OFDM系統(tǒng)下基于阻尼LSQR的低復(fù)雜度檢測算法研究*

趙曉君，曹琲琲

OFDM系統(tǒng)下基于阻尼LSQR的低復(fù)雜度檢測算法研究*

趙曉君1，曹琲琲2

（1.河北農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北 保定 071001；2.西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，陜西 西安 710071）

為了解決OFDM系統(tǒng)隨著檢測符號(hào)規(guī)模的增大，檢測算法（如經(jīng)典的MMSE檢測算法）復(fù)雜度過高的問題，采用迭代方法替代經(jīng)典算法中矩陣的相乘運(yùn)算。研究了阻尼LSQR迭代算法，并提出一種改進(jìn)的低復(fù)雜度檢測算法，即通過使用特殊預(yù)處理矩陣去處理阻尼LSQR迭代算法中的迭代矩陣，使算法迭代速度加快，從而降低了算法的復(fù)雜度。通過理論驗(yàn)證與算法仿真可知，改進(jìn)的算法與MMSE算法相比，可在不引起明顯性能損失的前提下顯著降低算法復(fù)雜度。

正交頻分復(fù)用 阻尼LSQR 雙選信道 低復(fù)雜度檢測

1 引言

OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，正交頻分復(fù)用）是一種廣泛應(yīng)用于高速數(shù)據(jù)傳播的無線通信系統(tǒng)的調(diào)制技術(shù)。OFDM系統(tǒng)在雙選信道模型下，子載波的正交性遭到破壞，導(dǎo)致了嚴(yán)重的ICI（Inter-Carrier Interference，子載波間干擾）。因此，在高多普勒頻移條件下，接收端檢測性能會(huì)產(chǎn)生不可忽略的錯(cuò)誤平層。

針對這一問題，研究者們提出了諸多檢測算法[1-6]，文獻(xiàn)[1]中提到的匹配濾波檢測方法由于無法抑制ICI，因而其頻域檢測性能很差且算法復(fù)雜度高。文獻(xiàn)[2]提出了基于MMSE（Minimum Mean Squared Error，最小二乘均方誤差）濾波的迭代軟干擾抵消算法，但是算法復(fù)雜度隨著子載波個(gè)數(shù)呈指數(shù)倍增長。文獻(xiàn)[3]提出一種應(yīng)用于基擴(kuò)展信道模型的LSQR（Least Squares QR Decomposition，最小二乘QR分解）迭代算法，復(fù)雜度相對于MMSE有所降低，但是模型應(yīng)用具有局限性。文獻(xiàn)[4]實(shí)質(zhì)上采用的是一種基于概率的硬干擾抵消算法，因此在性能上未能超越經(jīng)典的MMSE算法。

本文的貢獻(xiàn)在于提出了一種基于阻尼LSQR算法的低復(fù)雜度檢測算法，即通過使用加窗的方式用特殊預(yù)處理矩陣去處理阻尼LSQR算法中的迭代矩陣，達(dá)到減少迭代次數(shù)的效果，從而降低算法復(fù)雜度，且不帶來明顯的性能下降。

2 系統(tǒng)模型

假設(shè)OFDM系統(tǒng)下子載波個(gè)數(shù)為N，則頻域雙選信道模型如下：

H ∈?N×N表示頻域信道矩陣，分別表示頻域發(fā)送信號(hào)向量與頻域接收信號(hào)向量，ùω∈?N×1表示加性高斯白噪聲向量。

3 信號(hào)檢測

3.1 LSQR檢測算法

假設(shè)忽略公式(1)中的噪聲部分，則得到常見的線性系統(tǒng)模型[7]：

LSQR算法可以通過迭代的方式近似求解公式(2)描述的線性問題，其本質(zhì)是一種krylov子空間算法。迭代i次后，LSQR算法構(gòu)成的krylov近似子空間如下：

為了降低計(jì)算復(fù)雜度，LSQR算法通常包含兩步：Golub-Kahan二對角化和二對角最小二乘問題的求解。

第一步Golub-Kahan二對角化是為了將信道矩陣H轉(zhuǎn)化為(i+1)×i的二對角矩陣Bi， 這樣利用LSQR算法近似求解就可以轉(zhuǎn)化為求如下的最小二乘問題：

