淺談線性代數(shù)中的哲學(xué)思想

李曉紅

摘要：為提高線性代數(shù)的教學(xué)效果，本文就線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的哲學(xué)思想進(jìn)行了探討。從形變質(zhì)不變、量變引質(zhì)變、對(duì)立統(tǒng)一、否定之否定等四個(gè)主要方面進(jìn)行了闡述，使得矩陣的初等變換、向量的相關(guān)性、線性方程組求解等問題變得更易于理解和掌握，以期能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，提高學(xué)生的辯證思維能力和應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)方法；哲學(xué)思想

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）39-0219-02

線性代數(shù)作為工科數(shù)學(xué)的一門主要基礎(chǔ)課，不僅是后續(xù)課程和專業(yè)學(xué)習(xí)的需要，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高創(chuàng)新能力的需要。為了提高教學(xué)效果，不僅要注重知識(shí)層面上的學(xué)識(shí)教育，更要注重文化層面上的素質(zhì)教育，要善于把數(shù)學(xué)課程放在更廣闊的文化背景中進(jìn)行教學(xué)，這樣才能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，嘗試從哲學(xué)的角度來探討一下線性代數(shù)的教學(xué)，以期對(duì)大家有所幫助。

一、從“形變質(zhì)不變”看事物之變化

在線性代數(shù)中，所研究的事物常常會(huì)發(fā)生各種形式上的改變，但本質(zhì)屬性未改變，所謂“萬變不離其宗”，在此不妨稱之為“形變質(zhì)不變”。例如，行列式的恒等變換；方程組的同解變換；矩陣的初等變換；向量組的等價(jià)變換；二次型的標(biāo)準(zhǔn)變換等。這么多的變換，很容易引起學(xué)生混淆，特別是對(duì)變化的目的與方向一籌莫展，從而失去學(xué)習(xí)的興趣和信心，因此在教學(xué)中需要注意以下幾個(gè)方面。

1.要充分揭示變與不變的真正內(nèi)涵。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物，不但要觀其表象，更要明其內(nèi)里，真正明白形式改變背后隱藏的真諦。例如，行列式進(jìn)行恒等變形，其值不變；矩陣進(jìn)行初等變換，其秩不變；向量組進(jìn)行初等變換，其秩以及線性表示關(guān)系不變；二次型進(jìn)行各種標(biāo)準(zhǔn)變換，但其正定性、負(fù)定性等保持不變。以上種種“變與不變”，相輔相成，是“形變質(zhì)不變”，是形式和內(nèi)容的和諧統(tǒng)一。

2.要積極引導(dǎo)學(xué)生為解決問題，在形式上尋求最佳改變方案。教學(xué)中經(jīng)常用到化歸的思想[1]，要化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化未知為已知。由于形式是為內(nèi)容服務(wù)的，所以以“不變”為根基，為紐帶；以“變”為契機(jī)，為突破；才能尋找到解決問題的最佳途徑。例如為求行列式的值，常將行列式化成三角形行列式；為求矩陣的秩，常把矩陣化成行階梯形；為求線性方程組的解和向量組的線性表示關(guān)系，常將對(duì)應(yīng)矩陣化成行最簡(jiǎn)形；為判斷二次型的正定性，常將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型等。

3.要反復(fù)強(qiáng)調(diào)矩陣初等變換的核心地位。在“形變質(zhì)不變”中，矩陣的初等變換堪稱經(jīng)典。因?yàn)榫仃嚨男巫儾粌H能解決自身問題，如求矩陣的秩、矩陣的逆、矩陣方程的解以及矩陣的特征值與特征向量等，而且還能解決線性代數(shù)中的其他問題。例如求向量組的秩及線性表示、線性方程組的通解、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型等。可以說矩陣的初等變換如同一條多變的鏈條，充滿了多樣性和奇異性，將線性代數(shù)的整個(gè)內(nèi)容都貫穿了起來，是解決線性代數(shù)問題的關(guān)鍵方法。

二、從“量變引質(zhì)變”看事物之差異

辯證唯物主義認(rèn)為，事物具有質(zhì)和量?jī)蓚€(gè)方面，是質(zhì)和量的統(tǒng)一體。而數(shù)學(xué)研究就是從量的關(guān)系方面去把握事物的質(zhì)及其變化規(guī)律，特別是質(zhì)的差異和從量變到質(zhì)變的飛躍過程[3]。在線性代數(shù)中，許多研究對(duì)象都有與其密切相關(guān)的量，當(dāng)這些量發(fā)生改變時(shí)，就能引起相應(yīng)的質(zhì)的改變，特別是當(dāng)其改變到某種程度，即當(dāng)量變達(dá)到某一值時(shí)，就會(huì)引起質(zhì)的本質(zhì)改變，會(huì)產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，可稱之為“量變引質(zhì)變”。

例如，n階矩陣A有對(duì)應(yīng)的量R（A）和A，當(dāng)R（A）

以上種種，都說明量變引起了質(zhì)變。因此，在教學(xué)中，不僅要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)能反映事物質(zhì)的量，而且還要幫助學(xué)生理解這個(gè)量為何影響質(zhì)，并且對(duì)這個(gè)量變引起質(zhì)變的臨界值，要重點(diǎn)掌握。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常常會(huì)遇到量變?nèi)Q于某些未知參數(shù)，因此就需要根據(jù)臨界值，先對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行討論，然后再具體判別事物的質(zhì)，使得問題得以順利展開和討論。

