復習課，其實可以更精彩

周太平+吳小燕

摘要：正值中考復習階段，如何構建有效的復習課堂是作為畢業班數學教師最關心的問題.結合優秀復習示范課案例和對九年級學生的思維研究，本文從數學思想、數學解題方法、數學基本解題模型以及最優問題串等角度闡述了數學復習課堂的有效構建.追求創設既可以有效進行知識點的復習、又能培養學生的思維品質、還能豐富數學復習課堂內容的高效復習課.

關鍵詞：復習課；思維；基本數學思想、方法；課堂生成.

數學復習課是數學課堂教學的重要組成部分，設計合理、組織科學、教學有效的復習課不僅有利于學生對知識的理解、記憶和應用，培養學生良好的行為習慣和思維品質，而且有利于全面提高教學質量.復習課要使得不同層次的學生在整節課堂中保持旺盛的求知欲，要使得每位學生各取所需，使得每位學生在課堂上得到不同程度的發展，這是很多教師都很頭疼的問題.

復習課怎么上才有效，既能使得四基得到落實，又能提高學生的能力，這是我們一直在思考的問題.可是目前數學復習課的現狀是，很多數學復習課上，教師的設計沒有正視學生原有數學基礎的差異、沒有遵循學生思維的特征，致使部分學生上課感覺很多內容“似曾相識”缺乏熱情，而另一部分學生感覺到難度太大而享受不到成功的喜悅和快樂.作為一線教師，不僅要深刻認識復習課的特點，遵循復習課的基本原則，更要研究學生的思維特征，遵循學生的思維特征，“以學為中心”組織復習課堂教學，增強復習的有效性.結合兩篇實際教學案例，談談數學復習課堂的有效組織.

案例1：《等腰三角形復習》

題組1：（1）等腰△ABC中，若腰長AB=5，底邊BC=6，則周長為_______；

（2）等腰△ABC中，若兩邊長為5和6，則周長為_________；

（3）等腰△ABC中，若兩邊長為12和6，則周長為________.

題組2：（1）等腰△ABC中，給一個內角的度數，求另兩個內角度數；

（2）等腰△ABC中，若一個內角為50°， 則頂角∠A=_________度；

（3）等腰△ABC中，若一個內角為100°，則頂角∠A=_________度；

（4）等腰△ABC中，若一個外角為100°，則頂角∠A=_________度.

題組3：（1）點P從B向C運動，當點P運動到BC的中點時，連結AP，AP是△ABC的什么線？

（2）點D是AC上任意一點，你能否在AP上找一點M，使CM+DM最小？

（3）點D在什么位置時BD最短？若AB=5，BC=6，你能求出此時的BD嗎？

（4）若∠ABP=40°，則∠A=_______度.

（5）若沒有出示圖形，等腰△ABC中，一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則∠A=_______度.

題組4：（1）點P在直線BC上運動，當點P運動到什么位置時，△ABP是等腰三角形？你能畫出這樣的P點嗎？

（2）若給點A一個坐標，你能求出P1，P2，P3，P4各點的坐標嗎？

評析：等腰三角形中關于邊、角、和線段的結論很多，計算類型也很多.本節課復習教師從最基礎的兩腰相等這個知識點出發，一步一步扎實推進，將零散的知識點系統地串在一起進行復習.其中明線是等腰三角形的形狀、性質及相關計算，蘊含在整個復習過程中的是分類思想和基本的解題方法滲透，效率很高.

案例2：《特殊平行四邊形的存在性問題》

引例 如圖，A、B、C三點的坐標分別為（3，3）、（6，4）、（4，6）.

問題1： 若A、B、C為一個平行四邊形的三個頂點，

則這個平行四邊形第四個頂點的坐標為 ；

問題2：若A、B、C為一個菱形的三個頂點，

則這個菱形第四個頂點的坐標為 ；

歸納1：菱形存在性問題可轉化為____________________.

