淺談高中數學排列組合問題中的教學策略

朱柳霞

大連市普蘭店區第三中學

淺談高中數學排列組合問題中的教學策略

朱柳霞

大連市普蘭店區第三中學

排列、組合是高中數學的重要知識之一，它與以往知識聯系不多，又是后續學習部分概率知識的基礎.由于它應用廣泛，題型多變，而解題方法十分靈活，切入點多且抽象性強，在解題過程中極易出現重復或遺漏現象，因此學生初學這部分內容，普遍感到難于把握，不容易得分。本文結合教參上提到的解題策略，結合教材內容以及以往學生存在的不足，對相應的習題進行了整編，僅供教學參考。

排列；組合；解題方法；教學策略

結合教師用書中提到的合理分類與準確分步法、正難反易轉化法、混合問題“先選后排”法、特殊元素“優先安排法”等十二種排列、組合問題求解策略，對教材上內容做以下處理，目的就是以教材為本，由淺入深，從易到難，通過在同一個題干所形成的不同環境中，感受不同的條件下解決排列、組合問題思維方式的變化；以及不同題型條件下，相似排列組合問題解題的相近之處，引導學生從不同角度把握每一種解題策略的特征，以及不同題型的切入口。

1.題型一、密碼及數字問題

例用0到5這六個數字可以組成：

⑴沒有重復數字的四位數？

⑵沒有重復數字的能被5整除的四位數？

⑶比2000大且沒有重復數字的自然數？

解析：⑴合理分類與準確分步法；根據所選數字中是否含“0”分為兩類：

⑵合理分類與準確分步法；先根據個位數字能被5整除分為個位數是“5”或“0”兩大類，（其中個位數字是“5”時，又按照是否含“0”分為兩小類）；

⑶合理分類與準確分步法；根據比2000大四位、五位、六位數分為

變式練習：從1,3,5,7,9中任取三個數字，從2,4,6,8中任取兩個數字，可以組成多少：

⑴無重復數字的五位數？

⑵萬位、百位和個位是奇數的無重復數字的五位數？

⑶千位和十位數字只能是奇數的無重復數字的五位數？

解析：⑴混合問題“先選后排”；先從1,3,5,7,9中任選三個奇數，再從2,4,6,8中任選兩個偶數所以共有=7200；

⑵特殊位置“優先安排”；根據萬位、百位和個位是奇數，先從五個奇數中選三個排好，再從四個偶數中選兩個安排十位和千位，所以共有=720種方法；

⑶特殊位置“優先安排”與混合問題“先選后排”相結合；先從五個奇數中選兩個安排千位、十位，再從剩下的三個奇數中任選一個，四位偶數中任選兩個數字，安排相應的順序，所以共有=2160種方法。

2.題型二、隊列問題

例將2個男生和4個女生排成一排：

⑴男生排在中間的排法有多少種？（）

⑵男生不在頭尾的排法有多少種？

⑶兩個男生相鄰的排法有多少種？

⑷男生不相鄰的排法有多少種？

⑸男生不相鄰且不在頭尾的排法有多少種？

⑹2個男生都不與女生甲相鄰的排法有多少種？

⑺男生甲必須站在男生乙的左邊的排法有多少種？

⑻男生甲、乙之間恰好隔一人的排法有多少種？

解析：⑴特殊位置或特殊元素優先考慮；從六個位置中選取中間兩個位置安排男生就座，剩下四個位置安排四個女生就座，共有=48種方法。

⑵特殊位置或特殊元素優先考慮；從六個位置中，剔除頭尾的四個位選取兩個安排兩個男生就座，然后在剩下的四個位置安排四個女生就座共有=288種方法。

⑶相鄰問題一“元”法；先將兩個男生排序后看作一“元”，與剩余的四人，構成五“人”進行排序，共有=240種方法。

⑷不相鄰問題“插空法”；先安排四個女生就座，在四個女生就座后產生的五個空隙中安排兩個男生就座，共有=480種方

法。

⑸不相鄰問題“插空法”與特殊位置或特殊元素優先考慮法相結合，先安排四個女生就座，在四個女生就座后產生的空隙中，除去首尾空隙共三個，三個空隙安排兩個男生就座，共有=144種方法。

⑹總體淘汰法；這個問題直接考慮分類情況比較多，且“易重易漏”，這是一個典型的適用總體淘汰法的例子.在六個人全排的排法中，減去男生甲與該女生相鄰，再減去男生乙與該女生相鄰的排法，然后加上該女生同時與男生甲、乙相鄰的排法，所以共有。

⑺順序固定問題用“除法”，對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同排列，然后用總排列數除以這幾個元素的全排；甲必須在乙的左邊，即甲乙順序一定，共有種方法。

⑻局部問題“整體優先法”；這種方法與“相鄰問題一‘元’法”非常類似，但涉及到先選后排，在除去甲、乙剩下的四人中任選一人在甲、乙中間，再給甲、乙排序，然后看作一“元”，與剩下三人全排，所以共有=192種方法。

