基于雙穩態發電的非線性吸振器的動力學特性及參數影響研究

任博林， 劉麗蘭， 張小靜， 李淑超

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048)

基于雙穩態發電的非線性吸振器的動力學特性及參數影響研究

任博林， 劉麗蘭， 張小靜， 李淑超

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048)

基于雙穩態發電建立了在簡諧激勵下的非線性吸振器的動力學模型。從數值仿真的角度研究了在簡諧激勵下基于雙穩態發電的非線性吸振器的動力學特性，分析了激勵頻率和激勵幅值對吸振器發生大幅混沌運動的影響規律。研究了調諧頻率比f、質量比μ、非線性強度β和吸振器的阻尼系數γ1對非線性吸振器和主系統動力學特性的影響，得到了主系統發生共振和非共振情況下非線性吸振器的最優參數配置，為非線性吸振器的優化設計提供理論基礎。

非線性吸振器；雙穩態發電；簡諧激勵；參數配置；動力學

隨著科技的發展，將電子設備工作環境中的振動能量轉換為電能，提供新的綠色電源系統,并且在一定程度上起到減振作用，可謂是一舉兩得[1-2]。

許多研究已表明線性或非線性振蕩器附加非線性吸振器的振動系統能夠不可逆地傳輸能量[3-4]。為了提高吸振效果，大部分作者開始研究非線性振動減振器，證明非線性吸振器比線性吸振器能更有效地提高帶寬，降低共振響應[5-7]。近年來，為了提高吸振效果，大部分作者開始研究非線性振動減振器，證明非線性振器已經應用到各個領域，例如Zhang等[8]研究表明了非線性吸振器可以顯著抑制由于風速引起的復合材料層合板的強烈振動。Han等[9]對在隨機激勵下線性、非線性的單自由度能量收集器的性能作了比較，證明非線性能量捕獲器更加有效。張也馳[10]構造了一個由單自由度非線性能量阱和兩自由度減振對象組成的系統，來研究非線性能量阱對雙共振峰的振動抑制效果，結果表明了非線性能量阱在正弦激勵作用下具有良好的寬頻減振效果。Taghipour等[11]研究了非線性振蕩器附加兩自由度的非線性吸振器的穩定性，分析了系統參數對振幅的影響。彭海波等[12]對一種含負剛度元件的新型動力吸振器通過解析解和數值解進行了參數優化，利用固定點理論得到了動力吸振器的最優阻尼比和最優頻率比。Kremer等[13]采用非線性吸振器收集能量，電腦仿真研究該裝置在瞬態響應條件下減振和收集能量的性能，并實驗驗證了仿真結果。

本文提出了基于雙穩態發電的非線性吸振器系統，該吸振器不僅可以對主系統減振，并且將吸收的振動能轉化為電能，針對該系統進行了動力學特性分析及結構參數(調諧頻率比f、質量比μ、非線性強度β及吸振器阻尼系數γ1)影響研究，得到了主系統發生共振和非共振情況下的非線性吸振器工作性能最佳的參數配置。

1 系統模型

本文所研究的基于雙穩態發電的非線性吸振器系統的力學模型,如圖1所示。

圖1 非線性吸振器系統的力學模型

系統控制方程為

(1)

P0cos(Ωτ)

(2)

對式(1)和式(2)進行無量綱化得到：

x″+(1+μ)fγ1x′-(1+μ)f2x+

(1+μ)f2βx3-γ2y′-y=-pcos(ωt)

(3)

y″+γ2y′+y-μfγ1x′+

μf2x-μf2βx3=pcos(ωt)

(4)

2 系統穩定性分析

(5)

則可以得到：

(6)

式中：a=(1+μ)f2,b=(1+μ)f2β,c=(1+μ)fγ1,d=μfγ1,e=μf2,k=μf2β。

令：

(7)

2.1平衡點的穩定性分析

系統對應平衡點(0,0,0,0)的雅可比矩陣為

(8)

其特征方程det(J1-λI)=0，即：

λ4+(c+γ2)λ3-(a-1-cγ2+dγ2)λ2-

(aγ2-eγ2-c+d)λ-a+e=0

(9)

式(7)的Routh-Hurwitz行列式為

Δ1=c+γ2,

(10)

因為Δ3與Δ4符號相反，故必有一負。根據赫爾維茨判據：系統穩定的充分必要條件是上述各行列式的各階主子式均大于零，可推導出平衡點(0,0,0,0)不穩定。

(11)

其特征方程det(J2-λI)=0，即

λ4+(c+γ2)λ3+(2a+1+cγ2-

dγ2)λ2+(2aγ2-2eγ2+c-d)λ+2a-

2e=0

(12)

