含區(qū)間參數(shù)的柔性彈箭特征值分析

舒睿洪,王國(guó)平，武令偉

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 南京 210094)

【裝備理論與裝備技術(shù)】

含區(qū)間參數(shù)的柔性彈箭特征值分析

舒睿洪,王國(guó)平，武令偉

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 南京 210094)

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性會(huì)引起系統(tǒng)振動(dòng)特性的變化；基于區(qū)間參數(shù)和多體系統(tǒng)傳遞矩陣法，分析了火箭彈特征值問(wèn)題，并對(duì)含區(qū)間參數(shù)的柔性火箭彈振動(dòng)特性進(jìn)行了數(shù)值仿真，進(jìn)而比較了彈長(zhǎng)、彈重和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的波動(dòng)對(duì)振動(dòng)特性的影響以及推力和質(zhì)量流失對(duì)橫向位移的影響；該方法涉及的矩陣階次低，計(jì)算速度快，無(wú)需建立系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程，為研究復(fù)雜變截面彈箭和飛行中的復(fù)雜問(wèn)題提供了重要參考。

傳遞矩陣法；柔性彈箭；特征值；振動(dòng)特性

多管火箭武器系統(tǒng)具有機(jī)動(dòng)性好、成本低、威力大，可在較短時(shí)間對(duì)面目標(biāo)進(jìn)行強(qiáng)火力攻擊，在戰(zhàn)場(chǎng)上具有非常重要的地位。它的射擊精度和密集度，都會(huì)受到火箭彈振動(dòng)特性的影響，因此，含不確定區(qū)間參數(shù)的柔性彈箭振動(dòng)分析[1-4]，對(duì)于火箭彈的研究具有重要意義。但在生產(chǎn)制造過(guò)程中，由于各材料特性、制造工藝、裝配過(guò)程和具體使用等多種因素的影響，導(dǎo)致彈箭系統(tǒng)的各參數(shù)具有隨機(jī)性，而結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)特性變化。因此，對(duì)含區(qū)間參數(shù)的柔性彈箭特征值[5]的分析已引起研究人員的關(guān)注。目前解析法、Monte Carlo法以及攝動(dòng)法是最常用的3種彈箭振動(dòng)特性的研究方法。但一般力學(xué)方法在分析柔性體固有振動(dòng)特性時(shí)，常會(huì)面臨解決矩陣階次高、計(jì)算量繁復(fù)等問(wèn)題。董滿才等[6]基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法，分析比較了這3種方法的優(yōu)劣。戎保等[7]在傳遞矩陣法和攝動(dòng)法的基礎(chǔ)上，分析了參數(shù)變化造成火箭彈振動(dòng)特性的變化。本文利用多體系統(tǒng)傳遞法，分析細(xì)長(zhǎng)的柔性彈箭在飛行過(guò)程中的固有振動(dòng)特性，并通過(guò)單一變量法依次研究各初始參數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)對(duì)該柔性彈箭固有振動(dòng)特性中的頻率、振型、響應(yīng)以及橫向位移的影響。

本課題基于區(qū)間參數(shù)[8]和多體系統(tǒng)傳遞矩陣法理論[9-10]，通過(guò)對(duì)彈箭系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立，利用動(dòng)力學(xué)理論推導(dǎo)了傳遞方程和傳遞矩陣，進(jìn)行了特征值分析，進(jìn)而比較彈長(zhǎng)、彈重和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的波動(dòng)對(duì)振動(dòng)特性的影響以及推力和質(zhì)量流失對(duì)振動(dòng)橫向位移的影響。該方法涉及的矩陣階次低，計(jì)算速度快，無(wú)需建立系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程，為研究復(fù)雜變截面彈箭和飛行中的復(fù)雜問(wèn)題提供了重要參考。

1 求頻率以及固有振型

隨著火箭彈射程和性能的提高，其長(zhǎng)細(xì)比逐漸變大，當(dāng)火箭彈長(zhǎng)細(xì)比達(dá)到25以上時(shí)，對(duì)其固有振動(dòng)特性的分析時(shí)需要將其作為柔性體處理。為敘述方便，假設(shè)該柔性彈振動(dòng)符合以下基本假設(shè)： 柔性彈為沿彈軸截面變化的梁，且彈體中心線與質(zhì)量中心線重合； 長(zhǎng)徑比大，不考慮剪切的影響； 軸向剛度遠(yuǎn)大于橫向彎曲剛度，忽略拉壓變形的影響。

