讓數學走進生活

馮迎飛

【中圖分類號】G623.5

在我們的生活中有很多問題需要用數學知識來解決。排隊就是我們生活中最常見的問題，如到銀行取錢，到醫院看病，到火車站買票等。有時候排隊的人很多，要花費很多時間，如何使投入資源少，而顧客對服務又滿意，這就需要研究排隊問題。可以建立數學模型，使實際問題轉化為數學問題，利用數學知識解決相關問題，使顧客等待的時間最少。今天我想談談利用初中數學知識研究生活中的排隊問題，使學生認識到數學來源于生活，而又服務于生活，提高學生學習數學的興趣，增強應用意識，提高實踐能力。

問題1：某服務機構開設了一個窗口辦理業務，按先到達先服務的方式服務。該窗口每2分鐘服務一位顧客，已知當窗口開始工作時，已經有6位顧客在等待，在窗口開始工作1分鐘后，又有一位新顧客到達，且預計以后每5分鐘都有一位新顧客到達。

1）設 表示窗口開始工作時已經在等待的6位顧客， 表示窗口開始工作后按先后順序到達的新顧客，完成表格：

顧客

到達時間

服務開始時間

服務結束時間

等待時間

2）根據表格，哪一位顧客是第一個到達服務機構而不需要排隊的？求出他到達的時間。

3）在第一位不需要排隊的顧客到達之前，該窗口已經服務了多少位顧客？為這些顧客共花了多長時間？

4）求平均等待時間是多少分鐘？

解：1）完成表格如下：

顧客

到達時間 0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 21 26

服務開始時間 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 26

服務結束時間 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 23 28

等待時間 0 2 4 6 8 10 11 8 5 2 0 0

2）由表格可知： 是第一位到達不需要排隊的顧客，他到達的時間是21分鐘。

3）前面已經服務了10位顧客，共花費了20分鐘。

4）（0+2+4+6+8+10+11+8+5+2）÷10=5.6（分鐘）

拓展：上面問題中，若問題的條件變復雜（如當窗口開始工作時已經有很多顧客在等待），使用列表方法就很麻煩，能否用代數式表示上面的數量，由上面的具體問題歸納如下。

問題2：在問題1中，當窗口開始工作時，已經有10位顧客在等待，且當新顧客 離開時，排隊消失，即 為第一位不需要排隊的新顧客。

1） 在第一位不需要排隊的“新顧客” 到達之前，已經服務了多少位顧客？共花費了多長時間？

2） “新顧客” 到達時間是什么？“新顧客”到達后不需要排隊的條件是什么？并求出 的值。

解：1）（10+n）位，共花費時間是2（10+n）分鐘

2）（5n+1）分鐘，“新顧客”不排隊的條件是等待時間小于或等于0，即窗口服務開始時間小于等于“新顧客”到達時間，

因此有：20n+20≤5n+1，解得n≥

同時還要：2n+20-2>5n+1-5，（即前一位新顧客等待時間大于零），

解得n<

所以

所以n=7，則n+1=8，即第八位顧客不需要排隊。

通過以上兩個問題，用列表和列代數式讓學生感受到由具體問題歸納出一般解題方法，從而使學生能舉一反三，觸類旁通，同時體會到利用數學知識可以解決生活中的實際問題，把實際問題通過建立數學模型來解決，而本題利用不等式模型解決此類問題，使學生感受到數學的應用價值。

例1：蚌埠市博愛醫院兒科診室外有5位患者在候診，主任醫師到來后，開始為第1位患者診斷，每5分鐘診斷完一位患者，在主任醫師開始工作2分鐘后，又有一位新患者到達，且預計以后每10分鐘有一位新患者到達，設 表示主任醫師開始工作時已經在等待的患者， 表示主任醫師工作后按先后順序到達的“新患者”，當“新患者” 離去時，排隊現象消失，即 為第一位到達后不需要排隊的新患者（這里假設主任醫師開始為第一位診斷的時間為0）

1）用關于n的代數式表示：①第一位到達后不需要排隊的新患者 到來之前，共診斷了幾位患者，共用多長時間，② 到達的時間

2）根據①②得到的代數式及它們之間的數量關系求n+1值

解：1）①共診斷了（n+5）位患者共用時間為5（n+5）分鐘

② 到達時間為（10n+2）分鐘

2）由①②可得：

解得 ，又n為整數，所以n=5，因此n+1=6.

例2：某徽商銀行為了提高服務質量，對顧客進行了調查，結果顯示：當工作人員還未開始工作時，有a個人已經在排隊等候，開始工作后，排隊的人數平均每分鐘增加b個人。假設每個窗口每分鐘服務速度是k個人，當開放一個窗口時，40分鐘后恰好不會出現排隊現象，若同時開放兩個窗口時，則有15分鐘恰好不會出現排對現象，根據以上信息，若銀行承諾5分鐘后不會出現排隊現象，則至少要同時開放的窗口個數是多少？

解：設要同時開放n個窗口才能滿足要求，由題意得：

解得

當k=2.5b，a=60b時，由題可得n≥5.2

因此，至少開放6個窗口才能滿足要求。

本題通過建立數學模型，由已知可列出方程和不等式來解決實際問題，培養學生運用數學知識的能力，體驗成功的快樂。

教師在課堂教學中，不能僅僅停留在對基礎知識的理解，就題論題的層面上，而是要充分發揮典型問題的作用，讓學生在課堂教學中感悟知識的生成，數學思想和數學方法的靈活運用，本案例就運用了類比，轉化和建模的數學思想方法，教師往往通過一個知識點或一道典型例題為載體，提煉出數學規律和方法，使學生能居高臨下找到解題的關鍵，進一步拓展思維能力和運用數學知識解決實際問題的能力.

參考資料.七年級數學教材下冊（滬科版）