開孔變截面微懸臂梁傳感器的等效剛度和固有頻率*

陳金龍,吳君正,張能輝,2*

(1.上海大學上海市應用數學和力學研究所,上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室,上海 200072;2.上海大學理學院力學系,上海 200444)

開孔變截面微懸臂梁傳感器的等效剛度和固有頻率*

陳金龍1,吳君正1,張能輝1,2*

(1.上海大學上海市應用數學和力學研究所,上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室,上海 200072;2.上海大學理學院力學系,上海 200444)

研究新型開孔變截面微懸臂梁傳感器的等效法向剛度及其對固有頻率的影響。首先,考慮微梁縱截面孔洞結構引起的彎扭耦合效應,利用二次積分法獲得在自由端集中載荷作用下懸臂梁的撓度,基于彈性材料的Hooke定律建立了微梁等效法向剛度分析的解析模型。然后,采用Rayleigh法獲得了微梁的固有頻率。最后,通過比對實驗結果和有限元結果對解析模型進行了驗證。研究表明:解析模型對于開孔變截面微梁剛度和頻率的預測和標定具有較好的精度;微梁的等效剛度和固有頻率與跨寬比負相關,卻與內外寬度比正相關。有關結論可為新型變截面微納機械傳感器的設計提供理論依據和參考。

微懸臂梁傳感器;變截面;等效剛度;固有頻率;解析方法

微梁傳感器領域起步于20世紀90年代中期,吸引了大量學者的關注。由于具有無標記、高靈敏、輕便、廉價、高度并行、快速傳感和通用化等優點,微梁傳感器在生命科學、醫學、環境監測、食品工程和軍事等領域有著廣泛的應用前景[1]。韓國Eom[2]、丹麥Boisen[3]、西班牙Tamayo[4-5]和美國Roukes[6]等國外課題組在等截面微梁傳感器領域已開展了較為突出的探索,但大多集中在測試技術原理的實驗展示方面,實驗數據的發散性和表界面問題的跨尺度特性給問題的定量化表征帶來許多挑戰,阻礙了這一高新技術的市場化步驟。

國內在實驗研究方面,伍小平、張青川和李凱等利用微梁傳感器對兩種中藥成分(青蒿素和馬兜鈴酸)抗原抗體的特異性結合進行檢測,能測得極低濃度的樣品,顯示了微梁傳感技術對中藥成分檢測的可行性[7];李昕欣等提出了一種基于平面內諧振模態和電熱驅動的新型微懸臂梁檢測模式,相比傳統的面外諧振微懸臂梁,能夠有效地降低微懸臂梁在液體中拖拽力,減少能量損失和獲得高的品質因子,并測試比較了在水中和空氣中諧振特性[8];童朝陽等探索了壓阻式微懸臂梁傳感器在生化毒劑檢測方面的應用[9]。在理論研究方面,趙亞溥等將表面彈性引入具有殘余應力的納米板結構中,發現表面效應的影響體現在對應經典Kirchhoff板理論中控制方程系數的變動,由此研究了納米板尺寸依賴的自屈曲和彎曲行為[10];馮西橋和王剛峰等通過建立具有“三明治”結構的歐拉梁和鐵摩辛柯梁模型,闡述了表面彈性、表面殘余應力和剪切變形等對微梁軸力和固有頻率的影響[11];段慧玲和王建祥等研究了表面粗糙度對表面應力的影響、以及常表面應力和應變相關表面應力對微梁動態頻率的影響[12];張能輝等利用DNA液晶理論、聚電解質溶液電勢理論和連續介質力學等建模方法,建立了DNA-微梁納米力學分析的四層梁跨尺度能量模型,研究了微梁生物傳感器制備和檢測過程中的隨機性效應、雜交放熱效應、壓電效應和吸附膜宏觀彈性模量等[13-16]。

為了提高檢測靈敏度和抗干擾能力,國內外學者開始探索研究具有變截面梁的傳感器。Ece等研究了邊界約束條件和橫截面變化對微梁頻率和模態的影響,發現頻率變化對梁寬的變化不敏感,而振幅變化卻顯著依賴于梁寬的變化[17];Thundat等研究了分子吸附對變截面微懸臂梁表面應力和固有頻率的影響,指出固有頻率的變化是由吸附質量變化與彈簧常數變化共同引起的,而同時測量微梁變形和固有頻率變化可以解耦質量變化和彈簧常數變化的影響[18];Raman等采用Anderson局部振動方法,發現振幅變化是頻率變化的幾個數量級,并具有內部共模抑制特性,指出檢測振幅變化可獲得更高的檢測靈敏度[19];Morshed和Prorok利用有限元分析了微梁幾何形狀對檢測靈敏度的影響,發現自由端的有效質量和固定端的寬度起主導作用,建議采用三角形微懸臂梁,因為三角形梁比矩形梁的靈敏度高一個數量級[20];而姚軍等限元結果表明,微梁外形對靜態檢測靈敏度沒有影響,但對動態檢測靈敏度影響較大,而且三角形梁的靈敏度最高[21];Cho等提出了一種具有復雜幾何外形的變截面耦合雙梁,采用多尺度分析方法研究了耦合元件幾何非線性和尺寸變化對微梁幅頻響應的影響[22],但并未給出集總參數模型所需等效剛度的理論模型,而僅是通過擬合幅頻響應實驗曲線獲得微梁的等效剛度。

