有限元極限分析下限法在雙層土圓形淺基礎中的研究

王秀林，員康鋒

（1.山西省交通職業技術學院，山西 太原 030031；2.山西省交通科學研究院，山西 太原 030006）

0 引言

近半個世紀以來，圓形地基在上層砂土下層黏土情況下的承載力情況已經得到越來越多的關注。對于工程師而言，在設計過程中的地基承載力計算必然要參照規范進行。針對雙層土情況，世界上較流行的一種是海軍建筑師和船舶工程師協會[1]（SNAME）提供的兩種計算方法。第一種是穿刺法[2]，該方法假設一個側面豎直的砂土塞從砂土層穿刺到黏土層；第二種稱之為投影面積法[3]，該方法假設基礎底面從砂土上層面按一定斜率投影到黏土上層面。然而，上述兩種計算方法均不同程度地忽略了上層砂土強度對地基極限承載力的貢獻。近年來，一些學者通過試驗提出了很多修正的計算模型。例如，Okamura[4]通過離心機試驗的承載力數據以及通過造影技術觀察失效機制，在融合規范中兩種計算模型的基礎上提出了一個新的有解析解的極限平衡模型。

然而，上述半經驗的理論計算模型一般來源于有限的試驗數據，因而其適用性有待驗證。近年來，一些有限元方法在上層砂土下層黏土的圓形地基承載力計算方面有所嘗試。Lee[5]用商業有限元軟件PLAXIS去模擬圓形基礎在雙層土情況下的模型。這些數值分析模型在不同程度上能預測地基在貫入過程中的每個時刻的承載力以及對應的地基土變化情況。然而，這些數值模擬方法有不可避免的缺點：計算所需參數繁多且計算效率低。這些缺點導致工程設計實踐中適用性方面的限制。近30年發展迅速的有限元形式的極限分析下限法[6-7]在某種程度上克服了上述幾種方法的缺點。該方法的計算模型簡單，僅需輸入很少的基本參數便可得到真實解的下限值。本文將著重研究有限元分析下限法應用于上層砂土下層黏土情況下圓形淺基礎承載力的計算問題。

1 極限分析下限法在雙層土圓形淺基礎的應用

1.1 計算模型

本文中計算的地基承載力均是針對短期穩定性而言的，具體計算模型見圖1。如圖1所示，半徑為D的圓形地基位于雙層土之上。上層砂土層厚度為H，摩擦角為φ，重度為γ；下層為無限厚的黏土層，不排水抗剪強度為su。本文中均假設地基底面完全粗糙，上層為堅硬砂土層。

圖1 圓形基礎示意圖

1.2 下限法在圓形地基中的應用

本節簡要地介紹了軸對稱情況下有限元極限分析的下限法理論。對于在軸對稱結構的極限分析有限元形式中，三角形單元中的每個節點應力場由（σr,σz,τrz,σθ）來表示，如圖 2a所示。眾所周知，下限理論是以平衡和屈服準則為基礎的靜力容許應力場條件。對于任意一個三角形單元，必須滿足以下4個條件：

a）單元平衡，即每個節點應力場與外界荷載平衡：

b）應力間斷面連續，即相鄰兩個單元的公共面上，同一位置的不同節點的正應力和剪應力必須相等，同時對于同一邊界，剪應力和正應力處處連續。對圖 2b 中而言，須滿足 σn1=σn2,τt1=τt2,σn3=σn4及τt3=τt4同時σ、τ在邊界上線性連續。

c）滿足應力邊界條件，在圖2c中，須滿足σn1=q1,σn2=q2,τn1=t1,τn2=t2.

圖2 極限分析下限法有限元形式單元節點示意圖

d）屈服準則，在軸對稱情況下，每個應力節點的摩爾-庫倫屈服準則可表示為：

而求解地基極限承載力也就是得出目標函數的最優解：

歸根結底，求有限元形式下的下限解就是一個數學問題。

2 結果驗證

通過上述部分簡述過程及方法，便可以得到圓形基礎在雙層土情況下的有限元極限承載力的下限解。為了驗證該方法的穩定性和準確性，本節將下限法結果有限元數值方法進行對比。

值得說明的是，在計算極限承載力之前，為了更接近實際情況，應考慮在特定應力狀態下的軟化效應，將上層砂土的摩擦角進行折減[6]。文獻[7]給出了內摩擦角的折減公式：

式中：φ*為折減后摩擦角；φ′為折減前摩擦角；ψ為剪脹角。對于φ′和ψ，可以通過一個嵌入Bolton提出的強度-剪脹關系的迭代程序來計算。也就是說，下文給出的計算結果均是針對折減后的摩擦角而言，為了避免混淆，統一簡稱摩擦角，用符號φ表示。

選取有限元商業軟件PLAXIS的數值計算結果[8]進行對比。圖3的對比結果表明，幾乎所有的結果都在直線qu，FEM=qu，LB附近分布，說明下限法求得的極限承載力與有限元計算結果非常吻合。

圖3 下限法與有限元結果對比

為了進一步探求下限法計算結果的準確性，表1 計算了 qu，FEM/qu，LB的各個統計特征值。25 組試驗中有限元數值結果與下限法計算結果的比值平均值為1.01，比值中最大為 1.09 最小為 0.94，說明 qu，FEM/qu，LB波動范圍非常集中。此外，25 組 qu，FEM/qu，LB計算結果的變異系數僅為3.5%，說明有限元下限法在雙層土圓形淺基礎中計算地基承載力時具有非常好的穩定性。

表1 有限元數值結果與下限法比值統計結果分析

通過與有限元計算結果的對比，充分說明了有限元形式的下限解計算結果的準確性以及穩定性。同時，由于有限元建模復雜、計算耗時較長、輸入參數繁瑣等缺點，有限元形式的下限法為計算圓形地基在軸對稱荷載以及上層砂土下層黏土情況下的極限承載力提供了一個方便快捷的途徑。

3 結論

本文將有限元形式的極限分析下限法應用到上層砂土下層黏土情況中計算圓形地基的極限承載力，得出了幾點有用的結論：

a）有限元形式的極限分析下限法能較準確地預測在上層砂土下層黏土情況下圓形地基的極限承載力。

b）實際應用中，在使用本文建議的方法之前，必須首先在考慮尺寸效應和軟化等因素下確定與實際情況下的砂土層摩擦角。

c）相比于有限元數值分析，有限元形式的下限法為計算圓形地基在軸對稱荷載以及上層砂土下層黏土情況下的極限承載力提供了一個方便快捷的途徑。