巧用線段圖突破總量用1表示的分數除法

莫廣

【摘要】本文論述了教師充分利用線段圖，幫助學生分析總量用“1”來表示的分數除法例題，讓學生經歷自主探索、解決問題的過程，掌握用假設、驗證等方法解決問題的基本策略，并體會模型思想。

【關鍵詞】線段圖 觀察 猜測 驗證 模型思想

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）07A-0059-03

人教版數學六年級上冊第42頁例7是2011年版教材新加入的內容。它是一類特殊的實際問題，讓學生通過假設、嘗試和分析，找到本質的數量關系，進而解決問題。本例雖然采用的素材是“工程問題”，但并不要求學生解決各類“工程問題”，而是要借此讓學生經歷自主探索、解決問題的過程，掌握用假設、驗證等方法解決問題的基本策略，并讓學生在此過程中體會模型思想。

“工程問題”在舊版教材中也曾出現過，當時的教學大多數教師只是讓學生生搬硬套公式來計算，即使這樣，仍然有相當一部分學生連公式也不會套用。因此“工程問題”成為了當時教學的一大難點，令眾多師生頭疼。新課改以來，筆者認真研讀了課程標準和教師用書，力圖領會編者意圖后才教學這一內容，但由于種種原因，仍然感覺自己的課堂比較“夾生”，雖然學生都會計算，但多數學生卻只是死套公式，對于為什么工作總量可以用“1”來表示卻不是很清楚。筆者充分利用學校舉行的“骨干教師示范課”為契機，決定好好深挖這個例題，要讓學生不僅知道怎么計算，更要知道為什么這樣計算。

經過反復研讀教材與教師教學用書，筆者確定了教學本例題的重點是讓學生通過解決此類問題，經歷把現實問題模型化的過程，透過各種現實的表象，找出隱藏其后的數量關系。而在學生通過假設不同的總路長，發現總路長不同，算出的總天數都是相同的后，要讓學生理解“為什么總路長改變，得到的總天數卻是不變的？這個問題中什么東西是不變的？”（見六年級上冊教師教學用書P81）。

如何突破本例題的重難點？筆者思考良久，決定以線段圖來突破：在復習導入這一環節，引導學生復習回顧簡單的含有工作效率、工作時間和工作總量的實際問題，并將這樣的題目用線段圖來表示，在引導學生看圖的過程中讓學生體會“只要工作效率不變，完成的總天數也不會變”這一句話的含義，進而將抽象的知識直觀化，為例題的學習做好鋪墊。在學習新知這一環節，學生通過用自己假設的數據計算出總天數后，在觀看微課視頻中，筆者再次運用線段圖，直觀地讓學生理解“兩隊每天修的長度占總長度的幾分之一是不變的”這一抽象的結論。

有了這樣的設計思路，筆者開始了自己的磨課歷程。

一、初次試課，線段圖作用凸顯

（一）在復習引入這一環節，筆者這樣處理

1.說說工作總量、工作效率、工作時間之間的關系，教師根據學生的回答相機板書三個關系式在黑板上。

2.口答

（1）一條道路長30米，如果每天修6米，（ ）可以修完。

（2）一條道路長40米，如果每天修8米，（ ）可以修完。

（3）一條道路長50米，如果每天修10米，（ ）可以修完。

3.出示線段圖，看懂線段圖

（1）如果我們用一條線段表示道路的總長度是30米，那么第（1）題我們可以這樣表示。

（2）第（2）題，我們還是用一條線段表示道路的總長度是40米，大家想一想，這條線段我們應該畫得比第一條線段長一些還是短一些呢？

（3）第（3）題表示道路總長度的線段呢？

4.思考：道路的總長度在增加，為什么完成的天數卻沒有變呢？

看完線段圖并在教師拋出問題后，很多學生就舉手示意知道答案，當時筆者心里沒底，擔心這么難的問題學生回答不出，于是要求大家分小組討論。筆者深入到學生中間，卻驚喜地發現幾乎每個組里都有學生能找到答案：有的學生是從商不變的性質這個角度分析；有的學生則抓住線段圖的精髓，找到了變化中的不變量。最后筆者引導各組學生反饋并統一意見：每天修的米數在變，但是每天修的長度占全長的沒有變化。

從口答題中引入線段圖，通過三條線段圖的對比，學生直觀地看到道路的總長度一直在增加，而每天完成的千米數也在增加，不變的是每天修的長度占全長的幾分之幾。一系列問題的設計環環相扣，化抽象的知識在簡單直觀的線段圖中，旨在讓學生初步體會變化中存在的不變量。這樣的設計為學生學習例題打下了良好的基礎。

（二）新授環節的處理

以“一條道路如果兩隊合修，會出現什么情況呢”為導語，筆者和學生一起進入了例題7的學習。按照改版后教材教學解決問題的要求，筆者將新課部分分解為閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思三個部分進行教學，每個環節均有側重點。

