軸承摩擦力作用下彈性支承軸系自激振動特性研究

覃文源， 覃 會， 鄭洪波， 張振果， 張志誼

(1.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240；2.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

軸承摩擦力作用下彈性支承軸系自激振動特性研究

覃文源1,2， 覃 會1,2， 鄭洪波1,2， 張振果1,2， 張志誼1,2

(1.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240；2.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

以重力式水洞中的彈性支承軸系為研究對象，研究其在水潤滑橡膠軸承摩擦力作用下的自激振動特性及其機理。實驗結果表明，系統于某一確定轉速產生自激振動，并隨轉速下降維持不變直到一個較低轉速由于驅動力不足而消失，各個轉速下的自激振動均表現為轉速調制下的單階模態失穩。為了研究自激振動機理，建立了彈性支承軸系動力學模型。在建模時，將軸系分為彈性支承和轉軸兩個子結構，分別獲取固有振動頻率和模態振型，建立在軸承界面摩擦力作用下的支承-轉軸耦合動力學模型，并采用模態疊加法對模型進行降階處理。采用四階Runge-Kutta方法求解動力學方程，分析主要物理參數對系統的影響。分析結果表明，失穩模態為支承的小阻尼扭轉振動模態，支承振動與軸承摩擦耦合作用是系統失穩的主要原因。

彈性支承；摩擦激勵；耦合振動；自激振動

水潤滑橡膠軸承被廣泛用于船舶的艉軸支承[1-3]。由于螺旋槳的懸伸布置，在開、停機以及低速重載工況下，艉軸承-軸頸間往往處于“邊界潤滑”或“混合潤滑”狀態，甚至直接接觸。在無明顯外激勵作用下，系統仍可能產生異常振動和鳴音，加速橡膠軸承磨損，影響艦船的隱身性能[4-9]。

1 彈性支承軸系

1.1實驗臺簡介

重力式水洞彈性支承軸系如圖1所示，主要由伺服電機、推力軸承、彈性中間支承以及艉支承組成。其中，艉支承界面如圖2所示，四根支承劍的一端與橡膠軸承套鉸接，另一端固支，且受預緊力FP作用。

(a)

(b)

1.2實驗結果

待水洞灌滿水后，對系統進行摩擦振動實驗，調節主軸轉速由高到低連續變化，從600 r/min開始按30 r/min的間隔逐步下降至30 r/min，拾取各個轉速下艉支承水平方向劍固支端的動態支反力。測試結果表明，當主軸轉速降至210 r/min時，系統有自激振動現象產生，當主軸轉速降至180 r/min時，人耳可以聽到自激振動產生的噪聲，隨著主軸轉速的進一步降低，自激振動變得更加強烈，但當主軸轉速降至30 r/min時，自激振動難以維持，由于軸頸-軸承摩擦激勵引起的能量損耗難以得到持續補償，電機驅動力不足。這里僅列出120 r/min、60 r/min以及30 r/min時的支反力測試結果，分別如圖3～5所示，其中，圖3～4中的上、下圖分別代表艉支承左、右劍的支反力測試結果。

圖2 艉支承示意圖

(a) 時域圖

(b) 頻率圖

(a) 時域圖

(b) 頻率圖

圖5 艉支承支反力(30 r/min)

系統自激失穩的頻域特征均表現為被主軸轉速調制的單階模態失穩，其頻率值約為114 Hz及其倍頻。

2 有限元建模

為了分析確定系統的自激失穩模態，利用Abaqus建立系統的流固耦合有限元模型并進行模態分析。其中，模型如圖6所示，模型參數如表1所示。流體和轉軸均采用實體單元，軸承套和支承劍采用殼單元建模，流體邊界條件為平面無反射，支承劍一端與軸承套鉸接，另一端固支且固支端有預緊力FP=1 700 N作用。

艉支承的前六階固有振型如圖7所示，其中，第一、三、五、六階模態是支承扭轉振動模態，第五階模態與失穩模態相對應。

(a) 流固耦合模型

(b) 結構模型

軸長度半徑L1L26.16m0.03m3.82m2.16m支承劍長度寬度厚度0.33m0.07m2.36mm結構密度彈性模量泊松比材料8.034kg/m32.03E+011Pa0.28水密度體積模量1000kg/m32.18E+009Pa

