考慮非線性阻尼的雙穩態電磁式吸振器的動力學特性研究

劉麗蘭， 任博林， 朱國棟， 楊倩倩

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院， 西安 710048)

考慮非線性阻尼的雙穩態電磁式吸振器的動力學特性研究

劉麗蘭， 任博林， 朱國棟， 楊倩倩

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院， 西安 710048)

將非線性阻尼引入到雙穩態電磁式振動能量捕獲器中，提出了考慮非線性阻尼的雙穩態吸振器。建立了考慮非線性阻尼的雙穩態吸振器和主系統的力學模型和數學模型。分析了考慮非線性阻尼的雙穩態吸振器隨非線性阻尼系數的分岔情況。數值仿真研究發現，特別是在頻率共振區域，考慮附加非線性阻尼的雙穩態吸振器比線性阻尼的雙穩態吸振器對主系統減振更有優勢。并進一步獲得了主系統及考慮非線性阻尼的雙穩態吸振器振動能量隨非線性阻尼參數的變化曲線，發現了非線性阻尼對主系統減振及吸振器發電的影響規律。上述研究工作可為雙穩態吸振器的研究提供參考。

非線性阻尼； 雙穩態吸振器； 共振； 振動能量； 平均功率

隨著精密加工技術的進步，采用有效的隔振或者吸振技術隔離來自基礎的振動和設備自身的擾動日益重要。吸振或隔振技術一般分為主動隔振和被動隔振，主動隔振的吸振器在多頻激勵下具有較好的減振效果，但是要消耗能源，成本較高[1-2]。被動隔振是一種不需要外部能源的減震控制技術，一般是在結構的某個部位附加一個子系統，因其構造簡單、造價低、易于維護且無需外部能源支持等優點而引起了廣泛的關注。近年來一些學者發現，非線性吸振器具有振動抑制頻帶寬、附加質量小、可實現靶能量傳遞等諸多特點，將其應用到系統的減振和隔振中[3-6]。

通常系統的減振和隔振多采用線性彈簧、線性阻尼質量系統，也取得了較好的減振效果[7-9]。隨著非線性動力學理論研究的深入，有研究表明振動控制系統采用非線性阻尼對減振更加明顯，如Milovanovic等[10]分別研究了一個單自由度隔振系統附加線性黏性阻尼及立方剛度和附加立方阻尼及線性剛度的減振性能，通過分析系統的位移及相對位移響應，發現在共振區域時立方阻尼系統比線性黏性阻尼減振明顯。文獻[11-12]介紹了附加立方非線性阻尼的單自由度隔振系統，并理論證明了立方非線性阻尼在共振頻率區域可以減少力的傳遞率，同時保證在其他頻率區域內幾乎不受影響。但是這些研究都只局限于單個自由度系統。Jing[13]研究了主系統附加線性剛度和非線性阻尼的吸振器，發現了吸振器在主系統振動控制方面有很多優點。另外，將吸振器吸收的能量轉化為電能成為了新的研究熱點[14-15]。

本文將非線性阻尼引入到雙穩態電磁式振動能量捕獲器中，在對主系統減振的同時，將吸收的振動能轉化為有用的電能，提出了考慮非線性阻尼的雙穩態電磁式振動吸振器，并建立了主系統附加非線性阻尼的雙穩態吸振器的力學模型和數學模型。借助數值仿真分析，研究了頻率共振區考慮非線性阻尼的雙穩態吸振器隨非線性阻尼系數的分岔情況。特別是在頻率共振區域，考慮附加非線性阻尼的雙穩態吸振器比線性阻尼的雙穩態吸振器對主系統減振更有優勢。

1 吸振器及主系統力學模型

本文提出的考慮非線性阻尼的雙穩態電磁式振動吸振器及主系統的力學模型如圖1所示。

圖1 考慮非線性阻尼的雙穩態吸振器及主系統力學模型

在該模型中，假設輸出電路只有一個負載電阻R，i是電回路中的電流，ψ是機電耦合系數。簡諧激勵P施加給主質量后，主質量發生振動，進而吸振器吸收主質量的振動能量，吸振器發生振動，并與線圈發生相對運動X(τ)切割磁感線產生電動勢，在能量收集電路中產生了電流i(τ)。

系統控制方程如下：

(1)

(2)

(3)

將式(3)代入式(1)，再對式(1)和式(2)進行無量綱化得到：

(4)

y″+γ2y′+y-μfγ1x′-λx′3+μf2x-μf2βx3=pcos (ωt)

(5)

圖2 雙穩態勢能函數示意圖

2 振動能量及輸出功率

減振效果主要表現在主系統的振動幅值及振動能量的大小，發電效果可用輸出功率的大小來衡量。

非線性雙穩態吸振器振動的能量包含兩部分：動能和彈性勢能，即：

(6)

同理，主系統振動的能量為

(7)

為了便于對比，在此采用平均振動能量表示，即：

(8)