二對角陣Bi可以通過對信道矩陣H進(jìn)行特征值分解得到，假設(shè)U=[u1, u2, …, ui]，V=[v1, v2, …, vi]均為酉矩陣，則

因此Golub-Kahan二對角化的主要步驟如下所示[8]：

（1）初始化：β1=||y||2，u1=y/β1，α1=||HHy||2，v1=HHy/α1。

（2）循環(huán)：

For i=1, 2, ... , set

End

第二步是求解二對角化最小二乘問題。由于矩陣U，V均為酉矩陣，因此公式(2)可以變?yōu)閁HHVVHs=UHy，根據(jù)公式(5)可知UHHV=Bi，又由初始化知UHy=[β1, 0, 0, …, 0]T，因此有VHs=ci，從而得到：

以上分析均為基于公式(2)描述的線性模型。前面提到，為了簡化運(yùn)算該模型忽略了噪聲部分，但是實(shí)際系統(tǒng)中噪聲是必須考慮的因素，因此需要將公式(2)恢復(fù)為公式(1)所描述的考慮噪聲的線性模型：

3.2 預(yù)處理矩陣設(shè)計(jì)

根據(jù)上文分析，LSQR算法是通過迭代的方式減小殘量誤差的，迭代次數(shù)過小會(huì)導(dǎo)致殘量誤差相對放大，但是考慮到復(fù)雜度因素，迭代次數(shù)也不能趨于無限。實(shí)際上，LSQR算法復(fù)雜度會(huì)隨著迭代次數(shù)增加而增加，因此需要選擇最優(yōu)迭代次數(shù)以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度與性能的均衡。LSQR算法中的迭代矩陣HHH的特征值越聚集，算法收斂越快，即用較少的迭代次數(shù)即可達(dá)到相同最小殘量誤差水平[9]。因此，引入預(yù)處理矩陣的設(shè)計(jì)，采用加窗的方式，使迭代矩陣的特征值更加收斂，即處理后迭代矩陣為PHHHHP。

預(yù)處理矩陣的設(shè)計(jì)與相關(guān)系統(tǒng)矩陣R=HHH+σ2IN有關(guān)[10]，其中參數(shù)σ的定義與3.1中的定義相同。構(gòu)造預(yù)處理矩陣如下：

其中，主對角線上元素的參數(shù){γk}（k=0, 1, …, N-1）表示相關(guān)系統(tǒng)矩陣R降序排列的特征值，qk表示與第k個(gè)特征值γk對應(yīng)的特征向量。傳統(tǒng)預(yù)處理矩陣通常取值為，但經(jīng)過這種方法處理后迭代矩陣的特征值會(huì)集中于一點(diǎn)，對于存在模型誤差的系統(tǒng)容易引起有效信號(hào)子空間與噪聲信號(hào)子空間的完全混淆。因此，本文采用文獻(xiàn)[10]提出的修正預(yù)處理矩陣，即取值，其中ρ≥0表示修正參數(shù)，取值為ρ=trace(R)/(2N)時(shí)性能最佳[9]。采用修正預(yù)處理矩陣構(gòu)造方法可以只實(shí)現(xiàn)與有效信號(hào)子空間有關(guān)最大特征值的收斂，從而有效避免了上述傳統(tǒng)預(yù)處理矩陣構(gòu)造方法造成的混淆問題。

3.3 改進(jìn)的阻尼LSQR算法

根據(jù)上文分析，在阻尼LSQR算法中迭代矩陣變?yōu)椋?/p>

用3.2節(jié)中提到的預(yù)處理矩陣設(shè)計(jì)方法處理公式(9)所示的迭代矩陣，則迭代i次后，改進(jìn)的阻尼LSQR算法構(gòu)成的近似子空間如下：阻尼LSQR算法情況下時(shí)，相關(guān)系統(tǒng)矩陣變?yōu)椋?/p>

根據(jù)公式(8)可構(gòu)造出用于處理阻尼LSQR算法的預(yù)處理陣P。因此，改進(jìn)的算法經(jīng)過i次迭代后，得到的檢測信號(hào)可表示為：

其中，矩陣Γ的列向量即公式(10)所示向量集合中的元素。???

3.4 復(fù)雜度分析

針對檢測一個(gè)OFDM塊所需的復(fù)乘數(shù)對算法復(fù)雜度進(jìn)行分析。根據(jù)3.1節(jié)的討論，參數(shù)αi，βi均為實(shí)數(shù)，且矩陣Bi具有二對角特性，因此算法復(fù)乘數(shù)主要體現(xiàn)在迭代過程中矩陣的變換部分。如表1所示，初始化過程復(fù)乘數(shù)為N2+4N，而在后面的每次迭代中需要的復(fù)乘數(shù)為4N2+8N，總復(fù)乘數(shù)為(i-1)× (4N2+8N)+(N2+4N)。因此，LSQR算法復(fù)雜度為O(iN2)，而MMSE經(jīng)典算法的復(fù)雜度高達(dá)O(N3)[1-2]。由于迭代次數(shù)i通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于子載波個(gè)數(shù)N，因此LSQR算法復(fù)雜度明顯低于MMSE算法。