1st 7.1 Hz

2nd 30.0 Hz

3rd 37.1 Hz

4th 80.0 Hz

5th 113.6 Hz

6th 265.9 Hz

3 動力學建模

為了進一步分析自激失穩機理，分析艉支承振動對系統振動特性的影響，對如圖8所示的系統簡化模型進行動力學建模。其中，螺旋槳簡化成集中質量，中間支承與推力軸承均以簡支代替。簡化系統的艉支承界面如圖9所示，軸承被簡化成并聯的線性彈簧和黏性阻尼器。

在進行系統動力學建模時，采用子結構綜合方法，將系統分成支承和轉軸兩個子結構，然后，根據協調條件和邊界條件分別求取固有振動頻率及其模態，最后，建立通過軸承界面摩擦耦合的支承-轉軸耦合動力學模型。

圖8 系統簡化模型

圖9 簡化系統艉支承界面

艉支承子結構如圖10所示，四根支承劍依次標記為1、2、3、4。相對于支承劍，軸承套具有較大的剛性，故將軸承套簡化成剛體。

圖10 艉支承子結構

3.1支承固有振動

支承劍被簡化成歐拉-伯努利梁考慮，其橫向振型函數[21]可以表示為

(1)

(2)

式中:Ab、Bb、Cb、Db為待定常數;Fp為縱向預緊力;ωb為橫向振動固有頻率;E,ρ分別為材料的彈性模量和密度;A為梁的截面面積;I為梁橫截面慣性矩。

縱向振型函數[21]：

(3)

式中:Al、Bl為待定常數;ωl為縱向振動固有頻率。

3.2協調條件和邊界條件

協調條件包括位移協調條件和力平衡條件，其中，力平衡條件可以由位移協調條件推得。由于四個鉸接點之間沒有相對位移，故滿足下列位移協調條件：

x′+Rb(1-cosθ′)=u1(x,t)|x=-Rb

(4a)

y′-Rbsinθ′=w1(x,t)|x=-Rb

(4b)

x′-Rbsinθ′=w2(y,t)|y=Rb

(4c)

y′-Rb(1-cosθ′)=-u2(y,t)|y=Rb

(4d)

x′-Rb(1-cosθ′)=-u3(x,t)|x=Rb

(4e)

y′+Rbsinθ′=-w3(x,t)|x=Rb

(4f)

x′+Rbsinθ′=-w4(y,t)|y=-Rb

(4g)

y′+Rb(1-cosθ′)=u4(y,t)|y=-Rb

(4h)

式中:ui、wi為i號支承劍的縱、橫向振動位移，(x′,y′)是軸承套中心的坐標;Rb是軸承套半徑。

以1號支承劍為例，其邊界條件可以表示為

(5a)

u1(x,t)|x=-(Rb+l)=0

(5b)

式中，l為支承劍的長度。

式(1)、(3)中的常數可以通過條件式(4)、(5)確定，支承劍的橫向和縱向固有振動頻率及其模態即可確定。

軸承套中心位移可以表示如下：

x′(t)=[u1(-Rb,t)-u3(Rb,t)]/2

(6a)

y′(t)=[u4(-Rb,t)-u2(Rb,t)]/2

(6b)

θ′(t)=[w4(-Rb,t)+w2(Rb,t)]/(2Rb)

(6c)

3.3摩擦模型

軸頸-軸承接觸界面的摩擦模型對分析結果起著決定性作用[22-23]。當轉軸運轉時，軸承-軸頸接觸模型如圖11所示。轉軸與支承之間的摩擦激勵可以等效為通過轉軸軸心的摩擦力Ff和力矩Mf，兩者都會誘導轉軸及支承振動。為了模擬低速重載工況下水潤滑橡膠軸承的摩擦特性，本文選用經典的速度依賴型Stribeck摩擦因數模型。

動摩擦因數μd可表示為

μd=a0sgn(vr)exp(b0(c0+|vr|)-1)Pd0

(7)