(9)

(10)

(11)

從式(10)可以看出，吸振器的能量取決于主系統和吸振器的位移和速度，由式(11)可知主系統的能量直接取決于主系統的位移和速度響應。

根據文獻[16]，定義吸振器發電系統的平均輸出功率為

(12)

式中：Pav為平均輸出功率;T1和T2分別為初始和終止時刻;Δt為計算步長;n為T1和T2時間段內步長數。

某擬建橋梁總長約1520m，橫跨既有高速公路，處在2km曲線段上，和既有高速公路成45°的夾角。根據實際情況，設計采用組合梁的形式直接跨越既有高速公路。組合梁的長度與高度分別為82m、9m，相鄰節段之間的距離為10m，中心距為6.7m，采用不設豎桿的結構形式，整體呈三角形，上、下弦桿分別采用鋼筋混凝土與預應力鋼筋混凝土；上、下弦桿的截面形式分別為矩形與槽型。道床板采用40～45cm厚鋼筋砼板，梁頂、底部寬度分別為9.4m、7.8m，梁端板總厚為90～95cm，梁體立面如圖1所示?，F圍繞本工程實際情況，對其組合梁施工關鍵技術做如下深入分析。

由式(3)可知：

(13)

將式(13)代入式(12)中，得到

(14)

將ε2=ψ2/R代入式(14)，并令ω2=1得無量綱的吸振器平均輸出功率：

(15)

由式(15)可知，當ε2為常數時，發電系統的平均輸出功率與吸振器速度的平方成正比。

3 非線性阻尼與線性阻尼對主系統減振效果的比較

取參數f=0.25，μ=0.3，β=1.0，γ1=γ2=0.05，p

=0.15，ε=0.2，對無量綱式(4)和式(5)仿真計算，當吸振器分別采用線性阻尼和非線性阻尼時，共振下主系統的幅值——頻率響應曲線和振動能量——頻率響應曲線分別如圖3(a)和(b)所示。

(a) 主系統幅頻響應曲線

(b) 主系統能量隨激勵頻率的響應曲線

Fig.3 Comparison of the effects of nonlinear damping and linear damping on the vibration reduction of the main system

從圖3(a)主系統的幅頻響應曲線可以看出，在共振區，雙穩態吸振器采用非線性阻尼比線性阻尼時主系統振幅更小。圖3(b)的振動能量曲線也反映出同樣的變化趨勢。

為了直觀查看吸振器和主系統的振動情況，圖4給出了共振下(ω=1.0)，分別考慮非線性阻尼和線性阻尼的雙穩態吸振器影響下主系統的時域圖、相圖及振動能量響應。

(a) 時域圖

(b) 相圖

(c) 能量響應

4 非線性阻尼系數對雙穩態吸振器的動力學特性影響

根據第3節的分析，主系統在共振區時，非線性阻尼對減振具有優越性，為了了解考慮非線性阻尼的雙穩態吸振器的動力學特效，對其進行了以非線性阻尼系數為參數的分岔分析，分岔圖如圖5所示。取激振頻率ω=1.0，其余參數為f=0.25，μ=0.3，β=1.0，γ1=γ2=0.05，p=0.15，ε=0.2。

從圖5看出，在非線性阻尼系數處于[0-0.17]時，吸振器做大幅混沌或者周期運動，隨著的增大，吸振器開始在平衡點1或-1處做小幅運動，偶爾出現平衡點間的跨越，大多數情況下在平衡點做小幅周期運動。

圖5 以λ為分岔參數的分岔圖

為了直觀查看雙穩態吸振器的動力學響應，圖6和圖7分別以λ=0.1和λ=0.9為例，給出了雙穩態吸振器的時域圖和相圖。

(a) 時域圖

(b) 相圖

(a) 時域圖

(b) 相圖

從圖6中可知，雙穩態吸振器做大幅周期運動。

從圖7可以看出，當增大λ=0.9時，雙穩態吸振器在上平衡點做小幅周期運動。

5 非線性阻尼系數對減振和發電的影響

為了提高雙穩態吸振器的工作效率，對非線性阻尼系數進行仿真分析。取參數f=0.25，μ=0.3，β=1.0，γ1=γ2=0.05，p=0.15，ε=0.2，不同的非線性阻尼系數λ對應的主系統平均振動能量E2av及吸振器平均輸出功率Pav隨激勵頻率ω的變化曲線,如圖8所示。

從圖8可知系統在頻率共振區時，隨著非線性阻尼系數λ的增大，主系統的平均振動能量E2av逐漸減小(圖8(a))，吸振器的平均輸出功率Pav也逐漸變小(圖8(b))。在非共振區時，非線性阻尼的大小對主系統和吸振器都幾乎沒有影響。

(a) 主系統平均振動能量

(b) 吸振器平均輸出功率

圖8 不同非線性阻尼系數下主系統平均能量和吸振器平均輸出功率的變化曲線

Fig.8 The variation curves of average energy of the main system and average output power under different nonlinear damping coefficient

