行列式的發展史及應用

王曉春+張瑤+付吉麗

【摘要】行列式是由解線性方程組產生的一種算式。無論是在線性代數、多項式理論，還是在微積分學中，行列式作為基本的數學工具，都有著重要的應用。矩陣概念的引入使得更多有關行列式的性質被發現，行列式在許多領域都逐漸顯現出重要的意義和作用，出現了線性自同態和向量組的行列式的定義。

【關鍵詞】行列式 Cramer法則

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）30-0205-02

《九章算術》的第八章提到谷物稱重問題。問題：有三種谷物，如果第一種谷物有3袋、第二種谷物有2袋、第三種谷物有1袋，以上三種谷物總重量是39個重量單位。如果第一種谷物有2袋、第二種谷物有3袋、第三種谷物有1袋，以上三種谷物總重量是34個重量單位。如果第一種谷物有1袋、第二種谷物有2袋、第三種谷物有3袋，以上三種谷物總重量是26個重量單位。請問，每種谷物一袋重量是多少（假設每種谷物每袋重量一樣）？

本書給出的求解方法是第一種谷物每袋重量是x、第二種谷物每袋重量是y、第三種谷物每袋重量是z，建立線性方程組：

該方程解法是，首先，把第二個方程乘以3，然后減去第一個方程的2倍。類似地，把第三個方程乘以3減去第一個方程。此時方程變為：

現在，把第三個方程乘以5，然后減去第二個方程的4倍。于是第三個方程化簡為：得；將結果代入第二個方程得；將兩個值代入第一個方程得[1]。

《九章算術》給出的線性方程組的解法在現在看來就是數學里常說的高斯消元法；高斯消元法是由德國的高斯在1803年提出的，用來求解n個未知量n個方程（）的線性方程組，而中國的《九章算術》在2000年前就已經用這種方法了[1]。

對高斯消元法中解的表達式中線性方程組的系數和常數運算可以發現某種規律這就衍生出行列式。

一、行列式的歷史

行列式的應用是線性方程組的求解，而且它的出現也是由線性方程組的求解問題引出的。1545年，意大利的卡當在著作《大術》中給出了一種解兩個一次方程組的方法。這種方法和后來的Cramer法則已經很相似了，但卡當并沒有給出行列式的概念。16世紀意大利的卡爾達諾和法國的笛卡等人幾乎要發現行列式。行列式被明確的提出是在1683年，而且巧合的是它由兩個屬于不同的國家的數學家提出的，這兩個人分別是德國的萊布尼茨和日本的關孝和。 1683年，萊布尼茨在寫給法國數學家洛必達的信中提到：如果含兩個未知數三個方程的線性方程組

有解，那么，也就是相當于行列式

盡管他沒能創造出完整的行列式理論體系，但是他明確地提出了求解線性方程組的過程中行列式的重要性，并掌握了行列式的結構和一些對稱準則。

另一位提出行列式的人是日本的關孝和，他的著作《解伏題之法》直到他死后才由他的學生于1970年整理出版，在這本書中敘述了關孝和關于行列式的研究，他提煉并擴展了《九章算術》里的行消元法，同時提出了行列式。

遺憾的是無論是關孝和還是萊布尼茨都沒有系統的闡述行列式及其理論。直到1750年瑞士數學家克萊姆在他的著作《代數分析導論》中明確地提出了用行列式求解n個未知量n個方程（為正整數）的線性方程組。

Cramer法則：設元線性方程組：

如果它的系數行列式

則它有唯一的一組解且解的值為

其中為線性方程組常數列替換的第j列得到的行列式；為D的第i行第j列的代數余子式[2]。該方法稱為Cramer法則。

一個行列式本身是一個數，那么行列式是否可以像數一樣進行加減乘除的四則運算呢？行列式的加法和乘法理論是由法國著名數學家柯西提出的，1812年柯西在法國科學院宣讀了一篇論文，該論文完整而系統地描述了行列式及其對稱性和計算法則。

二、行列式的應用

在天文方面的應用

德國天文學家開普勒提出：每一行星沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上[3]； 該定律被稱為開普勒第一定律。由此可知任意行星的運行軌道一定是一個二維曲線，即曲線方程如下：

利用Cramer法則計算該方程中系數及常數的值，進而得到行星的軌道方程。

假設測定該行星的5個不同位置的坐標為，，，，代入式（5）得到線性方程組為：

其中，，，，不同；

整理變形得：

設

（因為，，，，不同的點）

同理，其中是由替換的第i列得到的，則

將上述解的表達式代入式（5）得行星的軌道方程：

行列式的主要用途是通過Cramer法則求解唯一解的線性方程組，而線性方程組在工業生產及日常生活中有著廣泛應用，可以配平化學方程式，可以處理營養食譜問題，它在數學與其它自然科學、工程技術、社會科學特別是經濟學中有著廣泛的應用。當行列式階數較高的時候，它的計算是比較麻煩的，但隨著計算機軟件和硬件技術的不斷提高，現在已經有相應的軟件用來計算行列式例如MATLAB。這就實現了了行列式在更多領域的應用。

參考文獻：

[1] John D著. 代數的歷史[M]. 馮速，譯. 北京：人民郵電出版社，2010：141-147.

[2]郭潤喜.王曉春. 線性代數[M].哈爾濱工業大學出版社， 2010年7月，38-45.

[3]王國強. 新天文學的起源[M].北京：中國科學技術. ， 2010年11月，20-100.endprint