式中:a0、b0、c0、d0均是常數;vr為軸頸-軸承間的相對滑動速度;P為軸承比壓;sgn(·)為符號函數。其中b0體現μd相對于vr的變化梯度。

圖11 軸頸-軸承接觸模型

摩擦力Ff，力矩Mf：

Ff=FN·μd(vr),Mf=Ff·R

(8)

式中:FN為軸頸-軸承間的法向接觸力;R為轉軸截面半徑。

軸頸-軸承間相對滑動速度的水平分量vrx：

(9)

式中:Ω為轉軸轉速;θ0、x0分別為轉軸扭轉振動角位移和X方向橫向振動位移。同理，可以表示出軸頸-軸承間相對滑動速度的豎直分量。

3.4系統耦合振動

轉軸和支承之間通過軸承摩擦激勵耦合，在軸承摩擦作用下，支承劍的縱向受迫振動表示如下：

(10)

式中，FNx為軸頸-支承間水平方向接觸力。

支承劍的橫向受迫振動：

Ffxδ(y,t)|y=-Rb

(11)

式中，Ffx為軸頸-軸承間水平方向摩擦力。

利用模態疊加法[24]對上述方程進行降階處理：

(12)

(13)

式中，Uir(x)、Wir(x)分別為i號支承劍的第r階縱、橫向振動模態向量，qiur(t)、qiwr(t)為相應的模態坐標。

將式(12)、(13)分別代入式(10)、(11)：

(14)

Ffxδ(y,t)|y=-Rb

(15)

利用模態向量正交性，在式(14)、(15)兩邊分別乘以U1j(x)和W4j(y)，并將方程寫成矩陣形式：

(16)

(17)

考慮水的質量效應，式(16)、(17)可以寫成是式(18)、(19):

(18)

(19)

為了考慮結構的阻尼效應，本文采用式(20)的Rayleigh阻尼[21]：

C=αM+βK

(20)

式中，α和β是系數向量。

式(18)、(19)可分別寫成：

Ku1qu1(t)=Fu1

(21)

Kw4qw4(t)=Fw4

(22)

本文主要考慮艉支承振動的影響，故將轉軸簡化成單自由度系統，其動力學方程如下：

(23a)

(23b)

(23c)

式中：ms為轉軸質量；cx、cy分別為軸承水平、豎直方向阻尼系數;kx、ky分別為軸承水平、豎直方向剛度;Jsp為轉軸極轉動慣量;cθ為轉軸扭振阻尼系數;kθ為轉軸扭振剛度。上述參數取值均與轉軸的某階模態參數對應。Ffy為軸頸-支承之間豎直方向摩擦力。

4 數值仿真

4.1參數估計

為了估計部分振動模態阻尼比，測試艉支承的傳遞函數，其中，激勵點和振動拾取點均位于水平支承劍，如圖12所示。

測試結果如圖13所示，其中包括轉軸靜止和轉動兩種狀態下的頻響函數。從圖中可知，86.5 Hz和113.5 Hz所對應的模態受轉軸轉動的影響，頻率發生偏移，相反，30.5 Hz和80 Hz多對應的模態則不受轉軸轉動的影響。比較測試和有限元計算結果，30.5 Hz、80 Hz、113.5 Hz為艉支承固有振動頻率，86.5 Hz為轉軸固有頻率。113.5 Hz對應的模態阻尼比約為0.007，遠小于其它模態阻尼比。

圖12 測點布置示意圖

圖13 艉支承傳遞函數

4.2動力響應分析

采用定步長四階Runge-Kutta方法聯立求解動力學方程式(21)、(22)、(23)，并分析軸承載荷、靜摩擦系數、模態阻尼比、轉軸轉速以及β0等系統參數對響應特性的影響。在此僅列舉以下幾組參數：

(1) 所有模態阻尼比均為0.01，轉軸轉速60 r/min，a0=0.004 1，b0=4.042，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

(2) 艉支承第五階模態阻尼比取0.007，其它模態阻尼比取0.02，轉軸轉速60 r/min，a0=0.004 1，b0=4.042，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

(3) 所有模態阻尼比均為0.01，轉軸轉速60 r/min，a0=0.004 1，b0=4.2，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

(4) 艉支承第五階模態阻尼比取0.007，其它模態阻尼比取0.02，轉軸轉速60 r/min，a0=0.004 1，b0=4.2，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

