基于均值—方差模型的多階段投資動態規劃模型

【摘要】動態規劃（dynamic programming）是運籌學的一個分支，是求解決策過程最優化的數學方法，在經濟金融領域有著廣泛的應用。在我們傳統研究投資組合問題所使用的馬科維茨模型中，通常假設收益率和風險是固定不變的，并且只構造一次投資組合決策，然而在現實世界中，這顯然是不夠的，由于市場具有不確定性，資產的收益率和風險隨時間而改變，并且我們可以在不同的投資階段采取不同的投資決策，投資決策是動態的。因此，本文將基于傳統的馬克維茨均值-方差模型，運用動態規劃的相關知識，構建一個不超過投資者風險承受能力情況下，以最終的總收益最大為目標的動態規劃模型，實現多階段投資的最優決策。

【關鍵詞】動態規劃 多階段資產投資 馬科維茨模型

一、基本假設

假設某資產市場中共有n種資產可供投資者進行選擇，投資可以分為m個階段，在每一階段中該投資者都可在這n中資產中進行投資。假設投資者可以根據市場合理預期未來進行投資的m個階段中每個階段每種資產的平均收益率。設在第j（j=1，…，m）個階段初購買第i（i=1，…，n）種資產，到該階段末時的平均收益率為rij；并且，投資者在j階段期初可對j-1階段期末所持有的資產進行決策，決定這些資產是繼續持有還是出售，而出售資產所得的資金可繼續投入用于j階段資產的購買。

為了簡化問題的考慮，我們有以下假設：首先，投資者只在投資開始時（即第一階段初）向資產市場投入一定數額的自有資金此后不再投入其它自有資金；同時，每一階段投資所獲收益不會抽出而是繼續用于剩余階段的投資或留作自有資金，也就是說，整個投資環境相對封閉，即投資者最終持有的資產和資金只是由最初的自有資金進行了m個階段的投資后獲得的，；其次，在資產投資中，不允許賣空行為，即投資者只允許出售手中所持有的資產；最后，假設投資是持續的，即j-1階段期末與j階段期初是同一時刻，投資者此時所持有的資產及自有資金的數額是相同的。

二、定義數學符號

接下來，我們引入一些數學符號：

xij——第j階段初，投資者擁有的第i種資產數量（j=1，…，m；i=1，…，n）；

tj——第j階段初，投資者擁有的自由資金數額（j=1，…，m）；

則（xij，tj）表示第j階段初投資者持有的資產數量和自由資金數額的狀態，也就是動態規劃模型中所討論的第j階段初的投資狀態變量，記為Xj（j=1，…，m）；

uij——第j階段初，投資者對第i種資產的交易金額（j=1，…，m；i=1，…，n）；

（其中：uij<0表示投資者出售第i種資產，uij>0表示投資者購買第i種資產），

則（uij）表示第j階段投資者的資產投資交易的情況，也就是動態規劃模型中所討論的第j階段的投資決策變量，記為Uj（j=1，…，m）；

M——投資開始時，投資者向資產市場投入的自由資金數額；

σij——第j階段，第i種資產的標準差；

covabj——第j階段，任意兩種資產之間的協方差；

R——投資者最高風險承受能力。

三、模型建立

接下來，根據假設和定義，我們可以得到如下關系：

，根據定義，可知，投資者要求在每一階段所承擔的風險都不能超過風險上限，即

（7）

以上就是根據假設和定義得到的資金和風險約束條件，接下來構造目標函數用階段末持有的資金總量與階段初持有的資金總量的差值來衡量投資收益，即目標函數

通過求解上述動態規劃模型，可得到投資者m階段投資的最有決策。

四、總結

通過求解上述模型，設解得U*=（U1*，…，Um*）為最優解，U*是投資者進行m個階段投資的整體最優策略，即在全部投資階段結束之后，投資者可以在投資自有資金一定且不超過自身所能承受風險的情況下獲得醉倒的投資收益。其中，Uj*是在該整體最優策略中第j個階段的投資決策，其中包含對每種資產的投資決策Uij，其數值的正負代表購買還是出售該資產，數值的大小代表具體購買或者出售資產的數量；而且，模型中的每一個可行解都代表實際投資中出售及購買資產的可行方案。

同時，由動態規劃的性質可知，U*滿足最優化原理：無論初始狀態及其初始決策如何，其以后諸決策對以第一個決策所形成的狀態作為初始狀態而言，都構成最優策略。因此，不論初始狀態如何，投資者都可以在現有階段做出最優決策。此基于馬科維茨均值-方差模型的動態規劃模型具有很強的現實意義。

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作者簡介：王素素（1993-），女，漢族，山東東營人，就讀于山東科技大學，研究方向：保險精算。endprint