試論數(shù)學(xué)解題的自然性

李文玲

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要的特點(diǎn)，不僅能夠充分的反映學(xué)生對知識的掌握程度，而且培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思考的能力，由此可見具備解題能力被認(rèn)為是學(xué)生不可或缺的能力之一。通過關(guān)于解題的眾多文獻(xiàn)閱讀中，眾多作者解題中特別強(qiáng)調(diào)自然的解題過程，但作者們都未對解題過程的自然性給予確定具體合理的標(biāo)準(zhǔn)，來判別某道題的解法是否自然，本文將站在學(xué)生的立場，以眾多文獻(xiàn)為基礎(chǔ)，試圖給出了四點(diǎn)解體自然的標(biāo)準(zhǔn)，即順應(yīng)學(xué)生的思維；通性通法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用；增加輔助元素有理有據(jù)；解題禁忌兜圈子，應(yīng)直剖核心。

一、研究背景

在數(shù)學(xué)的教育中，問題貫穿于整個過程中，解題是數(shù)學(xué)的一個重要的特點(diǎn)，通過解數(shù)學(xué)題不僅能夠充分的反映學(xué)生對知識的掌握程度，而且培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思考的能力，波利亞曾指出“中學(xué)數(shù)學(xué)教育的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”。由此可見解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。

眾所周知數(shù)學(xué)是自然的，是人類長期的實踐活動中經(jīng)過千錘百煉的發(fā)展而來的，特別是在人教版的前言中強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)。那么作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要部分的數(shù)學(xué)解題也應(yīng)當(dāng)是自然的解決問題的過程。提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，并不是通過機(jī)械的題海戰(zhàn)術(shù)，也不是通過“難題”“巧題”的練習(xí)，而是從解題的自然過程中，逐漸形成的素養(yǎng)，所以解題的自然性在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中有著十分重要的地位。同時也有大量關(guān)于數(shù)學(xué)解題需要做到簡單、自然的文獻(xiàn)，這也充分表明了解題力求自然性被認(rèn)為是數(shù)學(xué)解題的最終目標(biāo)。

二、解題自然性的內(nèi)涵

《辭海》中的“自然”指的是“天然：即非人為的，不造作的，非做作的，猶當(dāng)然”。那么對解題的自然性不同的人有不同的看法，但作者們并沒有對解題自然性確定具體合理的標(biāo)準(zhǔn)，來判別某道題的解法是否自然，當(dāng)然不同認(rèn)知水平的人對于解題自然性的標(biāo)準(zhǔn)并不相同，例如數(shù)學(xué)家與學(xué)生，波利亞在《怎樣解題》中說到順乎自然就是學(xué)生自己原本應(yīng)該想到的，此時我們僅以學(xué)生的元認(rèn)知水平為主體考慮解題的自然性，本文試圖給出解題自然性的四點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)。

三、解題自然性的標(biāo)準(zhǔn)

1. 順應(yīng)學(xué)生的思維

當(dāng)教師和學(xué)生在解題中的切入點(diǎn)不同時，教師不應(yīng)該簡單地否定學(xué)生的思維，生硬地把自己的思維強(qiáng)加給學(xué)生，而應(yīng)該順應(yīng)學(xué)生的思維，分析學(xué)生解題時遇到障礙的原因，尋找突破障礙的方法，然后引導(dǎo)學(xué)生去轉(zhuǎn)換視角，讓學(xué)生能打通解題思路，正確的解題。在心理學(xué)上，順應(yīng)是指有機(jī)體調(diào)節(jié)自己內(nèi)部結(jié)構(gòu)以適應(yīng)特定刺激情境的過程，當(dāng)個體遇到不能用原有圖式來同化新的刺激時，便要對原有圖式加以修改和重建，以適應(yīng)環(huán)境。也就是解題就要立足于學(xué)生的元認(rèn)知的基礎(chǔ)上，并且通過解題學(xué)生能夠更深層次的理解知識，加工知識，從而改變自己原有的圖式。

