡單的條件去判斷哪個估計優越,但是定理3和定理4中給出的r階矩的表達式可以在常用的數學軟件上直接計算,因此,計算估計量的均方誤差和變異系數也不會有實質性的困難。

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An efficient estimation of the inverse Rayleigh distribution

LU Jian-ping1，SHI Jie-ru2, HAO Bo1*

(1. School of Mathematics &Computer Science, Shanxi Normal University, Linfen 041000, China; 2. School of Mathematics, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

O212.1

A

1002-4026(2017)05-0086-05

10.3976/j.issn.1002-4026.2017.05.014

2016-06-20

山西省自然科學基金 (2013011002-1)

盧建萍(1986—), 女,碩士, 研究方向為統計推斷、參數估計。

*通信作者，郝博。E-mail：fobfge@126.com