(5) 艉支承第五階模態阻尼比取0.007，其它模態阻尼比取0.02，轉軸轉速30 r/min，a0=0.004 1，b0=4.042，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

(6) 艉支承第五階模態阻尼比取0.007，其它模態阻尼比取0.02，轉軸轉速90 r/min，a0=0.004 1，b0=4.042，c0=0.893 4，d0=-0.390 4，P=0.1 MPa；

上述六組參數所對應的系統響應分別如圖14～19所示，其中，14(a)、15(a)、16(a)、17(a)、18(a)、19(a)是轉軸扭轉振動加速度的時域響應特征；14(b)、15(b)、16(b)、17(b)、18(b)、19(b)為軸承界面水平方向摩擦力的時域特征；14(c)、15(c)、16(c)、17(c)、18(c)、19(c)為相應摩擦力的頻域特征。

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

上述六組參數所對應的系統響應均有自激失穩現象產生，其中，圖14(c)、16(c)所示失穩頻率為艉支承的第一階振動頻率(ω1)，圖15、17、18、19(c)所示失穩頻率為艉支承的第五階振動頻率(ω5)，即113.6 Hz的失穩頻率,這與實驗結果一致；比較圖14、16與圖15、17、18、19，說明模態阻尼比是決定相應模態是否失穩的主要因素；比較圖1、3和圖2、4，發現動摩擦系數關于相對滑動速度的梯度越大，越容易誘導系統失穩；比較圖17、18、19，轉軸轉速越低，越容易誘導系統失穩。

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

5 結 論

實驗結果與數值分析結果比較一致，軸承界面摩擦與彈性支承振動的耦合是系統產生自激振動的主要原因，其中，失穩模態為艉支承第五階模態，模態振型表現為扭轉振動且其模態阻尼比較小，說明模態振型及其模態阻尼比的大小決定其是否失穩。橡膠軸承引起的異常振動和噪聲并非一定是其本身直接產生，可能由于耦合作用引起軸系中其它部件振動異常，這為識別軸系異常振動和噪聲提供借鑒。同時，分析發現水潤滑橡膠軸承摩擦激勵誘導產生的系統自激失穩出現在某一特定轉速范圍內，軸承載荷、軸承界面接觸特性以及主軸轉速等均是影響軸承摩擦的主要因素，這為改善軸承界面摩擦特性提供參考。

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Self-excitedvibrationofaflexiblysupportedshaftingsystemunderbearingfriction

QIN Wenyuan1,2, QIN Hui1,2, ZHENG Hongbo1,2, ZHANG Zhenguo1,2, ZHANG Zhiyi1,2

(1. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240；2. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration (CISSE), Shanghai 200240)

Self-excited vibration characteristics and its mechanism of a flexibly supported shafting system placed in a gravity water tunnel and excited by a friction force from water-lubricated rubber bearings were investigated. Test results indicated that the system’s self-excited vibration appears at a specific rotating speed and remains unchanged with decrease in the shaft rotating speed, it disappears at a lower rotating speed due to inadequate driving force; the system’s self-excited vibration under a certain rotating speed reveals a single mode to be unstable under rotating speed modulation. To study self-excited vibration mechanism, the dynamic model of the system was built. In modeling, the system was divided into two substructures including a flexible support and a shaft to get their natural frequencies and modal shapes, respectively. According to compatible conditions and boundary conditions, a support-shaft coupled dynamic model under the action of a friction force on bearing interface was built, the mode superposition method was adopted to reduce orders of the model. The fourth order Runge-Kutta method was used to numerically solve the dynamic equations. The influences of the main physical parameters on the system’s vibration instability were analyzed. The test results agreed well with those of simulation. The results showed that the unstable mode is the support’s weakly damped torsional vibration one; the interaction between support vibration and bearing friction force is the main reason to cause the system unstable.

flexible support; friction excitation; coupled vibration; self-excited vibration

國家自然科學基金(51505281；11172166)

2016-04-18 修改稿收到日期：2016-06-23

覃文源 男，博士生，1986年7月生

張志誼 男，博士，研究員，博士生導師，1970年11月生 E-mail：chychang@sjtu.edu.cn

O323；TB53

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.028