在物理坐標(biāo)系下定義輸出點(diǎn)O與輸入點(diǎn)I的狀態(tài)矢量為

(1)

式(1)中狀態(tài)矢量見(jiàn)參考文獻(xiàn)[11]。因此系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)有

(2)

式(2)中ω為火箭彈的固有頻率。模態(tài)坐標(biāo)系下輸出點(diǎn)O(即彈頭)和輸入點(diǎn)I(即彈尾)的狀態(tài)矢量分別為

(3)

根據(jù)彈頭彈尾傳遞關(guān)系可得矩陣：

ZO=UZI

(4)

式(4)系統(tǒng)的傳遞矩陣：

(5)

將邊界條件

代入式(4)可得特征方程

(6)

解此方程便可得系統(tǒng)的固有頻率。由于超過(guò)10階后對(duì)特征方程組的影響忽略不計(jì)，因此對(duì)所求得的頻率只求前10階。每一階固有頻率求特征方程組：

(7)

便可求得火箭彈彈頭處的狀態(tài)矢量。再通過(guò)傳遞方程即可求得火箭彈長(zhǎng)方向任意位置的系統(tǒng)振型和狀態(tài)矢量。火箭彈前10階具體振型如圖1所示，其最值及頻率如表1。

由圖1和表1可看出，振動(dòng)周期隨著頻率的增加而減小；振幅隨著頻率的增大而減小，第10階的振幅已衰減到第一階振幅的0.15，且相鄰兩個(gè)頻率值相差越小，振幅變化越大，振型圖中的最大值逐漸減小。

表1 火箭彈前10階振型最值及頻率

2 動(dòng)力響應(yīng)

多剛?cè)狍w系統(tǒng)無(wú)阻尼的體動(dòng)力學(xué)方程為

Mvtt+Kv=f

(8)

根據(jù)動(dòng)力響應(yīng)物理坐標(biāo)在增廣特征矢量Vk下展開(kāi)可得

(9)

用增廣特征矢量求內(nèi)積，同時(shí)應(yīng)用增廣特征矢量正交性得

(10)

設(shè)該柔性彈系統(tǒng)的初始條件為

(11)

則

(12)

在廣義坐標(biāo)的解的基礎(chǔ)上可得火箭彈的動(dòng)力響應(yīng)為

(13)

模態(tài)質(zhì)量

火箭彈X方向位移為

(14)

Y方向位移為

(15)

由于火箭彈是軸對(duì)稱的，Z軸振動(dòng)情況和Y軸一致，僅討論Y軸方向。

圖1 火箭彈前10階振型

火箭彈在燃料燃燒過(guò)程中推力保持不變，但由于燃料不斷燃燒，火箭彈質(zhì)量流失的振動(dòng)位移時(shí)間歷程如圖2(a)、圖2(b)所示，在燃料完全燃燒后，火箭彈質(zhì)量基本保持不變的情況下的振動(dòng)位移時(shí)間歷程如圖2(c)、 圖2 (d)所示。

圖2(c),圖2(d)是火箭彈在只受重力情況下，X、Y方向的振動(dòng)位移時(shí)間歷程。實(shí)驗(yàn)表明，火箭彈在飛行過(guò)程中燃料燃燒時(shí)間為2s，圖2 (a)、 圖2 (b)是飛行過(guò)程中的振動(dòng)位移時(shí)間前兩秒，在推力一定的情況下，質(zhì)量不斷流失，2 s后只受重力和空氣阻力。從圖中可看出，和飛行過(guò)程中相比，只受重力影響的情況下X、Y方向振動(dòng)位移明顯小很多，說(shuō)明推力和空氣阻力對(duì)振動(dòng)所產(chǎn)生的橫向位移影響較大。并且，隨著質(zhì)量減少，產(chǎn)生的橫向振動(dòng)位移振幅減小，振動(dòng)周期大幅度增加。

圖2 位移時(shí)間歷程

3 參數(shù)變化對(duì)振動(dòng)的影響

由于材料、加工以及裝配等問(wèn)題，火箭彈的彈長(zhǎng)、彈重和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)際值都會(huì)在理論值附近的區(qū)間波動(dòng)。隨著機(jī)械加工精度的提高，火箭彈的長(zhǎng)度和質(zhì)量的加工誤差相對(duì)較低，通常能控制在上下5%的范圍以內(nèi)，但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量裝配過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生二次誤差，使最終的誤差范圍在上下10%的范圍內(nèi)。為了研究區(qū)間參數(shù)對(duì)火箭彈的振動(dòng)特性的影響，使彈長(zhǎng)、彈重在標(biāo)準(zhǔn)值上下5%的范圍、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在上下10%范圍內(nèi)單獨(dú)變化以及3個(gè)變量同時(shí)變化，分別計(jì)算了火箭彈前10階固有振動(dòng)頻率，并分析單一變量和3個(gè)變量同時(shí)變化時(shí)對(duì)固有頻率的影響效果，具體變化分析示意圖如圖3、圖4、圖5和圖6所示。

