“變式”在解題中體現的“簡捷”

王曉秋

摘要：用實例將“變式”解題用在數學問題中，充分體現它的簡捷性與容易性。變式在概念教學中的可逆性、簡潔性、由特殊到一般、數形結合的相互轉化思想。

關鍵詞：變式；簡捷；教學；數形結合；特殊到一般

G633.6

對于具體的數學問題，在解題過程中感到非常困難或者無法可解時，不妨把給出的條件或結論作某些變化，達到解決數學問題的目的。“變式”就是從特殊變到一般，從較復雜變為簡單，從抽象變到具體，從整體變化回到局部或保持特征的最簡單方式。先從簡單入手，再處理較為特殊的問題，并歸納，聯想“數”“形”結合，解決一般性問題。在數學教學中“變”是絕對的，“不變”是相對的，萬事萬物在變化中進步，在變化中成長。數學問題中的“變”是奇妙無窮的，處處體現“變”之容易，“變”之簡捷。現以實例說“變式”在解題中的“簡捷”。

一、注重概念、定理、公式的教學。

首先，數學概念、法則、性質、定理常常具有可逆性，例如七年級數學上冊由“正數”逆變提出“負數”的概念；有理數的減法法則可由加法法則轉變；去括號法則逆變出添括號法則；在冪的運算性質中，有（ab）n=anbn （a、b為實數，n為正整數）。下面計算（ ）2003·（ ）2004。對于有些學生來說就比較困難，困難在于對公式的變化沒有深刻的理解。公式（ab）n=anbn可以逆過來寫成anbn=（ab）n，而an=an-1·a，根據實際需要作恰當的變化，先將（ ）2004 =（ ）2003·（ ）變形，再計算：

（ ）2003（ ）2004=（ ）2003·（ ）2003·（ ）=[（ ）（ ）]2003·（ ）=[（ ）2-（ ）2]2003·（ ）=12003（ ）= 。

其次，在概念中教學中，“變式”也能體現它的“容易”，例如：二次根式的教學中，形如 （a≥0）叫二次根式，必須強調二次根式具有雙重非負性。例如已知 =1，求x的取值范圍。很多學生無從下手，感到困難，我把它變成 =x-1，學生們很快明白是考查了公式： = = 。因此 =x-1只能有x-1>0，再問為什么x-1不能等于零，指出x-1在分母中，同學們立刻就把問題解決了。又如在實數范圍內分解因式2x2-3，在有理數中無法分解，現在學習了實數和二次根式 通過變式，此問題就簡單容易， ，由此可見“變式”教學在概念的掌握和運用中是多么重要。例如：已知 ，求a-2b的值。分析：要求a-2b的值，表面看條件與結論無聯系，但想一想公式 則可得 ， ，

∴a-2b=2。又例如：已知方程組 ，且0

二、從簡單到復雜，從特殊到一般的數學思想在教學中經常用到，是我們在解決數學問題中的思維方法，也是一種變式。任何事務的發展都是由低級到高級的轉化，在數學教學中，我們利用人的思維發展規律，達到事半功倍的效果。例如：n為正整數，求 的值。開始，我沒有直接要求學生計算，而是要求把 變成兩個分式的差，很快學生得出 ，再要求分子必須是1，則 再把 變成以上形式。 ，在學生熱烈的探討中，要求的式子的值可以變式計算為：

再推廣到

又例如，已知： 都是正實數。

求證： 。

分析：我們學習了 ，a為正數， ， （ 為正數），如果 都為正數。則 ，然后把以上不等式相加，即可得結果。

證明： 為正實數， ， ， …… ，相加得：

在幾何問題中，我們同樣用到從特殊到一般的變式思維，例如，在平行四邊形ABCD中，點E是BC邊上的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G，①若 =3，求 的值。②若 =m，求 的值。

（1）

學生對此類題不知從何下手，求線段的比值必須轉化到三角形相似中來，構造相似 三角形，并尋找到中間橋梁，把已知 =3連接到所求 中。分析：如圖①，過E作EH//AB交BG于點H，則ΔEHF∽ΔABF，

，第②問中已知 ，可以由①得出結果

又例如：如圖：OC為 AOB的角平分線，P為上一定點，過P作任一直線交OA、OB于點E、F，試證： 恒為定值。分析：先考慮EF變化到特殊位置， 的情形，不妨設為如圖（1），此時Δ 為一個等腰三角形， ， ，由已知P是 的中點，取 的中點D，

則知 為定值，然后在證明任一直線EF交OA、OB就簡單多了，過P作PD//OE，交OF于D， ，同理 ，兩式相加即得

結論： 。

三、在數學教學中，我常常根據教學內容，培養學生的數學思維和邏輯推理能力，而“變式”的思維模式是在整體的數學能力中體現出來的，它需要從已知信息中挖掘出大量變化的，獨特的新信息的思維方式，它具有多向性、變通性、流暢性、獨特性的特點。因此數學教學的目的就是培養學生的分析問題，解決問題發展數學的能力，以及發展學生的智力，提高思維、觀察、注意、記憶、聯想等能力。為了使“變式”的思維模式能順利開展，教師必須提高自身素質，在教學過程中及時引導學生，利用教材中的公式、定理、定義、公里等縱橫對比，概括，歸納，形成一定的模式，盡量要求學生對同一問題從多途徑，多方向思考。例如：對同一個“數”跳出“抽象的數”的這個圈子，聯想到數軸、方程的根和三角形的邊長，當我們賦予它某種含義后，自然而然就找到幾何的背景，從而增進了對問題的理解，然后就從“數”變到“形”的思維。同樣的一個幾何問題，跳出“幾何”這個圈子，聯想到面積、方程、函數等等，同樣增加了解決問題的方法。例如：在數軸上表示這個數，必須跳出 是一個無理數這個圈子，到幾何中去尋找，在RtΔABC中 C=90°，AC=2個單位長，BC=1個單位長，則AB= ，如圖，原點與A重合，以A為圓心，以AB為半徑畫弧，交數軸于點E，則點E對應的數為 。

又例如：已知a>0，b>0，c>0，求證： + > 。分析：此題是代數的不等式證明。因為a>0，b>0，c>0， >0， >0， >0。我們如果跳出代數證明這個圈，變化到幾何證明。用兩邊之和大于第三邊，問題就簡單了。構造直角三角形，如圖：作RtΔABC，∠ACB=∠BCD=90°，AC=a，BC=c，CD=b，CE=a根據勾股定理： ， ， 而在ΔABD中，AB+BD>AD，AD=a+b，而a+b> ，所以 + > 。

從某種意義上說，學習數學就是為了解決數學問題，而解題是數學問題的核心，而從事數學教學就是質疑、釋疑、解疑的過程，即提出問題、分析問題、解決問題的過程。而“變式”就是在解決問題過程中起到“簡捷”，“靈活”而又可操作的杠桿作用。