例.如圖，已知平面直角坐標系中點A在x軸正半軸，點B在x軸的負半軸，點C（0，4），且OA=OC，tan

∠BCO= ，把拋物線y=ax2+bx+4過A，B兩點，點P是拋物線對稱軸的一個動點.

問題3：求A，B兩點坐標及拋物線的解析式；

問題4：點Q是坐標平面內的動點，若存在點P，Q，使以B，C，

P，Q為頂點的四邊形為菱形，則點P的坐標為 .

變式1：點Q是坐標平面內的動點，若存在點P，使以B，C，P，Q為頂點的四邊

形為矩形，則點P的坐標為 .

歸納2：矩形存在性問題可轉化為

.

問題5：若要求出變式1中點P對應的點Q的坐標，怎樣求比較好？

問題6：是否存在使以B，C，P，Q為頂點的四邊形為正方形的點P？若存在，此時△BCP是

歸納3：正方形存在性問題可轉化為 .

變式2：在“變式1”的條件下，若把直線BC向右平移M （M>0）個單位，分別與x軸，y軸交于B′，C′，使以B′，C′，P，Q為頂點的四邊形為正方形，求M的值.

評析：存在性問題是學生感覺非常頭疼的問題，也是壓軸題型中常見的問題.教師在組織這個專題復習的時候，很巧妙的將平行四邊形、矩形、菱形、正方形的存在性問題用特殊三角形聯系在一起，轉化思想展現得淋漓盡致，基本圖形和基本方法不斷的為學生所發現和運用，課堂上學生生成亮點頻出，也是一節非常精彩的復習課.

通過對這兩節高效復習課堂的分析，我們不難發現，一節優質高效的數學復習課，一定是一堂順應學生思維過程遵循學生思維規律的課堂.它既能幫助學生回顧并應用所學知識，又能使得學生在對數學知識的認知深化和提高，更有著數學基本方法的提煉與總結、有著對數學思想的升華和思維能力的提高.從學生的思維角度，我們也可以讓數學復習課堂更加精彩.

（一）挖掘數學基本思想方法，引領課堂復習思路

數學思想方法是數學的靈魂和精髓，在學生能力培養上，數學思想方法比具體的數學知識更有意義.而數學思想方法屬于程序性知識，它不能僅僅靠告知獲取.這就要求教師在復習課上，不能僅僅將課堂停留在知識的表面，而應當引導學生體會數學思想方法，把知識轉化為能力，經歷知識的思想過程，促進知識的內化，從而提升學生的思維水平.初中階段有很多的數學基本思想：分類討論、數形結合、化歸、從特殊到一般、圖形變換等等.在案例1中，教師組織教學的暗線就是分類討論思想.在設計到等腰三角形的邊是底邊還是腰上，在等腰三角形的角是頂角或是底角上，在等腰三角形的高線的位置是在三角形內部、腰上還是底邊上等，都用到了分類思想.整個教學一氣呵成，學生在知識點的復習上落到了實處且不枯燥，在能力的培養上也做到了“潤物細無聲”.

讓學生不斷地提煉和積累解題的思想方法和規律，并自覺地應用數學思想方法和規律指導解題實踐，是學好數學思維的必經之路.在復習課的組織教學中，教師可以利用一些有代表性的問題串進行“多知識點小綜合”的專題訓練或者典型的綜合題進行教學.

結合我們近幾年的壓軸題進行分析，我們不難發現，問題的載體主要有：三角形、四邊形、圓或者雙曲線、拋物線等，抽絲剝繭后發現都是以基本幾何圖形為載體加以運動變化而編制的著力承載考查學生的“數學發展水平”的題目.這里的數學發展水平便是指學生用數學思想方法分析問題和解決問題的能力；指的是學生養成的數學素養；指的是學生積累的數學經驗和方法；指的是學生對知識之間的內在聯系的認識水平.《新課程標準解讀》提出的“數學基本思想”是數學素養的重要標志，尤其是綜合的復習課，教師不僅僅只讓學生學到知識，學會技能，更要讓學生體會知識與技能后蘊含的數學基本思想，從而引領整個復習課的思路和方向.