式(10)的Routh-Hurwitz行列式：

Δ1=c+γ2>0,

Δ4=2(a-e)Δ3=2f2Δ3>0

(13)

2.2吸振器剛度及勢能函數分析

圖2 吸振器剛度變化曲線

(14)

非線性強度β的大小直接影響勢能函數的形狀，而勢能函數也直接影響非線性吸振器的動力學特性，圖2給出了β為0.5、1.0和1.5時勢能函數曲線，可以發現隨著的減小，系統勢阱深度越大，則系統越過勢壘需要的能量越大。

圖3 勢能函數曲線圖

3 系統動力學分岔分析

為了研究簡諧激勵下的非線性吸振器和主系統動力學響應特性，采用數值仿真從激勵頻率和激勵幅值兩方面進行了研究。系統參數取為β=1.0，μ=0.3,f=1.0,γ1=0.05,γ2=0.05。

3.1激勵頻率對吸振器和主系統的響應特性影響

激勵幅值p=0.01,p=0.15,p=0.5時，吸振器和主系統隨激振頻率變化的分岔現象如圖4所示。從圖4(a)中發現當激勵幅值很小時，不管頻率多大，系統得不到足夠的能量無法越過勢壘，吸振器只能在平衡點x=1附近做小幅運動，主系統也做小幅運動。當p=0.15時，系統在激勵頻率ω為(0～0.5)時，吸振器在平衡點x=-1附近做小幅運動,在ω為(0.5～1.5)時，吸振器可越過勢壘在兩個平衡點之間做大幅運動，主系統也做大幅運動，激勵頻率ω>1.5時，開始做小幅運動，如圖4(b)所示。對比圖4(b)和圖4(c),隨著激勵幅值的增大，吸振器和主系統開始發生大幅運動的頻率變小且大幅運動的頻帶變寬，但隨著頻率的繼續增大，吸振器從大幅運動變成在某一平衡點做小幅運動。

(a) 激勵幅值p=0.01

(b) 激勵幅值p=0.15

(c) 激勵幅值p=0.5

Fig.4 Bifurcation diagrams of vibration absorber(on) and the main system(under) with increase of the excitation frequency in different excitation amplitudes

3.2激勵幅值對吸振器和主系統的響應特性影響

研究不同激勵頻率下，激勵幅值的變化對吸振器和主系統的影響，激勵頻率ω=0.1,ω=1.5,ω=2.5,ω=4.5時吸振器和主系統隨激勵幅值變化的分岔情況如圖5所示。由圖5(a)可以看出即使激勵頻率較低時，吸振器也可以從某一平衡點越過勢壘進入另一平衡點運動，主系統在平衡點附近做小幅運動。當激勵頻率增大時，吸振器剛開始在x=-1附近做小幅運動，主系統在零平衡點附近做小幅運動，隨著幅值增大，吸振器和主系統皆發生大幅混沌或大幅周期運動，并且激勵頻率越大，吸振器和主系統發生大幅運動所需的激勵幅值越大，如圖5(b)和圖5(c)所示。圖5(d)是ω=4.5時吸振器和主系統隨激勵幅值變化的分岔圖，可以得出當激勵頻率增大到一定程度時，不論激勵幅值多大，吸振器都無法越過勢壘只能在平衡點x=-1附近做小幅運動，主系統也做小幅運動。

4 結構參數對系統動力學特性的影響

為了使吸振器既能有效減振又能發電，必須找出系統的各個最優參數以便于吸振器在最佳狀態下工作。對于設計吸振器，最危險的情況是激振頻率接近主系統固有頻率而發生共振現象，此時必須先保證減振。所以本文的優化目標為：

(1) 主系統發生共振時，吸振器減振使主系統振幅最小；

(2) 主系統處于非共振時，吸振器幅值最大。

當激振頻率Ω等于主系統固有頻率ω2時，主系統發生共振，由于無量綱激振頻率ω=Ω/ω2，所以ω=1是主系統發生共振的激振頻率。利用4 階龍格庫塔法，選取計算時間(0～800)s，固定參數β=1.0，f=0.25,μ=0.3,γ1=0.05,γ2=0.05。當激勵幅值p分別為0.15和0.3時，主系統和吸振器的幅頻響應曲線如圖6所示，可以發現主系統在激勵頻率ω=1附近發生共振，此時吸振器幅值響應也最大。

下面研究激勵幅值p=0.15時，主系統分別發生共振(激勵頻率ω=1.0)及非共振(激勵頻率ω=0.6和ω=1.6)時，調諧頻率比、質量比、非線性強度及吸振器阻尼系數影響下的參數配置。分別從如下幾個方面進行仿真研究：

