行列式的計算

摘 要：行列式有著重要的應用，在求解方程組、討論矩陣的特征值、數值分析等領域應用廣泛，因此掌握好行列式的相關計算技巧就很重要。因此本文從幾種特殊的行列式出發，總結出計算的技巧。

關鍵詞：行列式；技巧；計算

人們在方程組求解的研究過程中，發現了行列式這個有用的工具，因此這個概念應運而生。行列式作為線性代數和高等代數中的重要概念之一，在很多數學分支學科以及理工科和工程技術中有著廣泛的應用，因此本文從計算的技巧方面進行研究行列式，方便初學者學習和掌握。

一、 行列式的性質

行列式DT是由行列式D的行與列對應互換所得到，稱行列式DT為行列式D的轉置行列式。

性質1 行列式與它的轉置行列式相等，即D=DT。

性質2 任意對換行列式的兩行（或兩列）元素，其值變號。

推論 行列式中有兩行（或兩列）元素對應相同，則此行列式為零。

推論1 行列式中的某行（或某列）的所有元素有公因子k，則這個k可以提到行列式記號外。

推論2 行列式中某行（或等列）的元素全為零，則行列式的值為零。

性質4 行列式中有兩行（或兩列）對應元素成比例，則此行列式為零。

性質5 若行列式中某行（或列）的元素都是兩個數之和，則D等于下列兩個行列式之和。

利用性質5和性質4，又可得到下列性質。

性質6 行列式中某行（或列）的元素k倍加到另一行對應元素上，此行列式的值不變。

注：利用性質6將行列式化成上三角行列式是計算行列式的有效方法。

二、 行列式方法總結

（一） 利用行列式的定義計算

這種方法只適用于一些特殊行列式或者大多數元素為零的行列式的計算。

（二） 利用行列式的性質計算

利用行列式的性質將行列式轉化為上（下）三角形行列式來計算，這是計算行列式最常用的方法。

（三） 利用行列式展開定理來計算

利用按行（列）展開公式將高階行列式轉化為低階行列式來計算，該方法適用于大多數元素為零的行列式的計算。

（四） 利用遞推關系來計算

利用行列式的性質或展開公式找出遞推關系來進行計算，該方法一般適用于高階且元素有規律的行列式的計算。

（五） 利用升階法（或加邊法）計算

在行列式的值不變的情況下，加上特殊一行和一列，再利用行列式的性質化簡計算。

（六） 利用分解之積法計算

四、 結論

通過以上的兩個例子我們可以看出求解行列式也并不是非常困難的事情，只要掌握好行列式的性質和推論以及幾大類典型的行列式的計算技巧，那么行列式的求解就變得相當的簡單。在后續求解方程組或者特征值、二次型的學習過程中就不會有多大問題。希望本文對初學者和其他研究行列式的學者有一定的幫助，僅供大家參考。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].5版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].2版.北京：高等教育出版社，1998.

[3]盧剛.線性代數[M].北京：科學出版社，2006.

[4]王利東.從應用實例出發的線性代數教學模式的探討[J].數學教育學報，2012（03）.

[5]李尚志.線性代數精彩應用案例[J].大學數學，2006（03）.

作者簡介：

陳康，四川省成都市，西南交通大學希望學院。