探究這些題目的方法，不難發現幾何要考查和研究的核心問題就是全等和相似變換，其余問題都可以化歸為這兩種變換.例如常見的旋轉變換和軸對稱變換就是全等變換，而相似變換，可以延伸為平移變換，構造相似的基本圖形.要在圖形變換的思想引領下不斷作出猜想并加以驗證.由于旋轉中心、旋轉角度、對稱軸、平移的直線可能不唯一，這在思路上既是機遇又是挑戰.這些需要教師在復習課中加以強化引導，讓學生也能夠體會到數學思想方法的多樣性與統一性的融合.

（二）梳理數學基本模型，優化課堂復習效果

數學模型是思維的支撐點，也是知識的附著點.學生對數學概念的理解和抽象都是針對一定的模型進行的，概念模型不僅是數學概念的典型樣例，而且是數學概念表征的重要方式；數學模型的建構過程中，新模型與原有模型之間往往具有一定程度的相似性，這種相似性使數學模型成為數學推理的支撐點.“數學模型承載數學信息，對數學模型的結構、特征和關系的觀察、歸納、類比和邏輯思考構成了數學學習的核心活動，數學教育的核心價值在于發展學生的模型理解、模型建構和與之相聯系的數學思維水平.根據學生的數學思維發展水平，設計適合于學生認知水平的數學模型理解、表征、建構和相互聯系等數學操作和數學推理活動，是促進學生數學素養長遠發展的有效途徑.初中階段所涉及到的模型分為代數模型和幾何模型，代數模型如方程、不等式和函數模型，而幾何模型涉及到基本圖形的提煉和架構.把復雜問題簡單化是數學最基本的精神，因此，整理和提煉基本圖形，是把復雜問題簡單化、直觀化的有效途徑之一.

例題：如圖，已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線y=ax2上.

（1）求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；

（2）平移拋物線，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（-2，0）和點D（-4，0）是x軸上的兩個定點.

①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′ 最短，求此時拋物線的函數解析式；

②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由.

本題的背景有平面直角坐標系、拋物線、線段、四邊形等，看似復雜，但認真研究分析不難發現題目中的“從特殊到一般的數學思想”和“兩點之間線段最短”的“將軍飲馬問題”的幾何模型，抽象出如圖的圖示。通過這樣的抽象歸納過程，學生的直觀思維得到提升；通過這一類題型的訓練，復習效果達到優化.

（三）總結解題基本方法，延伸課堂知識長度

教師在復習課的教學中，重視解題方法的剖析，多問學生怎么想？如何做？方法是什么？還有其他解法嗎？促使學生多歸納、多總結，幫助學生養成方法遷移、思維延伸的習慣，做到一題多解、一題多思，形成解一題會一類的能力.教師的任務就是在復習課堂上，找到典型的題目和題型，讓學生能夠有一題多解、一題多思的舞臺.每堂復習課上都能不斷的總結解題的基本方法，久而久之便能夠延伸課堂上知識的長度，達到真正的學為中心，輕負高效.

已知：∠C=90，⊙O是Rt△ABC的內切圓，分別切BC、AC、AB于點E、F、G，連接OE、OF. AO的延長線交BC于點D，AC=6，CD=2.

（1）求⊙O的半徑；

（2）求AB的長度.

求線段長度的方法有很多，通過復習、總結、歸納得出一般的思路：“見直角用三角（函數）”或者勾股定理；在兩個三角形中，可以通過全等或相似進行轉化；面積法等等.對這道題目，我們可以讓學生嘗試用多種方法來解決，在比較中得出最優的、最適合自己的方法.學生“做一題”，意在“會一類”，最終“通一片”，即“解題通法”，而解題通法是學生認知網格中不可缺少的部分.

（四）利用課堂動態生成，拓展課堂復習寬度

教學過程是師生之間、生生之間相互合作和交流的過程，復習課堂可以創設適合學生合作與交流的機會，提高課堂教學活動的效率，在課堂生成中拓展復習的寬度和廣度.復習課堂同樣要求教師要遵循——量力性原則：根據學生現有的基礎水平提出教學要求，在每位學生思維的最近發展區組織教學.所以教師可以設置開放性的問題，利用課堂的動態的生成，讓學生在互動的過程中不斷提出問題、解決問題，從而達到智力因素和非智力因素的共同提高.