在精確測量生物分子或化學分子之前,必須對微梁的剛度進行標定。目前實驗中常用的剛度標定方法有兩種,一是增加質量法[23],通過將已知質量添加到微懸臂的自由端測量基本振動模式下共振頻率的變化;二是無負載共振技術[24],需要測量無負載振動的共振頻率、基本振動模態的品質因子和微梁的幾何尺寸[25]。這些實驗方法均涉及微梁固有頻率的檢測,而表面涂層、阻尼和負載點位置等都會對檢測結果產生較大影響[26]。因此,不可避免的實驗誤差使理論研究顯得非常必要,Sader采用水動力函數法(hydrodynamic function)預測了幾種特定幾何形狀變截面梁的剛度與其幾何尺寸、材料常數的關系,但其解析模型不適用于小長寬比的復雜變截面微梁的設計[27]。

圖1 變截面微懸臂梁的幾何示意圖

本文致力于研究更為復雜變截面微梁的等效法向剛度及其對微梁固有頻率的影響。首先,針對如圖1所示耦合雙梁實驗中具有復雜幾何外形的變截面外梁[22],在自由端集中載荷作用下,考慮縱截面孔洞結構引起的彎扭耦合效應,仿照Neumeister-Ducker方法(以下簡稱ND方法)[28],采用二次積分法獲得了變截面微梁的撓度,并基于彈性材料Hooke定律建立了微梁等效法向剛度的解析新模型。然后,采用靜態撓度近似代替振型函數,結合Rayleigh法和上述等效法向剛度新模型預測了微梁的固有頻率。最后,采用Cho的實驗結果[22]和本文有限元數值結果驗證了解析新模型的可靠性,并討論了幾何尺寸對微梁等效剛度和固有頻率的影響。

1 數學模型

圖1為Cho耦合雙梁實驗中變截面外梁的幾何示意圖[22],微梁的厚度為h,分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ3段,長度分別為L1,L2,L3,內部寬度分別為b1,b2,b3,外部寬度為B。如圖建立整體坐標系的x軸和局部坐標系的x1,x2,x21,x3軸,三段的撓度分別為w1(x1),w2(x2)或w21(x21),w3(x3),對應的轉角分別為θ1(x1),θ2(x2),θ3(x3)。為求解微梁的等效法向剛度,假設集中載荷N作用在微梁的自由端。需要指出,由于縱向截面的孔洞結構特征,微梁側臂的變形屬于彎扭組合變形,經典Euler梁理論已不再適用。這里將仿照ND方法[28],考慮扭轉效應給微梁側臂帶來的附加撓度。

1.1 微梁的撓度

微梁Ⅰ段的變形為彎扭組合變形,但由于Ⅰ段與x軸平行,扭轉效應對Ⅰ段側臂軸線的撓度并沒有貢獻,于是采用二次積分法獲得微梁Ⅰ段的撓度為

(1)

這里Ⅰ段的抗彎剛度I1=b1h3/12,彎矩M(x1)=F1(L1-x1)+M1,其中F1=N/2,M1=N(L3+L2)/2,再由固定端邊界條件x1=0,w1=0,w1x=0可得

(2)

于是Ⅰ段與Ⅱ段交界點E1處的撓度和轉角分別為

wE1=w1(L1),θE1=θ1(L1)

(3)

微梁Ⅱ段的變形為彎扭組合變形,由于Ⅱ段與x軸有夾角α,需要考慮扭轉效應對Ⅱ段側臂軸線撓度的貢獻,于是采用積分法和ND方法獲得微梁Ⅱ段的撓度為

(4)

(5)

由于x21為沿Ⅱ段軸線方向的局部坐標,所以

(6)

于是Ⅱ段與Ⅲ段交界點E2處的撓度和轉角分別為

wE2=wE1+θE1L2+w2(L2),θE2=θE1+θ2(L2)

(7)

微梁Ⅲ段的變形為純彎曲變形,采用二次積分法獲得微梁Ⅲ段的撓度為

(8)

式中

M(x3)=N(L3-x3),I(x3)=[b3+2(L3-x3)tanα]h3/12

(9)

式中

log[2tanα(L3-x3)+b3]