(1) 分析調諧頻率比的影響時，其余參數保持不變，尋找主系統發生共振時減振最明顯及非共振時發電最多的最佳配置區間。

(a) 激勵頻率ω=0.1

(b) 激勵頻率ω=1.5

(c) 激勵頻率ω=2.5

(d) 激勵頻率ω=4.5

Fig.5 Bifurcation diagrams of vibration absorber(on) and the main system(under) with the increase of excitation amplitude in different excitation frequency

(a) 主系統

(b) 非線性吸振器

(2) 研究質量比的影響時，需在(1)的基礎上選取區間中某一值作為調諧頻率比，其余參數保持不變，得到共振及非共振時質量比的最優配置范圍。

(3) 研究非線性剛度比的影響，在以上基礎上選取區間中的某一值作為調諧頻率比和質量比，得出非線性強度的最佳配置區間。

(4) 研究吸振器阻尼系數對吸振器性能影響時，需在以上的基礎上選取區間中的某一值作為調諧頻率比、質量比和非線性強度，分別得出共振和非共振時最佳的參數配置。

4.1調諧頻率比f

對于線性系統而言，當主系統受到外激力后，主系統和吸振器都產生振動，吸振器固有頻率ω1等于主系統固有頻率ω2,即f=1時，系統發生反共振，吸振器發生振動，主系統幾乎不振，從而達到對主系統吸振的效果。但是非線性動力吸振器系統運動復雜,基礎激勵及結構參數對吸振器和主系統運動狀態影響極大，取參數β=1.0,μ=0.3,γ1=0.05,γ2=0.05。

主系統發生共振(激勵頻率ω=1.0)時，系統的響應幅值隨調諧頻率比的變化曲線如圖7(a)所示。由圖中可看出主系統及吸振器隨調諧頻率比f變化的總體趨勢均為先減小后保持穩定，共振時保證主系統響應幅值最小是關鍵，所以最佳調諧頻率比f為(1.2～2.0)。選取該范圍中的f=1.5為例說明吸振器和主系統的動力學響應情況，圖7(b)是主系統運動的相圖，可知主系統做了小幅周期運動，吸振器工作效率高。

主系統非共振(激勵頻率ω=0.6)時，系統響應幅值隨調諧頻率比f的變化曲線圖8(a)所示，可知調諧頻率比f為(0.20～0.50)時，主系統運動幅值較小且吸振器運動幅值較大，當調諧頻率比f>0.8時，吸振器便做小幅運動，發電效率變低，則最佳調諧頻比f為(0.20～0.50)。選取該范圍中的d=0.3為例作出吸振器和主系統的相圖如圖8(b)所示，吸振器做大幅混沌運動，主系統做小幅運動。當激勵頻率ω=1.6時，系統響應幅值變化曲線如圖9(a)所示，可明顯看出最優的調諧頻率比f的范圍是(0.80～1.00)。同理取該范圍中的f=0.9為例說明兩系統動力學響應如圖9(b)所示，吸振器能夠越過勢壘做大幅混沌運動，主系統只做小幅的運動。

(a) 運動幅值響應

(b) 相圖(f=1.5)

Fig.7 The motion amplitude response of the oscillators and the phase diagram of main system at resonance (excitation frequencyω=1.0)

(a) 運動幅值響應

(b) 相圖(f=0.3)

Fig.8 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=0.6)

(b) 相圖(f=0.9)

Fig.9 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=1.6)

4.2質量比μ

研究質量比影響下的吸振器和主系統的動力學響應，根據4.1節的分析，當激振頻率ω=1.0時，取f=1.5；激振頻率ω=0.6時，取調諧頻率比f=0.25；ω=1.6時，取f=1.0。其余參數值均取為β=1.0，γ1=0.05，γ2=0.05。

主系統發生共振(ω=1.0)時，非線性吸振器和主系統運動幅值隨質量比的變化如圖10(a)所示，可明顯得出質量比μ>0.3時，主系統運動幅值達到最小且穩定，則取最優的質量比范圍為(0.3～0.5)。圖10(b)是選取該范圍中的μ=0.35時主系統的相圖，主系統做周期運動，幅值更小。

(a) 運動幅值響應

(b) 相圖(μ=0.35)

圖10 共振(激勵頻率ω=1.0)時，兩振子運動幅值和主系統相圖

Fig.10 The motion amplitude response of the oscillators and the phase diagram of main system at resonance (excitation frequencyω=1.0)