為了獲取在頻率共振區時非線性阻尼系數對主系統減振和吸振器振動能量的影響規律，現取共振激勵頻率ω=1.0，其余參數同上，主系統和吸振器的平均振動能量隨非線性阻尼系數的變化曲線，如圖9所示。

圖9 頻率共振區域下主系統和吸振器的平均能量隨變化曲線

Fig.9 The average energy of the main system and the vibration absorber with the change of in the frequency resonance region

從圖9中可以看出，在非線性阻尼系數較小時，主系統和吸振器的平均能量都較大，隨著λ的增大，主系統平均能量E2av逐漸較小后保持平穩，吸振器E1av先減小后緩慢增大，在λ=0.39出現了拐點。

為了直觀觀察非線性阻尼對主系統和吸振器的能量影響，分別取λ=0.3和λ=1.8，對應的主系統及吸振器的振動能量隨時間t的響應變化，如圖10所示。

(a) 主系統振動能量響應

(b) 吸振器振動能量響應

從圖10(a)可以看出λ=0.3時，主系統振動能量E2值位于0.4左右，當λ=1.8時，E2值減小到0.2左右，減振效果更佳。圖10(b)給出了λ=0.3與λ=1.8時吸振器的振動能量對比，可以看出，后者的吸振器振動能量E2的最大值及最小值均大于前者，振動能量有所增大。

另外，為了進一步了解雙穩態電磁吸振器在實現吸振同時的發電情況，圖11給出為了吸振器平均輸出功率隨非線性阻尼系數變化的關系曲線。

從圖11可以看出，吸振器的平均輸出功率隨著非線性阻尼系數的增加逐漸遞減，也進一步驗證了圖8(b)的變化趨勢。雖然圖9中吸振器的振動能量隨著非線性阻尼系數的增加出現了下降然后上升的趨勢，但結合吸振器振動能量表達式(6)和平均輸出功率表達式(14)可以看出，振動能量是位移和速度的函數，而平均輸出功率僅僅是速度的函數。由于非線性阻尼的增大，吸振器振動的速度在減小。

圖11 吸振器平均輸出功率隨非線性阻尼系數變化的關系曲線

Fig.11 Relation curve of the average output power of vibration absorber and nonlinear damping

6 結 論

本文將非線性阻尼引入到雙穩態電磁式振動能量捕獲器中，提出了考慮非線性阻尼的雙穩態吸振器，建立了主系統及吸振器系統力學和數學模型，借助數值仿真對比了考慮非線性阻尼的吸振器和考慮線性阻尼的吸振器對主系統減振效果，研究了頻率共振時非線性雙穩態吸振器隨非線性阻尼的分岔特性，分析了非線性阻尼對主系統和吸振器的振動能量及平均輸出功率的影響，主要結論如下：

(1) 考慮非線性阻尼的雙穩態吸振器對主系統減振效果好于考慮線性阻尼的雙穩態吸振器；

(2) 不同的非線性阻尼系數對應的雙穩態吸振器的分岔效果不同，在較小時，吸振器會出現大幅運動，隨著增大，吸振器在某一平衡點附近做小幅運動。

(3) 隨非線性阻尼的增大，吸振器對主系統減振效果越明顯，吸振器的振動能量先減小后緩慢增大，吸振器的平均輸出功率呈現逐漸減小的趨勢，也反映出雖然提高了減振效果，但也對吸振器產出的副產品——電量產生了影響。

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Dynamiccharacteristicsofabi-stablestateelectromagneticvibrationabsorberconsideringnonlineardamping

LIU Lilan, REN Bolin, ZHU Guodong, YANG Qianqian

(School of Mechanical and Instrumental Engineering， Xi’an University of Technology， Xi’an 710048， Shaanxi， China)

Here, nonlinear damping was introduced into a bi-stable state electromagnetic vibration energy harvester. The harvester with nonlinear damping was proposed to be a nonlinear bi-stable state vibration absorber. The mechanical model for the absorber and the main system was established. The bifurcation diagram for the absorber vibration energy versus nonlinear damping parameter was obtained. Numerical simulation showed that the vibration reduction effect of the main system using a bi-stable state vibration absorber with nonlinear damping is superior to that with linear damping, especially, in the resonance region; furthermore, the relation curve between the vibration energy of the main system using the bi-stable state vibration absorber and nonlinear damping parameter is obtained; the influence laws of nonlinear damping on the vibration energy of the main system and its average output power are obtained. The results provided a reference for studying bi-stable state vibration absorbers.

nonlinear damping; bi-stable state vibration absorber; resonance; vibration energy; average power

國家自然科學基金(11572243)

2016-10-12 修改稿收到日期：2016-12-11

劉麗蘭 女，副教授，碩士生導師，1979年12月生

O322

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.015