源于課本的“點關于直線對稱”的探究

吳銀生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）07-0117

【課本溯源】必修2第144頁復習參考題A組第7題

求與圓C：（x+2）2+（y-6）2=1關于直線3x-4y+5=0對稱的圓的方程。

在解析幾何中，我們經常遇到求某定點關于某定直線的對稱點問題，比較常規的解法是利用該直線就是這兩點所連線段的垂直平分線，借助“互相垂直關系”與“距離相等關系”列方程組解題，而“距離相等關系”又可轉化成“中點在直線上”的問題。

在求“點關于直線對稱”的問題上，還有其他更加簡便的方法嗎？我們不妨從一個簡單的例題出發去剝開“點關于直線的對稱點”的內在本質。

例如：求點M（2，1）關于直線l：x-y+1=0的對稱點N。

方法1：（常規法）不妨設N（x1，y1），則M、N中點P（■，■），

故■-■+1=0■·1=-1 x1=0y1=-3，即N（0，3）

“直線互相垂直”又可轉化為“向量互相垂直”，故可得到以下一種替代方法：

方法2：（向量法）在直線上l任取兩個不同的點A、B，不妨設A（0，1），B（-1，0）則■⊥■，又■=（-1，-1），■=（x1-2，y1-1），則■·■=-（x1-2）-（y1-1）=0

今天，我們要探討的問題是，除了上面的這種方法外，這類問題還有簡便的方法嗎？

在人教版普通高中課程標準實驗教科書數學必修1的《基本初等函數》章節中，我們以指數函數y=ax與對數函數y=logax為例，提及了“反函數”這個概念，并指出“互為反函數的圖像關于直線y=x對稱”。例如：點（2，1）關于直線y=x的對稱點為（1，2）。實際上，我們在這里運用的是一種“代入”的思想，即將x=2代入方程y=x得到y=2，這就是對稱點的縱坐標；將y=1代入x=y得到x=1，這就是對稱點的橫坐標，故得到對稱點為（1，2）。運用這種思想，我們的問題得到了進一步解決。

方法3：（代入法）將點（2，1）中的x=2代入方程y=x+1，得y=3；將y=1代入x=y-1，得x=0，故對稱點的坐標為N（0，3）。

如果上述方法對于所有的對稱性問題都能解決的話，那無疑將會非常簡便。但隨著進一步的深入研究，我們很快發現，這似乎只是一種巧合、一種偶然，并不是所有的點關于直線的對稱點問題都可以這樣簡便地予以解決。例如：求點C（-2，6）關于直線3x-4y+5=0的對稱點D，若用“代入法”，則求得D（■，-■）；若用“常規法”，則求得D（4，-2），顯然“代入法”并不是萬能的，它并不適用于所有的直線方程。那么，“代入法”應該滿足怎樣的條件才能大顯神通呢？

如果“代入法”能用，那么它與“常規法”應該有異曲同工之妙，至少得到的對稱點的坐標應該一致。出于對這點的考慮，我們予以以下證明：

【拓展探究】

例：求點M（x0，y0）關于直線Ax+Bx+C=0的對稱點N（x1，y1）。

證明1：（代入法）將x=x0，y=y0分別代入直線方程，得：N（-■y0-■，-■y0-■）

證明2：（常規法）設M、N中點為P，則P（■，■），KMN=■

解得：N（■，■）

若可以用“代入法”，則應有以下式子成立（利用待定系數法）：

-■y0-■=■-■x0-■=■ A2=B2，即k=-■=±1。

從上面的推導過程中，我們可以得出以下結論：

定理：點M（x0，y0）關于直線l：Ax+By+C=0的對稱點N的坐標為（-■y0-■，-■x0-■）的充要條件是直線l的斜率k=±1。

證明：（數形結合）斜率k=±1，意味著傾斜角為45°或135°，如圖，不妨設直線l的斜率k=1，設點M（x0，y0）關于直線l的對稱點為N，作MP∥軸交于點P，作MQ∥軸交于點Q，則MQNP為正方形，所以P（x0，-■x0-■），Q（-■y0-■，y0），即點N的坐標為（-■y0-■，-■x0-■）。

（作者單位：浙江省溫州市第八高級中學 325000）endprint