主系統非共振(激振頻率ω=0.6)時，系統隨質量比變化的運動幅值響應如圖11(a)所示，由圖可知吸振器始終做大幅運動并且由大到小最后趨于平穩，主系統做小幅運動且幅值由小到大最后趨于平穩，所以可選擇最佳的質量比范圍為(0.01～0.50)。在該范圍中選取μ=0.3，吸振器與主系統的相圖如圖11(b)所示，從圖11(b)中可以看出，吸振器做大幅混沌運動，主系統做小幅運動。

根據圖12(a)，激勵頻率ω=1.6時，質量比μ為(0.10～0.45)時吸振器做大幅運動，主系統做小幅運動，質量比μ>0.8時，吸振器和主系統做小幅運動，發電效率低。顯然最優的質量比μ=(0.10～0.45)。取該范圍中的質量比μ=0.3來說明吸振器和主系統的

(a) 運動幅值響應

(b) 相圖(μ=0.3)

圖11 非共振(激勵頻率ω=0.6)時，吸振器及主系統運動幅值響應和相圖

Fig.11 The motion amplitude responseand the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=0.6)

響應情況，如圖12(b)，主系統做小幅運動，吸振器可多次發生分岔越過勢壘做大幅混沌運動，利于發電。

4.3非線性強度β

由第2.2節分析，非線性強度β的選擇影響著吸振器的勢能函數，也是吸振器呈現雙穩態和發電效率的關鍵，所以選擇合適的β是至關重要的。由4.1節和4.2節的仿真分析發現系統在某些參數值時，吸振器運動幅值小于主系統運動幅值，所以為了使仿真明顯，應選擇合適的固定參數值分別為：激勵頻率ω=1.0時，取其余參數μ=0.35，f=1.5,γ1=0.05,γ2=0.05。激勵頻率ω=0.6時，固定參數μ=0.3,f=0.25,γ1=0.05,γ2=0.05；ω=1.6時，固定參數μ=0.3,f=1.0,γ1=0.05,γ2=0.05。

主系統發生共振(ω=1.0)時，從圖13(a)可看出β非常小時，主系統運動幅值較大，當0.05<β<1.15，主系統、吸振器幅值均保持不變，β>1.15后，兩振子運動不穩定，變化敏感。則可得出主系統幅值最小時，非線性強度β最佳區間是(0.10～1.15)。取該范圍中的β=0.8，研究主系統的響應特性，如圖13(b)所示，主系統做小幅周期運動。

(a) 運動幅值響應

(b) 相圖(μ=0.3)

圖12 非共振(激勵頻率ω=1.6)時，吸振器及主系統運動幅值響應和相圖

Fig.12 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=1.6)

非共振(激勵頻率ω=0.6)時，兩振子運動幅值變化如圖 14(a)所示。從圖可知，隨著非線性強度β的增大，主系統做小幅運動且幅值平穩，吸振器做大幅運動且幅值逐漸減小，則選擇最優的非線性強度為(0.10～0.40)。圖14(b)是取該范圍中的β=0.2時吸振器和主系統的相圖，可知吸振器做大幅周期運動，發電效率高，主系統做小幅周期運動，減振明顯。

當激勵頻率ω=1.6時，吸振器在在(0.01～0.40)之間運動幅值較小，在(0.40～0.80)之間，運動幅值變化敏感，β>0.8后運動幅值逐漸減小，所以選擇最佳的非線性強度β區間為(0.80～1.00)。取該范圍中的中間值β=0.9，得到吸振器和主系統的動力學響應如圖15(b)所示，吸振器可發生多次分岔做大幅混沌運動，主系統做小幅運動，利于發電和減振。

4.4吸振器阻尼系數γ1

根據上述仿真分析，本節參數選取為：ω=1.0時，參數μ=0.35，f=1.5,γ2=0.05,β=0.8；ω=0.6時，參數μ=0.3，f=0.25,γ2=0.05,β=0.2;ω=1.6時，參數μ=0.3,f=1.0,γ2=0.05,β=0.9。

發生共振(ω=1.0)時，主系統和吸振器的運動幅值響應如圖16(a)所示。圖中明顯看出當γ1=0時，主系統和吸振器幅值均最大，隨后逐漸減小，γ1>0.05后，幅值大小不再變化，所以取最優區間為(0.05～0.20)。同樣取該范圍中的γ1=0.1時，主系統的相圖如圖16(b)所示，主系統做小幅周期運動。

非共振(ω=0.6)時，兩振子幅值隨γ1的變化曲線如圖17(a)所示，明顯看出主系統幅值小且基本保持不變，吸振器幅值在γ1=0時最大，隨后開始降低，γ1>0.4后，趨于平穩，所以最優的吸振器阻尼系數應該取為γ1=0。圖17(b)為兩振子的相圖，主系統運動之較小，吸振器運動幅值變大，更利于發電。