(10)

其中局部坐標與全局坐標之間的關系為

x1=x,x2=x-L1,x3=x-L1-L2,x21=x2/cosα

(11)

則微梁的自由端撓度為

wE3=wE2+θE2L3+w3(L3)

(12)

1.2 微梁的等效法向剛度、等效質量和固有頻率

由式(12)獲得微梁自由端撓度wE3后,根據彈性材料的Hooke定律,微梁的等效法向剛度可由式(13)獲得

K=N/wE3

(13)

下面將給出微梁等效質量Me的近似解析解。假設梁的彎曲撓度w(x)可以采用下列單一模態振動近似[29]

w(x,t)≈Φi(x)qi(t)

(14)

式中:Φi(x)為歸一化的特征振型函數,qi(t)為自由端E2處的撓度。采用Rayleigh法[30],不妨將以上獲得的微梁靜撓度曲線(即式(10))作為近似振型函數,即

Φi(x)=w(x)/wE3

(15)

于是微梁的動能為

(16)

式中:S(x)表示梁的橫截面面積,而且

S1(x1) =2b1h,S2(x2)=2b2h,

S3(x3)=[2(L3-x3)tanα+b3]h≈(b3+L3tanα)h

于是,利用式(16)可得微梁的等效質量為

(17)

利用(13)和(17)獲得等效剛度和等效質量后,可由式(18)獲得微梁的固有頻率為

(18)

2 結果與討論

以上建立了利用微梁幾何參數和材料參數預測變截面微梁等效方向剛度及其一階模態固有頻率的解析表達式,下面將利用有限元方法和有關實驗數據驗證其可靠性,并研究幾何尺寸變化對微梁等效剛度和固有頻率的影響。

2.1 解析解與有限元解以及實驗結果的比對

Cho實驗中[22]微梁的幾何尺寸L1=60 μm,L2=100 μm,L3=6 μm,B=178 μm,b1=27 μm,b2=16 μm,b3=51 μm,h=2.1 μm,α=31°,材料參數E=187 GPa,ν=0.27,ρ=2.33 g/cm3。有限元分析時采用了Ansys軟件的Tetrahedron單元,單元數1 083,經收斂性分析已經滿足計算精度需要。

表1給出了微梁剛度的解析預測、有限元離散解以及微梁一階模態固有頻率的實驗觀測值、解析預測值和有限元離散解。因為缺乏微梁剛度的實驗觀測值,這里僅給出了基于上述剛度公式(13)的解析預測值與有限元離散解進行了比對。從表1中可以看出,有關微梁剛度的解析預測值與有限元結果十分接近,而基于前述頻率公式(18)的解析預測值與實驗值誤差僅為5.77%,而有限元解與實驗值的誤差為7.72%,不過解析預測值與有限元解的誤差僅有2%?？紤]到實驗環境、操作方法和測量精度等因素的影響,可以看出本文解析預測值與實驗數據吻合良好,這在一定程度上驗證了本文解析模型的可靠性。需要指出的是,以上算例中微梁的縱向截面具有孔洞結構,而Sader等有關解析模型[27]僅適用于縱向截面沒有開孔的情形,可見本文考慮彎扭耦合效應的解析模型填補了這方面的不足。

表1 變截面微梁剛度、固有頻率的理論預測與實驗值[22]的比對

2.2幾何尺寸變化對變截面微梁等效法向剛度和固有頻率的影響

為更好地應用和檢驗本文解析模型(即式(13)和式(18)),以下將研究幾何尺寸變化對微梁等效剛度和固有頻率的影響,為便于研究,這里取b1=b2。

圖2 幾何尺寸變化對變截面微梁法向剛度的影響

圖2給出了變截面微梁等效剛度隨跨寬比L/B和內外寬度比b/B的變化趨勢,圖2(a)是三維圖,而圖2(b)則給出了在L/B=5時微梁等效剛度隨內外寬度比變化的二維圖。從圖2可以看出,隨著跨寬比的增加,等效剛度逐漸減小;而隨著內外寬度比的增加,等效剛度呈線性增加。眾所周知,經典Euler細長梁理論中彎曲剛度與梁寬的一次方成比例,與梁厚的三次方成比例,顯然,本文給出的變截面微梁等效剛度與內外寬度比的線性依賴性關系與經典Euler細長梁理論的結論非常相似。