三、從“對(duì)立統(tǒng)一”看事物之聯(lián)系

由于線性代數(shù)中的概念、性質(zhì)以及定理較多，許多內(nèi)容相似且有關(guān)聯(lián)，所以學(xué)生特別容易混淆。而且學(xué)習(xí)時(shí)靠死記硬背，應(yīng)用時(shí)張冠李戴，總犯一些不該犯的錯(cuò)誤。為了使學(xué)生熟練掌握這些內(nèi)容，明晰其區(qū)別與聯(lián)系，我們不妨把事物一分為二，從“對(duì)立統(tǒng)一”的角度看問題、分析問題，那么線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容就變得有章可循，有法可依，就能由此及彼，由淺入深，逐步展開成線性代數(shù)枝繁葉茂的知識(shí)體系。例如，從以下幾個(gè)方面。

1.特殊與一般。按照由特殊到一般再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)規(guī)律，線性代數(shù)中的很多概念、定理和公式都是從客觀現(xiàn)實(shí)中，經(jīng)過數(shù)學(xué)的抽象、推理、歸納等產(chǎn)生的[2]。例如，二、三階行列式與n階行列式；數(shù)的運(yùn)算與矩陣的運(yùn)算；線性空間的一般基與標(biāo)準(zhǔn)基；齊次線性方程組與非齊次線性方程組；特解與通解；一般二次型與標(biāo)準(zhǔn)二次型等。特別是為了解決問題，要把與之相關(guān)的矩陣由一般形式變化成各種特殊形式，如等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，行階梯形，行最簡(jiǎn)形，對(duì)角形等。

2.相關(guān)與無關(guān)。向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)的重要理論，任意一個(gè)向量組，要么線性相關(guān)，要么線性無關(guān)，二者必居其一，都是線性表示的具體體現(xiàn)。相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量能被其余向量線性表示，無關(guān)向量中任一向量都不能被其余向量線性表示。相關(guān)向量組去掉多余的向量，則線性無關(guān)；無關(guān)向量組添加能被它線性表示的向量，則線性相關(guān)。可見，相關(guān)變無關(guān)是量的精簡(jiǎn)，無關(guān)變相關(guān)是量的擴(kuò)容，二者達(dá)到和諧完美的統(tǒng)一。

3.有限與無限。有限與無限的辯證統(tǒng)一，主要體現(xiàn)在有限能生成無限，無限又包含有限，它們有質(zhì)的差異，但在一定條件下也可以互相轉(zhuǎn)換[3]。線性代數(shù)中由基礎(chǔ)解系生成通解的方法，就是由有限生成無限的一種特殊方法，不僅實(shí)現(xiàn)了由量變到質(zhì)變的飛躍，而且實(shí)現(xiàn)了定性描述向定量描述的重大轉(zhuǎn)化，更利于分析問題和解決問題，對(duì)于提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力也有重要意義。

四、從“否定之否定”看事物之發(fā)展

否定之否定規(guī)律是自然界、人類社會(huì)和思維發(fā)展的普遍規(guī)律，事物通過否定之否定揚(yáng)棄原來的概念，獲得更為豐富的內(nèi)容，從而獲得新的發(fā)展起點(diǎn)[3]。在線性代數(shù)中，有一些重要定義看似簡(jiǎn)單，但要依據(jù)這個(gè)定義來真正計(jì)算時(shí)，才發(fā)現(xiàn)比較困難，計(jì)算量往往非常大。這就需要我們?cè)诜穸ㄟ@種計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，重新由定義出發(fā)，去推斷出盡可能多的結(jié)論，再?gòu)倪@些結(jié)論中尋求合適的方法。

另外，在求矩陣的秩和求向量組的最大無關(guān)組時(shí)，如果直接按照定義來做，只能利用篩選法，計(jì)算量不僅大而且非常煩瑣。因此在否定的基礎(chǔ)上，根據(jù)“初等變換不改變矩陣的秩”、“行（列）初等變換不改變矩陣列（行）向量組的線性相關(guān)性”這兩個(gè)重要定理，利用矩陣的初等變換，使得這兩個(gè)問題迎刃而解，方法既簡(jiǎn)潔又簡(jiǎn)單，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的重要性，以及數(shù)學(xué)的奇異美、形式美。所以說，否定之否定，就是完善與發(fā)展、就是進(jìn)步與提高。同時(shí)也要引導(dǎo)學(xué)生，在學(xué)習(xí)與生活中，應(yīng)該直面自身的缺點(diǎn)與不足，只有不斷進(jìn)行自我否定，才能努力改進(jìn)，早日到達(dá)成功的彼岸。

總之，線性代數(shù)中的哲學(xué)思想，像一盞明燈，使我們能理清紛亂的思緒，看清知識(shí)的脈絡(luò)和內(nèi)涵。并且能夠體驗(yàn)到線性代數(shù)的抽象美、邏輯美、奇異美、形式美，使學(xué)生更有信心和興趣去學(xué)好這門課。這不僅為他們的后續(xù)課程和專業(yè)學(xué)習(xí)打好了基礎(chǔ)，而且培養(yǎng)了數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高了辯證思維能力和應(yīng)用能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]李曦.數(shù)學(xué)思想方法融入線性代數(shù)教學(xué)中的探索[J].南昌航空大學(xué)學(xué)報(bào)：自讓科學(xué)版，2014，28（3）.

[2]余惠霖.數(shù)學(xué)文化價(jià)值取向下微積分學(xué)中的哲學(xué)思想[J].廣西社會(huì)科學(xué)，2011，（8）.

[3]王仲英，郝祥暉.數(shù)學(xué)中的有限與無限[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007，10（1）.