4 仿真結(jié)果與分析

本文模擬的是高速移動(dòng)的通信系統(tǒng)。設(shè)定系統(tǒng)工作在3.5 GHz頻帶，帶寬為6.4 MHz，并且無線信道具有三條徑，相對時(shí)延分別為：0μs、9.9 μs、17.1 μs和36.9μs。接收器速度為300 km/h，每條單徑信道均為瑞利信道，循環(huán)前綴（Cyclic Prefix，CP）等于多徑數(shù)減1，從而消除多徑信道對系統(tǒng)的影響，并假設(shè)：在接收端信道信息完全已知，且已得到正確的同步。信道編碼采用（7, 5）Turbo編碼，交織長度為12，譯碼采用MAP譯碼。

在算法性能與復(fù)雜度評(píng)估方面，本文選擇經(jīng)典的MMSE算法作為參考對象，這樣的選擇是基于性能與復(fù)雜度兩個(gè)方面的考慮。在性能方面，由于MMSE算法是基于MMSE濾波的迭代軟干擾抵消算法的第一次迭代（即初始迭代），而迭代算法最終所能達(dá)到的性能由初始迭代的性能確定，因此只要初始迭代不損失性能，就能確保不降低迭代算法的最終性能。在復(fù)雜度方面，基于MMSE濾波的迭代軟干擾抵消算法的復(fù)雜度集中在初始迭代，即MMSE濾波的計(jì)算。而隨后的迭代可以利用逆矩陣更新來避免MMSE濾波計(jì)算的過高復(fù)雜度，因此用本文算法替代MMSE濾波即可在不引入明顯性能損失的前提下顯著降低迭代軟干擾抵消算法的整體復(fù)雜度。

圖1比較了傳統(tǒng)的預(yù)處理矩陣設(shè)計(jì)方法、修正后的設(shè)計(jì)方法以及不加預(yù)處理矩陣三種情況下，算法迭代次數(shù)對性能影響的比較。仿真時(shí)，子載波個(gè)數(shù)為64，歸一化最大多普勒頻移為0.1，多徑數(shù)為3，16QAM調(diào)制，接收端檢測算法統(tǒng)一為LSQR算法。其中，圖1（a）、圖1（b）、圖1（c）分別給出了信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）在20 dB、25 dB、30 dB下性能隨迭代次數(shù)變化的曲線圖，而圖1（d）以加修正后預(yù)處理矩陣為例給出了不同信噪比下性能隨迭代次數(shù)變化的曲線圖。仿真曲線圖表明，誤比特率（Bit Error Rate，BER）呈現(xiàn)出凸函數(shù)特性，即存在最佳迭代次數(shù)。例如，根據(jù)圖1（a）、圖1（b）可知，加修正后預(yù)處理矩陣時(shí)，最小BER落在了迭代8次處，圖1（c）中最佳迭代次數(shù)是12，然而根據(jù)圖1（d）所示，三種信噪比情況下迭代次數(shù)在8至14范圍內(nèi)，性能趨于平穩(wěn)并不會(huì)產(chǎn)生急劇變化。因此為了降低復(fù)雜度，選擇8作為加修正預(yù)處理矩陣情況的最佳迭代次數(shù)。同理可知在不加預(yù)處理矩陣的情況下，在迭代14次時(shí)性能最佳。傳統(tǒng)的預(yù)處理矩陣設(shè)計(jì)方法隨著迭代次數(shù)的增加性能反而下降，甚至在相同迭代次數(shù)下性能比未加預(yù)處理矩陣的方法還要差，這印證了上文分析：傳統(tǒng)預(yù)處理矩陣設(shè)計(jì)方法混疊了有效信號(hào)子空間與噪聲信號(hào)子空間，存在缺陷。

圖1 迭代次數(shù)對誤比特性能的影響

表1 LSQR算法復(fù)雜度分析

圖2給出了最佳迭代次數(shù)下經(jīng)過修正預(yù)處理矩陣處理后的阻尼LSQR算法，即本文提出的算法的BER性能。與最佳迭代次數(shù)下不加任何預(yù)處理矩陣處理的阻尼LSQR算法相比，提出的算法在性能上提升了約5 dB。而與經(jīng)典的MMSE算法相比，性能接近，甚至在高SNR下性能優(yōu)于MMSE。因此，本文提出的算法可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度降低而不引起明顯的性能損失。