圖3 頻率隨長(zhǎng)度變化

圖4 頻率隨質(zhì)量變化

圖5 頻率隨轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化

圖6 頻率隨質(zhì)量、彈長(zhǎng)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同時(shí)在區(qū)間變化

由此可知，隨著彈長(zhǎng)、彈重和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別在標(biāo)準(zhǔn)值上下5%區(qū)間范圍內(nèi)變化時(shí)，彈箭的固有振動(dòng)頻率值分別隨彈長(zhǎng)和彈重的增加而減小，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的增加而增加，但長(zhǎng)度對(duì)頻率的影響最為顯著。由圖5可知，當(dāng)彈重、彈長(zhǎng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同時(shí)在區(qū)間范圍內(nèi)變化時(shí)，對(duì)頻率的影響大于3個(gè)變量分別作用時(shí)對(duì)頻率的影響，可見(jiàn)三者對(duì)頻率的作用會(huì)相互影響。

由圖3可知，隨著長(zhǎng)度增加，頻率減小；長(zhǎng)度在標(biāo)準(zhǔn)值5%范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，第一階變化7.51%，到第10階變化7.56%，可得出高階情況下長(zhǎng)度對(duì)頻率影響范圍略小。由圖4可知，隨著質(zhì)量增加，頻率減小。由圖5可知，各階振動(dòng)頻率隨著轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的增加而增加，且轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)高階的頻率變化略多于低階，推力和空氣阻力對(duì)振動(dòng)所產(chǎn)生的橫向位移影響較大。并且，隨著質(zhì)量減少，產(chǎn)生的橫向位移振幅減小，振動(dòng)周期大幅度增加。

4 結(jié)論

本文采用了區(qū)間參數(shù)和多體系統(tǒng)傳遞矩陣法分析了柔性火箭彈的隨機(jī)特征值問(wèn)題。該方法無(wú)需建立系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程，涉及的矩陣階次低，可快速獲得精度較高的全系統(tǒng)固有振型，在一定程度上保證了柔性火箭彈特征值的快速計(jì)算，并成功分析出彈長(zhǎng)、彈重和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)火箭彈振動(dòng)特性的影響。該研究將為更加復(fù)雜的變截面火箭彈的研究分析以及實(shí)際飛行過(guò)程中遇到的更加復(fù)雜的問(wèn)題提供參考。

[1] 芮筱亭,王國(guó)平,陳衛(wèi)東.多管火箭隨機(jī)發(fā)射與飛行動(dòng)力學(xué)仿真[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2003,27(5):616-620.

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(責(zé)任編輯周江川)

ResearchonEigenvalueswithIntervalParametersofFlexibleMissile

SHU Ruihong, WANG Guoping, WU Lingwei

(School of Energy And Power Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

On the basis of interval parameter and multi-body system transfer matrix method, this paper not only analyzes the problem of eigenvalue of rocket, but also carries out the numerical simulation of the flexible rocket vibration characteristics with interval parameters. And then the influence of the fluctuation of the bomb length, the bomb weight and the moment of inertia on the vibration characteristics and the influence of the thrust and mass loss on the lateral displacement are compared. Involving a low order of the matrix and computing fast, this way has no need to establish the overall system dynamics equation and provides an important reference for the study of complex variable cross-section projectile and flying complex problems.

transfer matrix method; flexible missile; eigenvalues; vibration characteristics

2017-04-24；

：2017-05-25

舒睿洪(1994—)，女，主要從事彈箭外彈道研究。

王國(guó)平(1976—)，男，研究員，主要從事武器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制與優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。

10.11809/scbgxb2017.09.010

format:SHU Ruihong, WANG Guoping, WU Lingwei.Research on Eigenvalues with Interval Parameters of Flexible Missile[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(9):48-52.

TJ513

：A

2096-2304(2017)09-0048-05

本文引用格式：舒睿洪,王國(guó)平，武令偉.含區(qū)間參數(shù)的柔性彈箭特征值分析[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(9):48-52.