基于多播的4用戶BC網絡自由度研究

王 越，劉 鋒，曾連蓀

(上海海事大學 信息工程學院，上海 201607)

基于多播的4用戶BC網絡自由度研究

王 越，劉 鋒，曾連蓀

(上海海事大學 信息工程學院，上海 201607)

提出一種基于多播的4用戶Broadcast Channel(BC)系統模型。該系統采用“循環模式”為接收端分配期望消息，采用基于零空間交的迫零方案，將同一個接收端的多個干擾消息置于對應零空間的交空間中，以實現同時迫零多個干擾消息。對于同一個接收端只有一個干擾消息的情況，該迫零方案同樣適用。對于該4用戶系統，給出了最優天線配置方案及系統自由度的一般化結果。采用MATLAB對該系統進行仿真分析，結果表明，系統自由度的理論值與仿真結果是一致的，所提出的迫零方案是可行的。

BC；多播；迫零；零空間的交

Abstract: In the presence of multicast, this paper puts forward a multicast based multi-user Broadcast Channel(BC) model of the system. The system adopts the allocation of ‘cycle model’ expectation messages for the receiving end, at the same time, based on the zero-forced solution of nullspace intersection, will put the multiple interference messages at the same receiving end into the space of nullspace intersection, in order to eliminate that interference messages. For the situation that the same message receiver has only one interference message, the zero-forced solution is also feasible. For the 4-user system, the paper proposes the optimal antenna configuration scheme and system degrees of freedom the generalization of the results. Based on the system using MATLAB simulation analysis, the results show that the degree of freedom of the theoretical value and the simulation results are consistent, and the zero-forced scheme proposed is feasible.

Key words:BC; multicast; zero-forced; mullspace intersection

0 引言

眾所周知，通過采用MIMO(Multiple-Input Multiple-Output)空間復用技術在兩條獨立的鏈路中傳輸不同的數據碼流，可以成倍地提高數據的吞吐量。盡管如此，使用MIMO技術的系統仍然受到消息之間的相互干擾，使得系統性能受到影響，對于無線網絡系統的容量的研究是十分困難的，因此考慮從另一個角度——自由度來衡量系統的容量大小。有關MIMO的單播網絡研究已經有非常多了，如Broadcast Channel[1](BC)、Multiple Access Channel[2](MAC)、Interference Channel[3](IC)、X Channel[4](XC)等，但是有關多播網絡的研究相對比較少。文獻[5]提出多播的概念，并且導出網絡的可達區域以及外界；文獻[6]針對MIMO系統信道的聯合稀疏特性，提出一種基于分布式壓縮感知(DCS)的MIMO-OFDM系統信道估計方法；在多播網絡，干擾消息主要來自網絡內部和網絡之間，因此，對多播網絡的干擾處理并獲得更大的自由度的研究是非常必要的。本文提出并使用基于零空間交[7]的迫零方案來實現消除干擾。該方案的主要思想是：針對多播網絡的同一個接收端存在多個干擾消息，通過收發端合理的天線配置，使得多個干擾消息對應的零空間可以取得交空間，再將多個干擾消息同時置于這個交空間中，這樣就可以使得干擾消息迫零，從而可以在接收端解碼出期望信號。

本文主要研究的是基于多播的4用戶BC網絡模型。不同于以往的簡單單播BC信道模型，本文的模型采用“循環模式”為每個接收端分配期望消息，同時，采用基于零空間交的迫零方案，實現同時迫零多個干擾消息。最后，本文給出了模型的天線最優配置方案及一般化的自由度結果，并使用MATLAB對系統進行了仿真分析。

1 系統模型

本文研究的基于多播的4用戶BC網絡如圖1和圖2所示。

圖1 1個干擾消息的4用戶BC網絡系統模型

圖2 2個干擾消息的4用戶BC網絡系統模型

系統發送4個消息，每個接收端均接收到2或3個期望消息和2或1個干擾消息。由于在每個接收端都存在若干干擾消息，因此考慮使用某種方法，消除接收端的這些干擾消息。本文提出迫零方案——零空間交，使接收端的干擾消息全部迫零，以實現消除干擾消息。

期望消息與干擾消息的簡要說明：{W1,W2,W3,W4}是發送端需要發送的4個消息。接收端1共收到4個消息，其中有4-N個期望信號，其他N個消息都是干擾消息。其他接收端的情況以此類推。

針對本文提出的模型，接收端信號采用“循環模式”，假設發送端信號為{W1,W2,… ,WK}，則將W1發送給從第1個接收端開始的共4-N個接收端；將W2發送給從第2個接收端開始的共4-N個接收端；依此類推，即可得到本文提出的采用“循環模式”系統模型，見圖1和圖2。