圖2 改進(jìn)的阻尼LSQR算法性能曲線仿真圖

5 結(jié)束語

針對高速移動(dòng)的通信系統(tǒng)，本文提出一種低復(fù)雜度檢測算法：用修正預(yù)處理矩陣對阻尼LSQR迭代算法的迭代矩陣進(jìn)行加窗處理，從而加快收斂速度。選擇MMSE算法作為參考對象，這是因?yàn)镸MSE是并行迭代軟干擾抵消的基礎(chǔ)（第1次迭代），而迭代算法的最終性能是由初始算法的性能決定的。仿真結(jié)果表明，本文所提方法與經(jīng)典MMSE檢測算法相比，能實(shí)現(xiàn)算法復(fù)雜度與性能的折衷。

[1] YANG-SEOK C, VOLTZ P J, CASSARA F A. On channel estimation and detection for multicarrier signals in fast and selective Rayleigh fading channels[J]. IEEE Transactions on Communications, 2001,49(8)： 1375-1387.

[2] SCHNITER P. Low-complexity equalization of OFDM in doubly selective channels[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2004,52(4)： 1002-1011.

[3] HRYCAK T, DAS S, MATZ G, et al. Low Complexity Equalization for Doubly Selective Channels Modeled by a Basis Expansion[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2010,58(11)： 5706-5719.

[4] A SEPTIMUS Y K, AND I BERGEL. A Spectral Approuach to Inter-Carrier Interference mitigation in OFDM Systems[J]. IEEE Transactions on Communications, 2014,62(8)： 2802-2811.

[5] 王薇,殷勤業(yè),穆鵬程. 高移動(dòng)環(huán)境下利用無線信號(hào)空域特征實(shí)現(xiàn)OFDM系統(tǒng)的ICI消除[J]. 通信學(xué)報(bào), 2015(8)：76-82.

[6] 韓華,吳樂南. 基于LSQR算法和加窗技術(shù)的判決反饋均衡器[J]. 電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào), 2010(6)： 117-121.

[7] Paige, Christopher C, Saunders, et al. LSQR： An algorithm for sparse linear equations and sparse least square problems[J]. ACM Trans. Math. Software, 1982(1)： 43-71.

[8] G Golub, C F Van Loan. Matrix Computations[M]. 3rd. Baltimore： The Johns Hopkins University Press, 1996.

[9] TONG J, SCHREIER P J, WELLER S R. Design and Analysis of Large MIMO Systems With Krylov Subspace Receivers[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012,60(5)： 2482-2493.

[10] JUN T, SCHREIER P J. Regularized Preconditioning for Krylov Subspace Equalization of OFDM Systems over Doubly Selective Channels[J]. IEEE Wireless Communications Letters, 2013,2(4)： 367-370.★

趙曉君：助教，碩士畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)，現(xiàn)任職于河北農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，主要從事通信信號(hào)處理與信號(hào)檢測的研究。

曹琲琲：副教授，博士畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)，現(xiàn)任職于西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，主要從事無線通信信號(hào)檢測與處理方面的研究工作。

Research on Low-Complexity Detection Algorithm Based on Damped LSQR in OFDM System

ZHAO Xiaojun, CAO Feifei
(1. College of Information Science and Technology of Hebei Agricultural University, Baoding 071001, China; 2. School of Telecommunications Engineering of Xidian University, Xi'an 710071, China)

With the increased scale of the detected symbol in OFDM system, the detection algorithm such as the classic MMSE algorithm suffers from the very high complexity. In order to overcome the drawback, the iterative method is used to replace the matrix multiplication operation in the classic algorithm. The LSQR iterative algorithm was studied and an improved low-complexity detection algorithm was proposed, in which the specifically preprocessed matrix is used to handle the iterative matrix in the damped LSQR iterative algorithm to accelerate the iterative speed and reduce the algorithm complexity. Both the theoretical proof and the simulation results demonstrate that the proposed algorithm can highly reduce the algorithm complexity in the premise of less performance loss compared with MMSE algorithm.

OFDM damped LSQR doubly selective channel low-complexity detection

10.3969/j.issn.1006-1010.2017.16.015

TN919

A

1006-1010(2017)16-0075-06

趙曉君,曹琲琲. OFDM系統(tǒng)下基于阻尼LSQR的低復(fù)雜度檢測算法研究[J]. 移動(dòng)通信, 2017,41(16): 75-80.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61102058）

2017-05-25

責(zé)任編輯：劉妙 liumiao@mbcom.cn