1.閱讀與理解

在這一環節中，筆者直接出示例題，讓學生默讀題目，找出已知條件與所求問題。重點讓學生理解例題中的關鍵詞“兩隊合修”的含義。對于六年級的學生來說，“兩隊合修”的解釋過于簡單，學生很快給出了答案：兩隊合作完成。筆者追問：猜一猜，兩隊合修，所用的天數與他們單獨修所用的天數相比，應該是多還是少？會是一個什么樣的范圍？

在短短5分鐘的時間里，筆者將例題信息完整地呈現在學生面前，引導學生充分閱讀，找出條件和問題，分析關鍵信息，鼓勵學生合理估計合修所用的天數，加強估算意識的培養。課堂中學生的表現很棒，估算出兩隊合修的天數應該比12天要少，這樣的教學設計為后面的“回顧與反思”環節埋下伏筆。

2.分析與解答

（1）以問題為指引，為學生提供充分的探究時間和空間

筆者緊扣工作總量、工作效率與工作時間三者之間的數量關系，設計了一系列的問題：

①求兩隊合修幾天可以完成，就是求兩隊的工作時間。

②求工作時間，必須要知道哪些信息？endprint

③如果知道了這兩個信息，這個問題可以怎樣解決？

④我們需要的這兩個信息題目中都沒有給，怎么辦？

⑤我們能不能先假設出這條道路的長度，再計算呢？你想怎樣假設？

⑥根據自己假設的這條道路的長度，請列式計算。（在練習本上完成）

通過系列問題的指引，引導學生發現問題、大膽質疑、敢于假設、嘗試解決。通過假設，可以把抽象問題具體化，使復雜的數量關系明顯化和簡單化。不同的學生假設的長度不同，又體現了解決問題方法的開放性和多樣化。讓學生經歷這樣的過程遠比給予現成的結論更有價值。

（2）獨立思考，討論交流，尋找不變量

筆者將不同學生的答案通過實物投影展示出來，引導學生觀察對比：“看了上面幾位同學的做法，你有什么發現？”學生通過假設不同的總路長，發現總路長不同，算出的總天數都是相同的。此時筆者引導學生思考：總天數和總路長有關系嗎？為什么總路長改變，得到的總天數卻是不變的？這個問題中什么是不變的？有了前面復習引入環節的鋪墊，經過小組討論，學生很快發現了不管兩隊每天修的長度是多少米，他們每天修的長度總是這條道路的和，工作效率不變，完成的天數也不會變。

在“復習引入”環節中學生有了第一次觀察對比的經歷，初步體會到變化中存在著不變；在獨立假設總路長計算出例題的結果后筆者再次引導學生進行了第二次的觀察對比，所提出的問題與“復習引入”環節中的問題相似，學生很快將前后兩個環節聯系在一起。兩次觀察對比，一次比一次更深入，溝通了知識之間的聯系，再次加深了學生對于“變中有不變”的數學思想的認識。

（3）觀看微課，抽象出工作總量可以用1來表示

小組討論，學生總結出工作效率不變，完成的天數也不會變這一規律后，筆者利用微課視頻向學生展示了用線段圖表示道路的路程總長度分別為18千米和36千米時，每天修的路程總是這條道路的和，借此抽象出道路的總長度可以用單位1來表示。

學生經歷了兩次觀察對比和思考，懂得了無論假設道路總長度是多少，計算出的工作時間都相同這一結論的原因，但是將具體的數量抽象成單位1，相當一部分學生還是感覺比較困難。這時，老師運用了微課視頻來輔助教學，一是讓學生感覺很新鮮，注意力再次集中；二是視頻將線段圖與有聲講解完美結合，充分激活了學生的視覺和聽覺，再次將抽象的知識形象化。

（4）第三次對比，辨析分率與實際量

經過觀看微課視頻，學生掌握了把工作總量看作單位1的計算方法。筆者從視頻中截取出這樣的一副線段圖（圖4），然后根據圖示設計了這樣的問題：

①1.5千米和都表示一隊1天修的長度，有什么不一樣嗎？

②在解決問題時，什么情況下工作效率用實際量表示，什么情況下用分率表示呢？

這樣的教學設計，搭配上線段圖，并結合已經推導出的兩種不同的解題方法，旨在幫助學生歸納總結出當工作總量已知，是一個具體量時，工作效率可以用實際量來表示；如果工作總量未知，工作效率就可以用分率表示這樣的規律。進而培養了學生具體情況具體對待，不再生搬硬套的靈活解題思路。

3.回顧與反思

在此，筆者先引導學生回憶了開課之初的猜測，兩隊合修，所用的天數應該比一隊單獨修的12天少，那么計算的結果是否印證了猜測呢？進而向學生潛移默化地滲透了將答案代回題目中看看是否合理的反思方法。緊接著讓學生暢所欲言，充分交流不同的檢驗方法，學生既可以用抽象“1”的方法來檢驗，也可以用假設的具體數量來檢驗，目的是讓學生掌握檢驗的方法，養成回顧與反思的良好習慣。