圖1和圖2網絡輸入輸出關系為：

Yj=HjX+Zj

(1)

Yj代表的是維度為(4-N)×1的第j(j=1,2,3,4)個接收端的輸出信號；Hj代表的是發送端到接收端j的維度為(4-N)×4的信道矩陣；X表示BC信道模型的發送信號；Zj代表的是(4-N)×1維信道的加性高斯白噪聲。

針對本文提出的多播系統模型，可以提出一種自由度的定義：多播網絡系統的自由度就是系統接收端解碼消息總數。

2 方案分析與設計

為了便于分析，先從每個接收端只有1個干擾消息的4用戶模型開始向一般模型逐步分析。

2.1 1個干擾消息的4用戶

圖1中，發送端發送4個消息，每個接收端根據“循環模式”分別從發送的4個消息中接收3個期望消息，并消除干擾消息。其中，發送端至少配置4根天線，接收端均配置3根天線。

針對1個干擾消息的4用戶模型，采用迫零方法來處理干擾消息，從而實現解碼得到期望消息。可設波束成形向量F=[f1f2f3f4]4×4。對接收端1開始具體分析，其輸入輸出關系為：

Y1=H1X=H1FS

(2)

其中，H1表示接收端1與發送端之間的信道矩陣，且維度為3×4；S表示發送端發送的消息信號的矩陣表示，并且有S=[W1W2W3W4]H，且維度為4×1。

再對H1進行奇異值分解，可以得到：

(3)

進一步可以得到：

(4)

由于接收端1的干擾消息只有W2，對其迫零需要滿足以下約束條件：

(5)

同理，可以實現對接收端2的干擾消息W3迫零，對接收端3的干擾消息W1迫零，從而實現獲取期望信號，只要滿足條件：

(6)

通過上述簡單分析，就可以得到滿足條件的波束成形向量F，實現對各個接收端的一個干擾消息的迫零，進而得到期望信號。同時，可以得出1個干擾消息的4用戶系統模型的自由度為4×3=12。

建構主義教學使學習在與現實情境相類似的情境中發生，避免抽象地談概念，學習者則在這種情境中主動構建知識的意義。傳統教學往往去情境而重抽象。

2.2 2個干擾消息的4用戶模型

2個干擾消息的4用戶模型與1個干擾消息的4用戶模型類似，區別在于每個接收端需要消除兩個干擾消息，同時發送端至少配置5根天線，接收端均配置2根天線，見圖2。

仍然采用迫零方法來處理干擾消息，從而解碼出期望消息。波束成形向量以及輸入輸出關系不變，只是維度發生變化。

假設有矩陣A，并得到其零空間為Null(A)，則由零空間Null(A)構造的任意向量與原矩陣A相乘一定為0。根據該結果，可以推廣得到：要實現迫零某個干擾信號，只要將該干擾信號置于信道矩陣構成的零空間中即可。針對當前模型具體來說就是，每個接收端要實現對干擾消息的迫零，就必須將干擾消息置于對應信道矩陣的零空間中。即，對于接收端3和4的干擾消息W1置于H3和H4構成的零空間的交空間中；對于接收端1和4的干擾消息W2置于H1和H4構成的零空間中；對于接收端1和2的干擾消息W3置于H1和H2構成的零空間中；對于接收端2和3的干擾消息置于H2和H3構成的零空間中。

首先給出一個關于零空間交的引理。

由上述引理可以導出一條重要結論：若(m+p)×n矩陣C的秩為r=rank(C)，則它的右奇異向量{v1,v2,…,vn}中，與n-r個零奇異值對應的右奇異向量{vr+1,vr+2,…,vn}構成零空間的交Null(A)∩Null(B)的標準正交基。如果零空間的交存在，則必有n-r≥1。而矩陣C是滿秩的，有r=min(m+p,n)，由此可以得到關系式：

(7)

(8)

再對Qi(i=1, 2, 3, 4)奇異值分解，即Qi=Ui∑iViH。 根據引理及其導出的結論，可知：矩陣Qi的秩r=2，它的右奇異向量v1,v2,v3,v4,v5中，與1個零奇異值對應的右奇異向量v5構成零空間的交的標準正交基。因此可得知波束成形向量滿足條件：

(9)

