界面自由度柔性等效與子結構頻響函數綜合方法

張 勇， 侯之超， 趙永玲

(清華大學 汽車安全與節能國家重點實驗室，北京 100084)

界面自由度柔性等效與子結構頻響函數綜合方法

張 勇， 侯之超， 趙永玲

(清華大學 汽車安全與節能國家重點實驗室，北京 100084)

針對頻響函數子結構綜合法中由于轉角自由度頻響函數缺失造成的綜合建模誤差較大的問題，提出了界面自由度柔性等效方法。將界面分為若干子界面，假定子界面剛性，通過最小二乘坐標變換，提取可描述子界面特征的6自由度分量，據此實現對子界面的剛性等效，綜合所有子界面的等效自由度即形成界面的柔性等效。利用等效后的界面柔性自由度與原界面自由度的關系，對子結構的原始頻響函數進行相應地變換，并將其應用到子結構頻響函數綜合方法中。仿真結果表明，將界面自由度進行柔性等效能明顯提高頻響函數的綜合精度。

頻響函數子結構綜合；界面自由度；柔性等效

與模態綜合方法相比，頻響函數子結構綜合方法直接利用子結構頻響函數進行綜合建模，無需考慮主模態個數的限制和剩余模態等問題，只需獲得所感興趣的頻段內完整的頻響數據即可，適合模態密集與阻尼較大結構的綜合建模[1-2]。但界面自由度信息的完整性一直是頻響函數子結構綜合法面臨的一個重要困難，尤其在頻響函數測試中，有關轉角自由度的頻響信息一般難以準確獲得。除少數特殊連接界面外，例如球鉸，其在連接界面上無轉矩與轉角自由度響應，無需考慮與轉角自由度有關的頻響，對其它一般結構件來說，連接界面大都承受彎矩，在連接界面上有轉角位移響應，這時轉角自由度的頻響信息就十分重要。

Silva等[3]指出完整的頻響函數矩陣至少包含了75%的轉角自由度的頻響信息。Liu等[4]論述了轉角自由度在頻響函數子結構綜合方法中的重要性，指出不考慮轉角自由度會得到錯誤的綜合結果。有關子結構綜合建模的商用軟件中也未見考慮與轉角自由度相關的頻響函數[5]。為了得到轉角自由度的頻響特性，眾多學者進行了研究，其中主要集中對轉角自由度頻響的間接測量方法的探究，如通過附加“T”形塊等進行彎矩激勵和轉角自由度響應的間接測量。但其因測量引起的誤差仍較大。模態縮聚與擴展技術也被用來對未測量自由度的頻響函數進行補償，Avitabile等[6]考慮剩余留數的影響，利用系統等效縮聚與擴展(SEREP)方法直接估計未測頻響函數，擴展頻響函數矩陣，該方法需要獲取結構的模態信息。Van Der Seijs等[7]使用標準替代部件與未知子結構先行綜合，然后利用子結構解耦方法得到未知子結構的界面信息。標準替代部件的設計、制造顯然增加了綜合建模的成本與難度。De Klerk等[8]提出一種等效多點連接方法(EMPC)的方法，將連接界面視為剛性面，按剛體運動理論對界面進行剛性等效：將界面自由度變換成關于一個虛擬點的6自由度，這6個自由度中包含了界面3個轉角自由度，并利用這種變換關系對原頻響函數進行“濾波”。該方法在部分分析頻帶，能改進頻響函數的綜合效果。

為進一步提高在缺失轉角自由度頻響信息時的子結構綜合精度，本文考慮將界面分塊，將分塊后的子界面依次利用EMPC方法進行剛性等效，每個子界面自由度包含可描述其子界面剛體運動的6個自由度分量，綜合所有子界面剛性等效后的自由度即形成整體界面的柔性等效自由度，相應地，利用等效后的界面柔性自由度與原始界面自由度的變換關系，對子結構的原始頻響函數進行擴充，實現對界面彈性特性的表征。

1 EMPC理論

1.1界面自由度等效變換

據經典的Jetmundsen子結構頻響綜合方法，兩子結構a,b綜合后的頻響函數Hab可寫成[9]：

(1)

式中:H為頻響;上標a,b,ab分別表示子結構a,b與綜合后的結構ab;下標i，c分別表示子結構的內部與界面自由度。完整的界面信息應包含界面節點平動與轉動自由度的全部頻響函數，即c中應包含轉角自由度。

子結構a的頻率響應方程為

(2)

uc=Rueq+μ

(3)

為方便起見，上式省略上標a。類似模態綜合法的坐標變換，ueq可視為界面主自由度響應，μ為剩余自由度響應，R則描述了該界面的主模態信息。子結構的所有自由度響應可寫成：

(4)

(5)

(6)

將式(2)寫成u=Hf，并左乘G可得

Gu=GHf

(7)

引入下式：

GT(GT)+=E

(8)

Gu=GHGT(GT)+f

(9)

考慮式(6)，上式最后可簡寫成：

(10)

