以《平面向量》教學為例探討新課程體系下高中數學概念課教學難點的教學策略

康素玲　劉娟

【教學難點】

難點：平面向量與共線向量的概念，向量幾何表示的生成過程.

【應對策略】

（1）創設情境，先使學生由感受現實中既有大小，又有方向的量，然后逐漸增加信息，以便達到理性認識所必備的信息量；

（2）學生模仿抽象數量概念的過程，從同一類事物中歸納出向量的概念；

（3）通過將向量與數量進行比較，以便深層次地理解向量概念；

（4）讓學生將已學習過的直線（段）平行和共線與共線向量這一新知之間建立起聯系，灌輸類比思考的思想；

（5）類比數的表示方法引出向量幾何表示方法，由具體向量的有向線段表示進而推廣到一般向量幾何表示。

這一堂課的教學中，首先以問題指引過程，然后教師指導、學生提問、師生間交流，讓學生主動構建向量與共線向量的概念。目的是使學生體驗新概念由來的全過程，深刻理解新、舊知識間聯系。

1 創設情境 建構概念

例2 教師節到了，來自小夢的一條微信祝福這樣寫道：“謝老師您好，教師節快樂！我在離銅陵市直線距離約400千米的某個城市讀大學，您猜猜我現在在哪個城市？”

[設計目的] 設置學生熟識的情境，指導學生獨立思考.讓學生明白只有大小卻沒有方向，并不能給出具體的位置，說明位移是一個既有大小，又有方向的量。

[教學片段]

師：借助高德地圖，老師定位地圖上杭州、南京、九江等城市離合肥400千米。你能不能確定是哪所城市呢？

生：不能。

師：為什么不能確定呢？

生：因為不知道具體方向。

師：這么說位移不僅要求有大小，而且有方向。

【問題1】請同學們再試著列舉出一些既有大小，又有方向的量？

[設計目的]激發學生的已有的經驗.通過詢問有沒有只有大小，沒有方向的量的問題，通過對比，顯示向量的兩個要素。

[教學片段]

生：重力、浮力、彈力……

師：請同學們說說哪些量是僅僅有大小卻沒有方向的量？

生：年齡、身高、面積、體積等。

師：我們一起溫習數的概念，我們能夠從一個文具盒、一把小刀、一支鋼。

筆……中抽象出僅有大小的數量“1”。同樣地，我們也能夠對力、位移、速度……這些既有大小，又有方向的量形成一種新的量。

師：我們把既有大小，又有方向的量稱為向量，把那些僅有大小，沒有方向的量叫做標量[1]。

[設計目的]這節課在“平面向量”這一章中起到“統領全局”的作用.它解答了平面向量這章“是什么”、“為什么”、“學什么”、“怎么學”的問題，點明學生的學習任務、向量的研究對象和方法。

2 幾何表示 理解概念

【問題 2】實數在數軸上是如何表示的？

[設計目的]與實數的點表示進行類比，尋找向量幾何表示方法。

[教學片段]

生：可以用數軸上的點表示.

師：我們知道實數通常能夠用數軸上某一點來表示，并且不同的點所表示實數是不同的?，F在請同學們在數軸上畫出表示實數0，1的點和任一實數a的點。

生：先畫出數軸，再標注點的位置（如圖1）。

圖1 實數在數軸上表示

師：實數a是一個數量，我們用數軸上的點A來表示，這里實際上就是用幾何圖形來表示了實數a，既然數量可以這樣表示，那么我們是否也可以找到一種幾何圖形來表示平面向量呢？

[師生互動]兩回顧、一探究：大家回顧浮力如何表示及實數中絕對值符號的具體使用情況，研究向量的幾何表示、字母表示，向量的模的字母表示。

[設計目的]浮力通常用“帶箭頭的線段”表示，這是已學知識，將該內容進行條理化、系統化，是為了強化新知，讓舊知生長出新知.在實數的兩邊畫兩條平行且等長的豎線段表示“表示實數的點到原點的距離”，把這種符號表示類比到向量的模的字母表示，這樣學生容易接受。

3 探究實例2引出關系

【探究互動】

在坐標紙上畫出如圖 所表示的向量.