變式練習：1.有六個人分成兩排就座，每排3人：

⑴有多少種不同的坐法？

⑵如果甲不能坐第一排，乙不能坐第二排，有多少種不同的坐法？

⑶如果甲和乙必須在同一排且相鄰，有多少種不同的坐法？

⑷如果甲和乙必須在同一排且不相鄰，有多少種不同的坐法？

解析：⑴分排問題“直排法”；若沒有特殊元素，只是簡單的分排，“分排”問題直接轉化成“直排”，所以排法共有=720種；

⑵特殊元素“優先考慮”與分排問題“直排法”相結合；“甲不能坐第一排，乙不能坐第二排”，所以在第二排選一個座位給甲，在第一排選一個座位給乙，然后剩下的元素采用“直排法”，所以共有=216種排法；

⑶特殊元素“優先考慮”與捆綁法相結合；先在兩排中給甲、乙選一排，再將甲、乙看成一“元”，安排甲、乙的順序后，再安排同一排左邊或右邊就座，剩下元素采用“直排法”就可以了，所以共有192種排法；

⑷特殊元素“優先考慮”與“直排法”相結合；先在兩排中給甲、乙選一排；因為甲、乙不相鄰，就安排甲、乙在這一排的左邊或右邊就座，剩下元素采用“直排法”就可以了，所以共有=96種排法。

2.有6個座位連成一排，安排3個人就座，⑴恰有兩個空位相鄰的不同坐法有多少種？

⑵任何兩人不相鄰的坐法有多少種？

解析：⑴正難反易轉化法；直接在座位上安排人就座，情況復雜，不易解決.換一種思路，先給三人排座位，讓空座位插空，所以共有=72種排法；

⑵正難反易轉化法；⑵與⑴類似，方法也類似，分3人中每兩個人之間恰有一個空位或3人中某兩個人之間恰有兩個空位兩種情況，所以共有=24種排法.

3.題型三、分組問題

例將6名應屆大學畢業生分配到3個公司：

⑴3個人分到甲公司，2個人分到乙公司，1個人去丙公司，有多少種不同的分配方案？

⑵一個公司去3個人，另一個公司去2個人，剩下的公司去1個人，有多少種不同的分配方案？

變式練習

1.六本不同的書，按照以下要求處理，有幾種分法？

⑴一堆一本，一堆兩本，一堆三本；

⑵甲得一本，乙得兩本，丙得三本；

⑶一人得一本，一人得兩本，一人得三本；

⑷平均分給甲、乙、丙三個；

⑸平均分成三堆，有幾種分法；

⑹一人得四本，兩人分別得一本。

解析：本題重點考察題目中隱含的條件是否考慮順序，首先要審題，清楚是分組還是分配問題.其中分配問題又分為定向分配問題與不定向分配問題，⑴分組問題，故有=60種分法；⑵定向分配問題，按照題目“甲得一本，乙得兩本，丙得三本”的要求，分步完成任務，本身就涵蓋順序，所以共有=60種分法；⑶分組問題，因為接收的對象不同，所以先分組后排列，所以共有360種分法；⑷定向分配問題，本小題與⑵類似，“選”時已經完成了“排”序，所以共有90種方案；⑸平均分組問題，除

2.六本相同的書，按照以下方法處理，有幾種分法？

⑴分給三個人；⑵分給三個人，每人至少一本；

解析：相同元素“隔板法”；⑴分給三人，就可能某人或某兩人一本書也沒分到，在六本書產生的七個空隙間，隨機加入一個空隙，然后插入兩個隔板，共有C82=28種分法；

⑵因為分給三人，每人至少一本，就在六本書產生的五個空隙間插入兩個隔板，共有C52=10種分法。

總結

通過上述內容的設計，學生對排列、組合中常用的解題策略應該會有一個辯證的認識，遇到類似的問題應該可以下手，但依舊不足以規避出現“重復”和“遺漏”的錯誤，除多加練習外，建議教學中，輔助以課件展示，形象直觀的展示各種方法的區別和聯系，強調數形結合、化歸與轉化、分類討論等數學思想方法的重要性，形成總結解題規律，掌握若干技巧。

[1]普通高中課程標準實驗教科書[M].2007（4）：3-36；

[2]普通高中課程標準實驗教科書教師教學用書[M].2007（5）：8-10；

[3]錢金田.高中數學排列組合幾種常見題型及解法[J].中華少年·教學版，2010（12）：161-162.

[4]楊萬貴.高考數學中解排列組合問題的幾種常用方法[J].時代報告刊，2013（2）：325-325.

[5]王忠富，劉曉平.隊列問題“十六問”[J].語數外學習·高考數學，2009（2）,48-50.

朱柳霞（1982-），女，山西澤州人，一級教師，碩士，遼寧省大連市普蘭店區第三中學。