數列在高考試卷中的存在形式分析

摘要：本文對數列在選擇題、填空題、解答題等三種題型中的存在形式進行分析，旨在幫助學生更好地學習數列這一知識，從而促進數學教學質量的提升。

關鍵詞：數列；高考；選擇題；填空題；解答題

數列這一知識內容豐富，在高考中基本涉及所有的題型，每一種題型考察的知識都不一樣，而且還會和其他的題型進行混合應用，考驗學生的綜合解題能力。以下是對數列在各類題型中的存在形式分析，供大家參考交流。

一、 以選擇題為例

數列在選擇題中出現的方式多種多樣，考察的知識點也是五花八門，可能會單純地進行數列的運算。比如求前n項和的公式，或者是根據條件推出某項的表達式，或者進行數列類型的判斷；也可能和其他的知識點聯合起來考察，比如以數列相關知識為命題，推斷命題之間的關系；還可能會將數列融合到實際的應用中。所以，教師在訓練學生數列選擇題的時候，應該從多個方面為學生考慮，從而讓學生在多類選擇題中應對自如。

例如，在2016年數學高考全國一卷中，有一個關于數列的選擇題如下：

已知等差數列{an}前9項的和為27，a10=8，則a100=（）

A. 100B. 99C. 98D. 97

解題思路：通過已知條件得9a1+36d=27，a1+9d=8，所以，可以得出a1=-1，d=1，a100=a1+99d=98。

經過分析，此題考察了數列基本的運算，是通過前n項和求某項值的題目，主要是鍛煉學生獲取信息、解決問題的能力。可見，教師在鍛煉學生做選擇題的時候，應該讓學生充分利用已知條件，從而進行相關的運算。

二、 以填空題為例

數列在填空題中出現的形式要少于選擇題，由于受到題型的限制，多數填空題對數列考察的重點在于數列的運算，但考察的往往是數列最基礎的知識點。比如由已知條件推斷出數列的最值；或者求前幾項或者前n項和以及數列中某項的表達式；或者將數列的知識變一種表達，從而變相的考察相關的知識，而數列在填空題部分很少有實際應用題的出現。所以，教師在讓學生備考數列填空題的時候，首先要夯實學生的基礎，對數列任何一部分的基礎知識都能夠熟練運用，進而進行真題的演練，才能對填空題做到了如指掌。

例如，在2016年數學高考全國一卷中，有一個關于數列的填空題如下：

設等比數列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為。

解題思路：設等比數列{an}的公比為q，由已知條件可以得出a1（1+q2）=10，a1q（1+q2）=5，從而解得a1=8，q=1/2，所以a1a2…an=a1nq1+2+…（n-1）=8n*（1/2）n（n-1）/2=2-n2/2+7n/2，得出當n=3或者n=4時，a1a2…an取得最大值為26=64。

通過以上可以看出，數列在填空題中的考察對數列的基本運算進行了一點延伸，并且緊密圍繞著基礎知識進行題目的設計，可見，要做好填空題，需要教師訓練學生對基礎知識的運用。

三、 以解答題為例

一般的解答題是選擇題和填空題的結合，即考察數列中基礎的知識，比如求前n項和的公式或者求數列中某項的值，也可能會將數列知識與其他知識結合到一起，比如進行相關公式的論證，或者在集合、函數等知識中對數列進行運算，甚至會和圖像、坐標系等進行融合，變相地考查數列的知識。因此，教師需要讓學生對每一種題型做好充分的準備，并進行針對性訓練，另外也要注意強化學生對數列本身基礎的運算，要保證簡單的題做到萬無一失，才能在面對難題的時候臨危不懼。

例如，2016年四川數學高考中，有一個關于數列的解答題如下：

已知數列{an}的首項為1，Sn為數列的{an}的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q>0，n∈N*。

（1）若2a2，a3，a2+2成等比數列，求an的通項公式；

（2）設雙曲線x2-y2/an2=1的離心率為en，且e2=5/3，證明：e1+e2+…+en>4n-3n/3n-1。

解題思路：

（1）由已知，Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1，兩式相減得到an+2=qan+1（n>1），又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan對所有n>1都成立。

所以，數列{an}為等比數列，an=qn-1。

由2a2，a3，a2+2成等比數列，可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2，則（2q+1）（q-2）=0，由已知，q>0，故q=2。

所以an=2n-1（n∈N*）。

（2）雙曲線的離心率為en=1+q2（n-1），由q=1+q2=5/3可得q=4/3。

因為1+q2（k-1）>q2（k-1），所以1+q2（k-1）>qk-1（n∈N*）。

因此，e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn-1/q-1，故e1+e2+…+en>4n-3n/3n-1。

通過以上試題可以看到數列和雙曲線聯合起來對學生進行考查，由簡單的基礎知識推廣到負責的邏輯運算，可見，教師應該注意學生對數列知識推廣問題的訓練。

綜上所述，數列是一類需要教師和學生花時間和精力去研究的知識，不僅是選擇、填空中考察的小知識點，還是在解答題中的綜合應用，都需要對學生進行專門的訓練。這樣，學生才能在數學高考中做到臨危不懼，推動學生數學成績的提高。

參考文獻：

[1]葉景輝.高考數列題的解題策略研究與試題評析[D].廣州大學，2016.

[2]王暉.高考數列問題解析[J].語數外學習（高中版中旬），2017（11）：39.

作者簡介：

劉文輝，湖北省孝感市，湖北省孝感市漢川市福星中學。