案例：《二次函數復習》

觀察圖像，回顧二次函數基本概念并回答下列問題：

（1） 這是什么函數？解析式是什么？如何求這個解析式？

（學生觀察并回答，在求解析式的時候，學生可以用三種不同的解析式來進行嘗試，可是因為缺一個條件，學生會產生疑惑，這個時候教師給出第2個問題，達到不憤不啟的目的.）

（2） 你可以補充哪個條件能求出這個解析式呢？請你嘗試給一個數據進行計算.

顧及到學生的個體差異，讓學生編題，體驗發現問題和提出問題的過程，真正做到以學生為中心，達到解決問題策略的多樣化，在動態的生成中合理評價學生在解決問題過程中所表現出來的不同水平.從上課的效果上看，學生取點的方法很多，基本是以整點為主，在取點的過程中，能感受到學生對整個題目的思維過程.）

（3） 請針對你的解析式并結合圖形，說說二次函數的基本性質（對稱性、頂點、增減性、最值等）

（用一個圖形將一些散落的知識點串接起來，在學生互相補充的過程中掌握了研究二次函數性質的一般思路，在認識圖像的過程中，通過獨立思考、動態生成逐步感悟到數形結合的作用）

（4） 在拋物線上有兩點P1（x1 ，y1）P2（x2 ， y2），若x1< x2，則y1， y2的大小關系如何？

（5） 關于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的解是_________；

（6） 若關于的一元二次方程ax2+bx+c=k有解，則k的取值范圍是_________.

（在解決這類問題時，有兩種典型的做法分別是代數的解析法和幾何的直觀方法，兩種方法在這里互相比較，相得益彰.）

（7） 若平行于y軸的動直線l與拋物線交于點P，與AB交于點F，點E的坐標為（-2，0）.問：是否存在這樣的直線l，使得△OEF是以OE為腰的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

（經歷復雜題目的思維過程，學生通過思考、探究、交流等活動，獲得數學解題的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.）

認知心理學的核心論點是：學生是對認知結構的組織和再組織.學生有效學習的最終結果必然是在自己的頭腦里構建富有成效的認知結構.教師組織開放性的、連貫的有效問題串，在動態的生成過程中，學生經歷了比較、發現、聯想等思維活動，有利于學生體會數學知識之間的有機聯系，形成良好的認知結構，拓展了復習課課堂的寬度，從而達到高效的復習課堂.

復習課要體現“學為中心”，就要尊重學生的個體差異，遵循學生的思維特征，真正以生為本.既要充分發揮學生的主體地位，組織學生利用獨立思考、合作探究、討論交流等學習方式，提高學習的效率；又要發揮教師的主導作用，以滲透數學思想為引領、形成數學方法為目標、強調歸納、重視生成，這樣的數學復習課也一樣能精彩紛呈.

參考文獻：

[1]《數學課程標準（2011版）》北京師范大學出版社2011年

[2]張奠宙 中國數學雙基教學【M】 上?？萍汲霭嫔?2006年

[3]伍友平 善用數學思想方法指導解題 中國數學教育【J】 2014年7-8期

[4]李文虎 初中數學教學活動設計案例精選【M】 北京大學出版社 2012年

[5]謝雅禮 以開放性問題打造高效數學復習課 中國數學教育【J】 2014年

作者簡介：周太平（ 1979年）男，中學高級教師，浙江省嘉興市油車港中學教師.秀洲區教學能手、區首屆名教師、區學科素養核心組成員、嘉興市學科帶頭人，主要從事數學教育與中學數學教學研究.

吳小燕（1980年）女，中學一級教師，浙江省上海外國語大學秀洲外國語學校. 秀洲區教學能手， 主要從事數學教育與中學數學教學研究.