1.2界面自由度的剛性等效

(11)

(12)

(13)

(14)

2 界面自由度的柔性等效

(15)

(16)

式中:Bi為布爾矩陣，其元素為0或1;Ri為R1的子矩陣，uci為uc的子矩陣即

Ri?R1，uci?uc

(17)

(18)

考慮子結構內部與界面自由度，整體變換矩陣G可寫成：

(19)

代入式(10)即可得到變換后的頻響函數。從模態理論的角度看EMPC僅考慮界面的剛體運動，而界面柔性等效方法由于對界面進行了分塊等效，所以還考慮了界面的高階彈性運動，可視為EMPC的高階等效。

以圖1結構為例，簡要說明界面柔性等效方法中變換矩陣與布爾矩陣的構成。該結構由子結構Sub_a

圖1 兩子結構綜合示意圖

與Sub_b組成，其連接界面為1～4與1′～4′節點構成的平面，兩子結構在界面處完全固接，假定節點1～4與1′～4′為界面測點，內部測點k，每個測點僅包含3個平動自由度。

以子結構Sub_a為例，將其界面分為由{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}節點所構成的4個子界面，以第二組{1,2,3}為例，圖1下所示，其界面自由度的變換矩陣與布爾矩陣可寫成：

(20)

其它變換矩陣與布爾矩陣可類似寫出。最后綜合界面測點自由度、界面整體剛性等效自由度與4組子界面的柔性自由度，代入式(19)可得到界面自由度柔性等效后的子結構變換矩陣：

(21)

將式(21)代入式(10)可得到變換后的頻響函數。一般來說僅利用3個節點的平動自由度就能描述界面的剛體轉動自由度，但有時界面自由度等效后依然不能完全描述整個界面的性質，例如界面上的點全部在一條直線上，這時可增加靠近界面節點的自由度，聯合描述界面信息，也即界面自由度uc為可包含靠近界面節點自由度的一類廣義自由度。

界面自由度柔性等效方法，與有限元思想類似，界面細化程度越高，也即有限元中的單元越密集，界面描述越精確，越能反應界面的柔性特征。但在實際應用中，受界面大小，實驗條件限制，不可能將子界面分割的過細。界面劃分越細意味著需要在界面布置更多測點，對于需要通過實驗進行頻響測試的子結構來說，需要在實測結構界面上(或者靠近界面連接位置)適當增加傳感器數目。根據式(3)界面自由度等效方程知，若子界面完全剛性，根據剛體運動的特點，則剩余自由度響應μ趨近于零(由于變換矩陣R忽略了高階小量，μ不等于零而是趨近于零)，所以可通過剩余自由度響應μ值的大小判斷子界面大小是否合理。事實上，我們通常感興趣的是低頻帶的結果，有限個剛性子界面，就足以描述低頻帶內的界面特性。

3 數值仿真

算例1

為驗證本文所提出的方法，將一懸臂板結構分割為兩子結構，之后重新將兩子結構在界面處進行焊接，利用頻響函數子結構綜合方法進行建模，并與分割前的整塊懸臂板結構的頻響函數計算結果進行對比分析。

懸臂板結構尺寸為80×20×2，分割后懸臂板結構Sub_a，以及自由板結構Sub_b，圖2，兩板結構尺寸均為40×20×2，Sub_a的界面為節點1～3所在的直線，Sub_b的界面為1′～3′所在的直線。假定測點僅布置在1～3點和1′～3′點，參與計算的Sub_a的界面自由度包括1～3節點的3個方向的平動，內部自由度為5節點z向平動；參與計算的Sub_b的界面自由度為1′～3′節點的3個方向的平動，內部自由度為5′節點z向平動。

圖2 懸臂板子結構綜合示意圖

圖3與圖4給出了方法a與b綜合后結果對比，分析發現，忽略界面轉角自由度信息得到的頻響與參考頻響有較大差別。方法b得到的H55第一階幅值頻率為115 Hz，而參考頻響為40 Hz，相位也有的較大差別。這是因為界面缺少轉角位移約束，綜合求解時，相當于兩個子結構在界面鉸接而非焊接。另外在728 Hz與2 412 Hz左右，兩種方法綜合得到的頻響吻合較好，這是因為該頻率下界面鉸接與焊接的結構模態近似一致。

圖3 H55幅值與相位對比(方法a，b)

圖4 H5′5幅值與相位(方法a，b)

圖5、6給出了4種方法的綜合對比結果，可以發現，界面自由度剛性等效方法比不考慮轉角自由度的方法有所改進，但得到的第一與第四階的幅值頻率與參考值仍然有一定差距；而在3 000 Hz以內，利用界面自由度柔性等效方法得到頻響、相位，與參考頻響、相位基本一致，顯示了界面自由度柔性等效方法在子結構綜合方法中的具有較高精度。在本算例中僅在界面附近增加了一個測點，若還需得到3 000 Hz以后的更高頻的精確結果，則可通過增加測點，也即增加子界面的個數來提高綜合精度。