（1）圖中哪些向量是單位向量？

（2） ， ， 三個向量的方向有何關系？

（3） ， 在大小和方向有何關系？

圖2 向量

[設計目的]鞏固單位向量的概念；上面探究將平行向量、相等向量和共線向量的概念形成過程聯系起來。

[教學片段]

師：坐標紙中哪些向量是單位向量？

生： ， ， ，

師：為什么它們是單位向量？

生：因為它們的模都等于1個單位。

師：單位向量和它們的方向有關系嗎？

生：沒有。

師：坐標紙中哪些向量不是單位向量？

生：

師：我們從向量大小的角度尋找到了單位向量.大家已經知道向量不僅有大小，還有方向.請大家想想 ， ， 這三個向量的方向什么關系？

生： 與 方向相同， 與 方向相反， 與 方向相反。

師： ， ， 中有零向量嗎？

生：沒有。

師： ， ， 所在的線段之間的位置關系是什么？

生：平行。

師：我們把方向相同或相反的非零向量稱為平行向量[2]， // 記作。

師：大家想不想知道零向量的方向？

生：想。

師：我們規定任一向量跟零向量平行，是指？坌 ， // 有。

師： ， 在大小和方向上有何關系？

生：長度相等，方向相同。endprint

師：也表示 、 的兩個基本要素是完全一樣的。數學上，長度相等且方向相同的向量叫相等向量[3]，記為 = 。

圖3 向量

師：如圖3， 與 之間什么關系？那 與 之間什么關系？

生：都是相等的。

師：“相等”說明能用同一條有向線段 來表示兩個相等的非零向量 和 ，注意與有向線段的起點無關。即能夠將非零向量 和 在平面內平移到 的位置且平移后向量與原向量重合。類似地，我們同樣能夠作 ， 相等。此時，我們將一組平行的向量 ， ， 都平移到了同一條直線上。（注意：平行向量也稱作共線向量）。

【獨立探究】探討有向線段與向量的差別和聯系？

[設計意圖] 學生之間互助學習，感受向量能夠在平面內隨意平移且與有向線段的起點無關.

[教學片段]

生：我們組討論的結果是有向線段的三要素：起點、長度與方向，而向量是由自己的方向與模決定，跟起點無關[4]。

【小結】我來請一位學生回答本節課總共學習了哪些新的概念。

圖4 平面向量概念圖

[設計目的] 先讓同學們總結本節課所學的內容概要，然后老師進行提煉補充，最后總結學習新概念的一般思路如圖5：

圖5 小結流程圖

本節介紹本堂課需要學習的內容、意圖及學習任務.本節課概念很多，內在聯系相當嚴密，概念的獲得過程要與同學們的認知規律相符.在本節課的教學中，應該著重掌握從“特殊”到“一般”的思想和“類比”思想的應用.在向量概念教學時，老師可以指導同學舉出相仿的實例，歸納相同特點，從而得到向量概念. 在討論向量的幾何表示、字母表示、定義零向量與單位向量、研究向量之間關系時，引導學生將已具備的經驗（如實數與力的幾何表示、線段的字母表示、 和 的特殊性、線段平行和共線等）類比到向量的幾何表示、字母表示、零向量和單位向量的特殊性、平行向量和共線向量等概念中.這種類比可以讓學生自主、高效地認知向量的相關概念，同時也替教師和學生共同探討新概念的形成過程提供了明顯的思路.課后，教師需要引導學生從中感悟一個數學新概念的基本思路：從同類事物中抽象出本質特征.在課堂教學中，應充分調動學生積極性，引導學生自發進行舉例、互評、探究等活動。

【參考文獻】

[1]劉德，林旭.學習高手數學4必修配新課標人教A版[M].光明日報出版社，2006.

[2]李秀蘭.向量概念規律探究[J].中學生數理化：高一版，2011，（5）：3-3.

[3]舒美愛，徐莉.數學第二冊[M].立信會計出版社，2011.

[4]何新江.向量的不合常理性質的研究[J].中學數學研究，2005，（9）：21-23.

[責任編輯：張濤]endprint