第一次試課，剛剛完成新授環節就下課了，預設的鞏固練習的環節沒有講解。課后，經過教研組成員的討論、評課及自己的反思，筆者認識到本次試課有以下兩點不足：

（一）復習引入環節投入時間過長，教師帶得過多，還是不夠相信學生

通過三條線段圖的對比，讓學生初步體會“變中不變”的設計思路是正確的，線段圖已經實現了抽象的知識直觀化，在這一環節，學生不需要討論就可以初步體會道路的總長度一直在增加，而每天完成的千米數也在增加，不變的是每天修的路程占全長的幾分之幾。因此，大家認為小組討論的環節可以舍去。

（二）將工作總量抽象成單位“1”的過程是學生被動接受的過程，學生被教師牽著鼻子走

將微課模式引入課堂能給學生帶來視覺和聽覺上的沖擊，但是“工作總量可以用單位1來表示”這一難點是由老師傳授給學生的。其實，經過前面兩次觀察對比及學生親自假設計算，學生已經發現兩隊每天修的長度占總長度的幾分之一是不變的，將工作總量假設為“1”這樣的解題方法已經是呼之欲出了。微課視頻在本節課的功能不是告訴學生工作總量可以假設為“1”，而應是在學生嘗試用“1”來計算的基礎上幫助學生驗證自己的算法是否正確，并弄清算法中出現的各個數字所表示的含義。

二、再次試課，重難點基本突破

有了第一次試課的經驗和及時的反思總結，以及課題組老師的幫助，筆者調整了教學過程并進行了第二次試課。

（一）復習引入環節

1.將復習引入環節中復習工作總量、工作效率和工作時間的關系與口答題進行整合

口答下面各題，并說說運用了哪些關系式？

（1）一條道路長30米，如果每天修6米，（ ）天可以修完。

（2）一條道路長40米，如果每天修（ ）米，5天可以修完。

（3）一條道路長（ ）米，如果每天修10米，5天可以修完。

2.用線段圖表示出上面三道題之后，教師提問：“道路的總長度在增加，為什么完成的天數卻沒有變？”舍去討論環節，此處僅是讓學生初步體會“工作效率不變，完成的總天數也不會變”的規律。

改動后復習引入環節占用的時間少了，提高了復習的效率，題目精煉了，老師講得少，留給學生觀察思考的時間多了，從一開課就將學生的注意力牢牢地吸引在課堂中。endprint

（二）新授環節

1.通過教師的追問讓學生親歷由具體數量逐步抽象的過程

新授環節前面不變，在教師引導學生對比討論，發現“兩隊每天修的長度占總長度的幾分之一是不變的”后，教師追問：既然不同的假設都能得出相同的完成時間，在那么多的假設數字中，同學們最喜歡哪個？有沒有什么數字是最具代表性的？學生很自然地想到可以把道路長度假設成“1”，那么根據剛才的解題步驟，如何表示各個量呢？讓學生試著用這樣的方法解決例題。這樣的教學設計更靈動，體現了學生的自主學習，讓學生親自經歷這一從具體數量逐步抽象的過程，而不再是在最關鍵的時刻由教師進行包辦代替，這對提高學生解決問題的能力至關重要。

2.利用微課驗證新算法，明確算式中各個數字的含義

學生經過思考寫出工作總量用單位“1”來表示的解題方法后，教師提問：“你算對了嗎？請認真觀看微課視頻。”讓學生帶著問題觀看視頻，使學生的觀看更具目的性，注意力更為集中，既解決了學生計算是否正確的問題，又解決了為什么這樣算的問題。

（三）鞏固練習環節

經過前面兩處的調整，第二次試課終于有了鞏固練習的時間。筆者選擇了三道題：

1.一批貨物，甲車單獨運，6次才能運完。乙車單獨運，3次就能運完。如果兩輛車一起運，多少次能運完這批貨物？

2.挖一條水渠，王伯伯每天挖整條水渠的，李叔叔每天挖整條水渠的。兩人合作，幾天能挖完？

3.一共有300棵樹，如果甲隊單獨種，需要8天；如果乙隊單獨種，需要10天。現在兩隊合種，5天能種完嗎？

這三道練習題，雖然題目的情境各不相同，但與例題中的工程問題有許多可類比的相同點，旨在讓學生體會到在不同的情境下相同的解題方法，從而更好地幫助學生抓住本質的數量關系，建立數學模型。

經過兩次試課，教學的各個環節已經基本完善。縱觀整節課，以尋找“變中不變”為主線，以線段圖為突破口，以問題為指引，學生在參與觀察、猜想、驗證等數學活動中，發展合情推理能力；學生經歷和與同伴合作交流解決問題的過程，并根據線段圖嘗試解釋自己的思考過程，初步判斷結果的合理性。通過例題的學習，學生會用假設法解決問題，會找到“變中之不變”，會找到這一問題背后的數學模型，并把這一模型應用于其他的情境之中。

（責編 林 劍）endprint