激振頻率ω=1.6時，主系統和吸振器的幅值變化曲線如圖18(a)所示。圖中發現主系統和吸振器幅值變化趨勢均為由大變小，因主系統幅值較低，首先保證發電效率，故取最佳的γ1=0。如圖18(b)兩振子的相圖，可以知道吸振器做大幅混沌運動，主系統運動幅值小。

(a) 運動幅值響應

(b) 相圖(β=0.8)

圖13 共振(激勵頻率ω=1.0)時，兩振子運動幅值和主系統相圖

Fig.13 The motion amplitude response of the oscillators and the phase diagram of main system at resonance (excitation frequencyω=1.0)

4.5優化結果分析

上述逐步對參數f,μ,β及γ1進行了仿真優化分析，分別得出了共振(ω=1.0)時吸振器減振最佳和非共振(ω=0.6及ω=1.6)時發電最佳的參數配置區間。在每步優化的參數區間內選取該區間內主系統的最大振動幅值及吸振器的最小幅值進行比較，其變化規律如圖19所示。

(a) 運動幅值響應

(b) 相圖(β=0.2)

Fig.14 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=0.6)

(a) 運動幅值響應

(b) 相圖(β=0.9)

Fig.15 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=1.6)

(a) 運動幅值響應

(b) 相圖(γ1=0.1)

Fig.16 The motion amplitude response of the oscillators and the phase diagram of main system at resonance (excitation frequencyω=1.0)

從圖19中看出經過對結構參數的逐步優化，主系統發生共振(ω=1.0)時，主系統振動幅值變小(圖19(a))；非共振時，吸振器振動幅值逐漸變大的同時，主系統振動幅值較小(圖19(b)、圖19(c))。最佳參數配置如表1所示。

(a) 運動幅值響應

(b) 相圖(γ1=0)

Fig.17 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=0.6)

(a) 運動幅值響應

(b) 相圖(γ1=0)

Fig.18 The motion amplitude response and the phase diagram of the vibration absorber and main system at non-resonance (excitation frequencyω=1.6)

(a) 共振(ω=1.0)

(b) 非共振(ω=0.6)

(c) 非共振(ω=1.6)

5 結 論

本文建立了基于雙穩態發電的非線性吸振器在簡諧激勵下的動力學方程，從數值仿真的角度研究了激勵頻率和激勵幅值對非線性吸振器和主系統的響應特性影響。分析了結構參數對吸振器的工作性能的影響，結論如下：

(1) 通過分析非線性吸振器的分岔現象，發現非線性吸振器在低頻時便可越過勢壘發生大幅混沌運動，并且頻帶寬利于發電，改變激勵幅值，吸振器和主系統可由小幅運動變成大幅運動。

(2) 非線性吸振器對系統結構參數的變化極其敏感，通過對調諧頻率比f、質量比μ、非線性強度β和吸振器的阻尼系數γ1逐步進行優化，主系統發生共振時的振幅逐漸降低，非共振時主系統幅值較低的同時，吸振器的振幅逐漸變大，利于發電。獲得了最佳的參數配置區間，吸振器的工作性能得到提高。

表1 結構參數配置表

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Dynamiccharacteristicsandparametricinfluencesofnonlinearvibrationabsorbersbasedonbi-stablepowergeneration

REN Bolin， LIU Lilan， ZHANG Xiaojing， LI Shuchao

(School of Mechanical and Instrumental Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)

The dynamic equation of a nonlinear vibration absorber based on bi-stable power generation under simple harmonic excitation was established. The dynamic characteristics of the nonlinear vibration absorber based on bi-stable power generation under simple harmonic excitation were studied with numerical simulation. The effect laws of exciting frequency and exciting amplitude on the large amplitude chaotic motion of the vibration absorber were analyzed. The influences of tuning frequency ratiof, mass ratioμ, nonlinear strengthβand damping coefficientγ1on dynamic characteristics of the nonlinear vibration absorber and the main system were studied here. The optimal parametric configuration of the nonlinear vibration absorber was obtained during the main system resonance or non-resonance. The results provided a theoretical foundation for the optimal design of nonlinear vibration absorbers.

nonlinear vibration absorber； bi-stable power generation； harmonic excitation； parametric configuration; dynamics

國家自然科學基金(11572243)

2016-04-26 修改稿收到日期：2016-07-08

任博林 男，碩士生,1990年2月生

劉麗蘭 女,副教授,碩士生導師,1979年12月生 E-mail:liulilans@163.com

TH113

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.033