圖5 H55幅值與相位對比(方法a～d)

圖6 H5′5幅值與相位對比(方法a～d)

圖7 H55、H5′5頻響幅值(噪聲σ%=1%)

從圖7與圖8中可看出，加入噪聲后得到的頻響在前兩階頻率有所漂移，反共峰處幅值誤差較大?？傮w來看頻響函數在噪聲較小時誤差較小，能得到比較好的綜合結果；噪聲稍大時誤差有所增大，但總體趨勢一致。其原因在于對頻響函數求逆時，噪聲被放大。這是基于頻響函數綜合方法不可避免的問題[10]。

算例2

為分析車輪至車身的振動傳遞特性，采用頻響函數綜合方法，對白車身與前懸進行綜合建模，計算制動盤中心至車身座椅安裝點即目標響應點的頻響。

圖8 H55、H5′5頻響幅值(噪聲σ%=5%)

建立1/2白車身模型，圖9所示，作為子結構a；不帶輪胎與橫臂等右前懸模型，圖10，作為子結構b。為便于計算，對兩個子結構模型均進行了適當簡化。右前懸與白車身通過3組螺栓連接，連接界面為螺栓孔周，圖12，綜合后的結構如圖11。

圖9 1/2車身模型(子結構a)

圖10 右前懸模型(子結構b)

圖11 綜合后的模型

圖12 懸架側界面測點

分別在車身與懸架側的螺栓孔周邊布置相應測點，圖12所示。同算例1，采用4種方法進行頻響函數綜合建模。計算制動盤中心至車身座椅安裝點處的頻響：a：直接有限元建模計算，作為頻響計算結果的參考值；b：每個螺栓孔周選取一個測點，忽略界面轉角自由度，僅利用每個測點的平動自由度參與計算；c：為描述界面轉角自由度，每個螺栓孔周選取4個測點，將兩個子結構的界面自由度進行剛性等效，利用等效后的頻響參與計算；d：每個螺栓孔周選取4個測點，將界面自由度進行柔性等效，利用等效后的自由度進行頻響函數綜合分析。

圖13、14給出了采用4種方法綜合計算獲得的制動盤中心至車身座椅安裝點x與z向頻響。其中，不考慮界面轉角自由度計算得到的頻響函數誤差較大，尤其在頻率較高時。剛性與柔性兩種方法獲得z向頻響基本一致，這主要是因為螺栓孔周，界面剛度較大，3個連接界面表現為剛性。但從250 Hz開始，采用剛性等效方法計算的x向頻響也出現了偏差，圖13。而在整個分析帶寬內，采用界面柔性等效方法計算得到的頻響與精確解一致，進一步顯示了界面自由度柔性等效方法能顯著提高頻響函數子結構綜合精度。

圖13 制動盤中心至車身座椅安裝點x向頻響

圖14 制動盤中心至車身座椅安裝點z向頻響

從上面兩個算例中可見，采用界面柔性等效的頻響函數子結構方法，能獲得更高的綜合精度。另外考慮界面自由度柔性等效方法在高頻依然有良好的綜合效果，可利用這一優點提高涉及結構-聲傳遞路徑的綜合建模精度。

4 結 論

考慮到頻響函數子結構綜合法中，轉角自由度的頻響信息一般難以準確獲得，造成了綜合建模誤差較大的問題，提出了界面自由度柔性等效方法，并將其應用到頻響函數子結構綜合方法中。仿真結果表明，本文所提出的界面柔性等效方法能明顯改善子結構頻響函數綜合效果。

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Frequencyresponsefunctionbasedsub-structuringsynthesismethodwithflexibleequivalenceofinterface’sDOFs

ZHANG Yong， HOU Zhichao, ZHAO Yongling

(State Key Laboratory of Automotive Safety and Energy, Tsinghua University, Beijing 100084)

Frequency response function based sub-structuring (FBS) synthesis method play a significant role in analyzing complex systems. However, it fails sometimes to produce acceptable results due to the absence of rotational DOFs’ frequency response functions (FRFs). Here, a method of flexible equivalence of interface’s DOFs was proposed. An interface was divided into several sub-interfaces. Assuming all sub-interfaces were rigid, through the least squares coordinate transformation, 6 DOFs were taken to describe all motion features of a rigid sub-interface to realize the rigid equivalence of a sub-interface. All equivalent DOFs of all sub-interfaces were synthesized to form a flexible equivalence of the original interface. The relationship between the interface’s flexible equivalent DOFs and its original DOFs was used to transform a substructure’s original FRFs, the substructure’s transformed FRFs were applied in FBS method. Simulation results showed that the flexible equivalence of interface’s DOFs can significantly improve the synthesis accuracy of FRFs.

frequency response function sub-structuring (FBS) synthesis; interface’s DOFs; flexible equivalence

科技部(2014DFG71590)

2016-03-30 修改稿收到日期：2016-06-30

張勇 男,博士生，1985年生

侯之超 男,博士,教授，1966年生

TH113.1

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.030