圖3給出了變截面微梁固有頻率隨跨寬比L/B和內外寬度比b/B的變化趨勢,圖3(a)是三維圖,圖3(b)則給出了在L/B=5時微梁固有頻率隨內外寬度比變化的二維圖。由圖3(a)和圖3(b)可見,隨著跨寬比的增加,固有頻率逐漸減小;而隨內外寬度比的增加,固有頻率卻呈現出非線性增長趨勢。注意到,基于Euler梁理論,Ece等利用有限元方法研究了截面寬度變化對非開孔變截面梁動力特性的影響[17],發現非開孔變截面梁的頻率與梁寬變化弱相關,顯然,Ece等人的結論[17]不同于本文給出的開孔變截面微梁固有頻率與內外寬度比的非線性依賴關系[17],主要原因是本文利用ND方法考慮了開孔結構特征引起的彎扭耦合效應[28]。

圖3 幾何尺寸變化對變截面微梁固有頻率的影響

圖4給出了變截面微梁剛度和頻率的解析預測結果和有限元結果的比值隨梁跨高比L/h的變化趨勢,圖中幾何參數L/B=1.0,b/B=0.1。由圖4(a)和圖4(b)可見,隨著跨高比的增加,本文一維解析模型給出的剛度和固有頻率的預測值與三維有限元數值結果的誤差均逐漸較小,且剛度比值km/k逐漸趨近于1,而頻率比值fm/f逐漸趨近于0.98,顯然本文解析預測的誤差均落在工程允許誤差5%以內。此外,比較圖4(a)和圖4(b)可以發現,當跨高比L/h>8時,頻率比值已落在5%工程允許誤差線內,但對于剛度比值,則需要跨高比L/h>15,才能落在5%工程允許誤差線內。由以上分析可見,對于跨高比在15以上的變截面微梁,本文解析模型關于等效剛度和頻率的預測可以達到足夠的精度。

圖4 變截面微梁法向剛度和固有頻率的解析預測結果與有限元結果的比較

3 結論

考慮新型開孔變截面微梁的彎扭耦合效應,采用二次積分法和Rayleigh法,建立了預測復雜變截面微梁等效法向剛度和固有頻率的解析模型,并比較了解析預測、有限元數值解和實驗觀測值之間的差別。研究表明:①當跨高比L/h>15時,本文提出的解析模型具有較高的精度,與有限元方法比,節省了計算成本,并克服了實驗方法的局限性;對于跨高比L/h≤15的微梁,需要采用考慮剪切效應的有關粗短梁的理論進一步研究;②隨著跨寬比L/B的增加,微梁的等效法向剛度和固有頻率均逐漸減小;而隨著內外寬度比b/B的增加,微梁的等效法向剛度呈線性增加,而固有頻率卻非線性增加,這明顯不同于基于經典Euler梁理論關于未開孔變截面梁固有頻率與梁寬弱相關性的認識。這些認識為新型開孔變截面微梁傳感器的設計和剛度標定提供了參考。

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陳金龍(1990-)男,在讀碩士研究生,研究方向為生物芯片系統納米力學,導師為張能輝教授;

吳君正(1992-)男,在讀博士研究生,研究方向為生物芯片系統納米力學,導師為張能輝教授;

張能輝(1970-)男,通訊作者,教授,博士,博士生導師,中國微米納米技術學會理事,研究方向為生物芯片系統納米力學和粘彈性結構的非線性振動,nhzhang@shu.edu.cn。

EquivalentStiffnessandNaturalFrequencyofaVariableCross-SectionMicrocantileverSensorwithaHole*

CHENJinlong1,WUJunzheng1,ZHANGNenghui1,2*

(1.Shanghai Key Laboratory of Mechanics in Energy Engineering,Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University,Shanghai 200072,China;2.Department of Mechanics,College of Sciences,Shanghai University,Shanghai 200444,China)

This paper focuses on the equivalent normal stiffness of a new-type variable cross-section microcantilever biosensor with a hole and its effect on the natural frequency. First,considering the bending-torsion coupling effect induced by the cavity structure in the longitudinal cross-section of the micro-beam,the cantilever deflection subjected to a concentrated load at the free-end is obtained by the quadratic integral method. Based on the Hooke’s law of elastic material,an analytic model is established for the equivalent normal stiffness of the micro-beam. Thereafter,the natural frequency of the micro-beam is obtained by the Rayleigh’s method. Finally,the analytical model is verified by comparing with the relevant experimental results and finite element results. The study show that the analytical model has a good accuracy for predicting and calibrating the stiffness,as well as the frequency of the variable cross-section micro-beam with a hole,and the equivalent stiffness and the natural frequency are negatively correlated with the span-to-width ratio,whereas,positively correlated with the inner-to-outer-width ratio. The relevant conclusions can provide a theoretical basis and reference for the design of new-type micro-/nano-mechanical sensors with variable cross-sections.

microcantilever sensors;variable cross-section;equivalent stiffness;natural frequency;analytical method

項目來源:上海市浦江人才計劃項目(15PJD016);國家自然科學基金項目(11272193)

2017-03-09修改日期:2017-05-22

TP212.3;O39

:A

:1004-1699(2017)09-1324-06

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.09.004