學(xué)生的思路出現(xiàn)錯誤或遇到障礙時，教師應(yīng)該做的是引導(dǎo)學(xué)生思考，讓他們知道自己的方法為什么不可實施，引導(dǎo)學(xué)生自己積極主動的調(diào)整思維，而不是教師刻板的把正確答案的思維強(qiáng)加給學(xué)生。

2. 通性通法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用

在眾多文獻(xiàn)中對于通性通法被認(rèn)為是解題自然的最為突出的標(biāo)準(zhǔn)，特別是在單墫的《解題研究》中，一直將解題自然需要通性通法的思想貫穿于整本書。

針對某類數(shù)學(xué)題的解題過程中，不可能存在一個萬能的解決方法，如何選取一個適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ鞘侵陵P(guān)重要的，往往通性通法是最簡單自然的。波利亞在《怎樣解題》中試圖讓學(xué)生回憶是否存在一道與該題有關(guān)的題目，可以去利用它的方法或結(jié)果，如此以來波利亞試圖給出一般的模式和方法以達(dá)到啟發(fā)的目的，如分解與組合、笛卡爾模式、合情推理模式（歸納和類比）等。固然會有一些技巧可以達(dá)到解題的目的，但技巧只能解決某一道題的問題，如果一味的追求技巧解題，只能是得不償失。

3. 增加輔助元素有理有據(jù)

數(shù)學(xué)解題中往往需要添加輔助元素幫助我們解決問題，在代數(shù)題中我們可能會需要引入一個輔助未知量，在幾何問題中我們需要在圖中添加輔助線，以及在解某些題目之前我們可能需要一個輔助定理，即引理的證明來促進(jìn)對原題的解答。這些輔助元素的添加并不是隨心所欲的，而是可以依據(jù)題意，通過邏輯推理，發(fā)現(xiàn)我們是需要引入這個輔助元素將已知與未知聯(lián)系起來，從而達(dá)到解決問題的目的。

波利亞認(rèn)為添加輔助元素是解題中最為引人注目的步驟，如果這個步驟不被學(xué)生理解的話，那么學(xué)生就很難從推理和創(chuàng)造方面學(xué)到東西。所以輔助元素應(yīng)該做到有理有據(jù)的自然引入。所謂有理有據(jù)即是指有道理，有依據(jù)，從而使得學(xué)生不會覺得解數(shù)學(xué)題是一個很突兀的，想不到的過程。

4. 抓住問題的本質(zhì)

對于解題過程中還有一種現(xiàn)象，就是將簡單的問題復(fù)雜化，故弄玄虛，讓學(xué)生望而卻步，我們知道數(shù)學(xué)解題的過程中心思想是將復(fù)雜的問題簡單化，而兩者的區(qū)別就是是否抓住了問題的本質(zhì)。數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，不只是數(shù)學(xué)里概念地理解，對數(shù)學(xué)得公式，以及性質(zhì)定理地理解、還有掌握和運(yùn)用，還有對數(shù)學(xué)地思想方法，還有與技能得掌握，還有對數(shù)學(xué)特有思維感悟。

抓住問題的本質(zhì)即抓住問題的核心與關(guān)鍵，也就是揭開了數(shù)學(xué)題的那一層神秘的面紗。數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)包括對數(shù)學(xué)概念的理解，對數(shù)學(xué)公式性質(zhì)定理的理解、掌握和運(yùn)用，對數(shù)學(xué)思想方法與技能的掌握，以及對數(shù)學(xué)特有的思維的感悟。

當(dāng)然，同時也不可使解題步驟過于簡潔，必要的過渡性步驟和語言文字絕不能省，關(guān)鍵的問題還應(yīng)該具體闡述清楚。否則會使解題過程生澀難懂，讓學(xué)生覺得這是在帽子里變兔子。

四、總結(jié)

綜上所述，解題的自然性四點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)都是圍繞著數(shù)學(xué)的基本概念，以及數(shù)學(xué)的思想方法的運(yùn)用和掌握上，這也是數(shù)學(xué)解題所要達(dá)到的最終目的，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維能力，解決問題的能力。通過這四點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)，希望對于教師開展數(shù)學(xué)解題教學(xué)有積極的輔助作用。endprint