根據上述分析可以找到當前信道模型的波束成形向量，使得每個接收端的干擾消息迫零，同時可以得到當前模型的自由度為8。

3 天線配置

考慮到實際工程中應盡量節省成本，下面分析如何最優配置天線以實現迫零干擾，同時簡要分析一般模型的自由度大小。

3.1最優天線配置

4用戶系統模型見圖1和圖2。對于接收端，可以配置天線數量與期望信號數量相同，即每個接收端均配置4-N根天線。下面分析發送端的天線數量的最優配置問題。

定理對于基于多播的4用戶BC網絡，每個接收端都配4-N根天線，則使用基于零空間交的迫零方案，發送端至少配置4N-(N2-1)根天線，即可在每個接收端收到4-N個期望消息，并迫零N個干擾信號，同時系統模型的自由度為16-4N。

證明不妨從信道維度來分析天線的具體配置問題，并假設發送端至少配置L根天線，可以實現在每個接收端獲取對應的4-L個消息，同時消除N個干擾消息。已經知道Hi(i=1, 2, 3, 4)表示發送端到接收端的信道矩陣，其維度可用(4-N)L表示。

與上述4用戶的系統模型分析類似，在每個接收端要從存在N個干擾消息的接收信號中獲得4-N個期望消息，就必須將干擾消息置于對應信道矩陣零空間的交空間中。即，對于接收端1至N的干擾消息W1置于{H1,H2,…,HN}構成的零空間；對于接收端2至N+1的干擾消息W2置于{H2,H3,…,HN+1}構成的零空間；以此類推。同時，可以確定由對應信道矩陣構成的零空間的維度為N(4-N)L。

再根據引理及其導出結論：n≥m+p+1 ，可以確定n和m+p表示上述零空間的維度，即n=L且m+p=N(4-N)，因此可以得出L≥N(4-N)+1。即得證基于當前模型的發送端最優天線配置為N(4-N)+1根。

又因為每個接收端均解碼出4-N個消息，因此可以確定該系統模型的自由度為16-4N。

3.2干擾處理分析

上一小節已經詳細分析了4用戶模型的天線配置以及如何實現最優化配置，接下來將分析如何實現在接收端消除干擾，以便獲取相應的期望信號。具體的分析如下。

不妨用Q1表示干擾消息W1對應的組合信道矩陣；Q2表示干擾消息W2對應的組合信道矩陣，以此類推。最后可以得到波束成形的列向量與組合信道矩陣Qi(i=1, 2, 3, 4)之間的關系：

(10)

(11)

通過上述分析，可以找到使得干擾消息迫零的波束成形向量F，進而每個接收端可以解碼出期望信息同時消除干擾消息。

4 仿真與分析

使用MATLAB對系統模型的可行性以及系統自由度與干擾消息數之間的關系進行了仿真分析。同時，假設每個信道為不相關的瑞利衰落信道。發送端的發送功率為P，發送端在滿足總的功率限制下，對每個用戶的發送功率平均分配。每個用戶接收端的噪聲方差都相同且設為σ2。假設發送端可獲知它所發送的所有用戶的無差錯的等效信道狀態信息，每個用戶也能獲得接收端到其信道的狀態信息。

用戶i的消息經過一列處理之后，在接收端的接收信噪比為:

(12)

其中Pe表示每個接收端的期望信號，Pi表示每個接收端的干擾信號。 故用戶i的期望信號速率為：

Ri=log2(1+SINRi)

(13)

因此，可以得到系統的總和速率為:

(14)

基于上述對和速率(Sum Rate)的分析，可以使用MATLAB對系統的和速率做仿真，仿真結果如圖3所示。

圖3描述的是2干擾4用戶系統的和速率與信噪比之間變化關系，在使用本文給出的最優天線配置及迫零方案的情況下，每個接收端的干擾消息數量相同且從1個增加到2個干擾消息，對應的自由度大小從12減少到8。從圖中可以看出，固定用戶數的情況下，系統自由度隨著干擾消息數N增加而線性減少，這個結果同樣與理論公式相一致。

圖3 2干擾4用戶系統的和速率與信噪比關系

從圖3不難得出，如果期望獲取更大的系統自由度，可以控制每個接收端的干擾消息數量，使其盡可能少。

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Research on degree of freedom of 4-user BC network based on multicast

Wang Yue, Liu Feng, Zeng Liansun

(College of Information Engineering, Shanghai Maritime University, Shanghai 201306, China)

TN92.5

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.18.022

王越，劉鋒，曾連蓀.基于多播的4用戶BC網絡自由度研究[J].微型機與應用，2017,36(18)：73-76.

2017-02-28)

王越(1990- )，通信作者，男，碩士研究生，主要研究方向：MIMO。E-mail:wyue_email@163.com。

劉鋒(1976- )，男，博士，講師，主要研究方向為無線通信。

曾連蓀(1962-)，男，博士，教授，主要研究方向：定位導航系統。